你需要重新建构关于虚数i的认知

To be or not to be?这是一个问题。自然数1、2、3、4会在一个香蕉、两个苹果中被探测到，故自然数可以视作数学抽象。虚数呢？虚数i是不是真实存在的，这似乎不是一个显而易见的问题。今天我们就一起来探究一下虚数i。虚数i产生的缘由？虚数i的本质是什么呢？虚数i的物理意义又是什么呢？

从数系的扩充看虚数i

数系的扩展过程直观上来说就是给数轴“填坑”的过程。

自然数出现是挺自然的，1个苹果、2个香蕉去掉苹果、香蕉则剩下1、2，就是数学的初步抽象。

由于人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。比如,在记帐时有余有亏;在计算粮仓存米时,有时要记进粮食,有时要记出粮食。为了方便，人们就考虑了相反意义的数来表示。于是人们引入了正负数这个概念，把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负。古印度则在公元876年则有了关于0的最早记载，欧洲许多数学家都同意这一观点。事实上，公元6世纪，印度人就开始用“·”表示空位，后来变成了一个圆圈。到了公元九世纪就固定成了今天的“0”

这个时候数轴上有没有坑呢？当然有了。一个半苹果，半个苹果该如何表示？

于是就有了整数与整数的比就是有理数。有理数这个名字翻译的有点意思，英文是rational number，可是翻译为”比例数“（就是整数和整数的比），不是更形象直接吗？

有了整数和有理数之后，数轴还有没有坑？这个问题是有必要思考的。任何两个有理数，比如说0.5和0.7，平均值0.6还是有理数，不论这两个有理数之间隔得有多近。就是说任何两个有理数之间不可能相邻，他们之间必定还有有理数。看起来就仿佛在数轴上连绵不断。

是第一个发现的无理数，因此还引发了第一次数学危机。

到此为止数轴上没有有坑了。有理数、无理数统称为实数，实数是连续的，故数轴上不可能再出现别的数了。那么，虚数从何而来呢？我们该如何理解虚数i呢？

虚数开始是数学家的玩具：古代的数学家也和我们一样，也玩24点，意大利米兰有个数学家叫做卡当，出了一个题，能否把10分成两部分，让它的乘积为40。他给出的答案

，这里负数第一次出现在了根式里，不过就好像几何题划的辅助线一样，虽然参与运算，但是并没有意义。数学家也不可能给辅助线专门定义一个概念。

虚数

，这个就是i的定义。

听它的名字就感觉它是“虚”的，我们知道：

从自然数扩张到整数：增加的负数可以对应”欠债、减少”

从整数扩张到有理数：增加的分数可以对应“分割、部分”

从有理数扩张到实数：增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度（

）”

从实数扩张到复数：增加的虚数对应什么？

虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。看起来我们没有必要去理会

到底等于多少，我们规定

没有意义就可以了嘛，就好像

一样。

我们来看一下，一元二次

的万能公式：其根可以表示为

，其判别式为

。

关于有两个不同的复数根，其实规定为无意义就好了，为何会出现这种情况呢？

我们再看一下，一元三次方

，一元三次方程的解不是我们今天讨论的重点，大家感兴趣的话可以参考网络。

我们讨论一下

，其根可以表示为：

，此时，一元三次方程可以化为

要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？会不会这只是求根的方法之一？这个也被证明了，确实需要通过复数来求解实数根。

因此，虚数是因为解三次方程的根应运而生的。

虚数i的本质与物理意义

虚数这个名字，指出了一点，虚数在现实中没有对应物的，是一个人工数。

莱布尼茨就曾说：虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐秘所，它大概是介于存在与不存在之间的两栖动物。

连大神都这样形容虚数，然而各位朋友是否还记得当初老师是如何跟我们讲虚数的吗？

是不是直接说 i²= -1呢。然后顺便说了

关于 i 的定义，首先，我们在实数轴上标好1和-1。

现在我们将数轴的正向部分，绕着原点逆时针旋转180°，这样，+1就变成了-1。

那如果我们分开两次来旋转，就变成了这样：

这时，你是不是已经发现数轴上的那一个小小的i了？

事实上，i的本质是单位周期结构最基本形式，它并不是一个数，确切地说就是一个旋转量。

而关于这个旋转量，根据上面所说的旋转变换，我们可以列出这个关系式：

1·(逆时针旋转90°) ·(逆时针旋转90°) = -1

即(逆时针旋转90°)²= -1。

现在我们将'逆时针旋转90°记为 i ，终于得出了老师们讲的i²= -1。因此，i就是意味着逆时针旋转90°，-i 就是顺时针旋转90°。

下面这个图就很直观的表达了关于i的运算。

也许会有人觉得困惑：为什么要给-1开平方？这样转换来转换去的到底有什么用？

别急，我们先讲讲复数的定义。现在，我们将纵轴作为虚数轴，横轴作为实数轴。

如果我们不是旋转90°，而是旋转45°的话，就得到了1+i 。

任意实数旋转某一个角度所得到的点就用a+bi来表示，这就是复数的定义式。

虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。

比如，物理学需要计算“力的合成”。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？

根据“平行四边形法则”，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

这就是虚数加法的物理意义。

如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。

假设我们现在一艘船上，船的航向是3 + 4i ，我们现在将船的航向逆时针旋转45°，那么，我们最新的航向应该如何表示？

45°的航向就是1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了。（为什么要相乘呢？）

所以，新的航向就是 -1 + 7i 。

这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。