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印度人的概念向东延伸到了中国就如同向西到了伊斯兰等国家。在公元一千二百四十七年中国的数字家 Ch‘in Chiu-Shao 所写的数学专论在讨论九分里就使用了 O 这个符号来代表零。稍后，在公元一千三百零三年， Chu Shih-Chieh 所写的 Jade mirror of the four elements 专论里又再次使用这个符号来表示零。
Fibonacci 是将有关数字系统的新观念带进欧洲的主要人物。 在印度─阿拉伯数字系统与欧洲数学之间的很重要的联结由意大利的数学家 Fibonacci 所建立的。 在公元一千二百年左右， Liber Abaci 为欧洲人介绍了印度的这九个数字连同 0 这个符号，但是却有很长的时间未被广范的使用。有件意义深远的事就是 Fibonacci 他并不够勇敢的将 0 与其它数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 视为一般，因为他把零读做"符号"零，而却称其它的叫做"数字"。显见的是，虽然将印度数字介绍给欧洲人是他的最主要的贡献，但是他对零的见解并没有达到印度数学家 Brahmagupta, Mahavira 和 Bhaskara 及像是 al-Samawal 等阿拉伯或伊斯兰数学家们的复杂程度。 你可能会认为数系的进步是普遍的而零却是特殊的，从现在起将变的稳固。然而，情形却不是这样。Cardan 在没有使用到零的情形下解决了三次及四次的方程式。如果他那个时候就有零的概念的话，在公元一千五百年左右，他会较容易的发现这些问题的解答。但这不是他的数学成就的一部份。在一千六百年左右的时候，零已经广为人所使用了，但是却是经历钗h的反抗之后才有的成果。 当然仍旧有因为零产生的问题。最近全世界到处都在公元二千年一月一日的时候庆助新的千禧年到来。当然他们庆助的是已经过去的一千九百九十九年，因为当有日历的时候，它是没有零年的。尽管人们将原谅这个根本的错误，但是有点令人惊奇的是大部份的人们似乎不能了解为什么第三个千禧年及第二十一世纪是从公元二千零一年一月一日才开始的事实。零仍旧引起钗h问题！ 整 数 在自然数集N之外，再引入新的元素0，-1，-2，-3，…，-n，…。称N中的元素为正整数，称0为零，称1，-2，-3，…，-n，…。为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。 零不仅表示"无"它在命数法中还个有特殊的意义：表示空位的符号。中国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好条件。印度--阿拉伯命数法中的零来自印度的零（sunya）字，其原意也是"空"或"空白"。 中国最早引入了负数。《九童算术·方程》中论述的"正负术"，就是整法的加减法。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果 a，b是自然数，则方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。 关于整数系的严格理论，可用下述方法建立。在N×N（即自然数有序对的集）上定义如下的等价关系：对于自然有序对（a1，b1），（a2，b2），如果a1+b2= a2+b1，就说（a1，b1）～（a2，b2），N×N，关于上述等价关系的等价类，称为整数。一切整数的集记为Z。 有 理 数 古埃及人约于公元前17世纪已使用分数，中国《九童算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。 关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于 ，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。 引 起 数 学 危 机 的 无 理 数 无理数，顾名思义，与有理数相对。那么它就是不能表示为整数或两整数之比的实数，比如 等等。如果不作数学计算，在实际生活中，我们是不会碰到这些数的。无论是度量长度，重量，还是计时。 第一个被发现的无理数 ，当时，毕达哥拉斯学派的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：X=X：2，那么X叫1和2的比例中项），怎么也想不出这个比例中项值。后来，他画一边长为1的正方形，设对角线为X，于是 。他想，X代表对角线长，而 ，那么X必定是确定的数。但它是整数还是分数呢？显然，2是1和4之间的数，因而X应是1和2之间的数，因而不是整数。那么X会不会是分数呢？毕达哥拉斯学派用归谬法证明了，这个数不是有理数，它就是无理数 。无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，将此事保密，不准外传，并且将希帕索斯本人也扔到大海中淹死了。但是，人们很快发现了 等更多的无理数，随着时间的推移，无理数的存在已成为人所共知的事实。 无理数的发现，是毕氏学派最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。 |
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