|
自从人类发明了数,总是感觉数不够用!难道数的发展没有尽头吗? 人类是猴子进化而来,相信猴子不会有自然数的概念(或许有,但我们怎么证明这个呢?),但猴子没有无理数的概念应该是肯定的!，人类最初也完全没有数量的概念。但人类发达的思维认识世界是从具象到抽象的过程。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头兔子，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。'结绳记事'也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有'结绳而治'的记载。用石刀等在树皮上或兽皮上刻痕，或用木棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。 数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。 在古代,中国应该不是最早使用数字的民族,实际上，事实上,古罗马要先进的多,罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数： 1．重复次数：如：'III'表示'3'；'XXX'表示'30'。 2．右加左减：如'VI'表示'6'，'DC'表示'600'。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如'IV'表示'4'，'XL'表示'40'，'VD'表示'495'。 3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：''表示 '15,000'，''表示'165,000'。 我国古代也很重视记数符号，首创的方法是--筹算。后来发展成算盘.并制订了相当科学的”口诀”,如果说算盘是最古老的计算机,那么口诀就是相应的编程语文了.但奇怪的,中国一直没有发明”0”,算筹中遇到'零'就空位。'0'这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了'0'。 不过中国汉字中，'零'字出现很早。不过那时它不表示'空无所有'，而只表示'零碎'、'不多'的意思。随着阿拉数字的引进。'105'恰恰读作'一百零五'，'零'字与'0'恰好对应，'零'也就具有了'0'的含义。 数学的发展就是这样,即使印度数学家没有发现”0”,那”0”迟早要被发现或被发明!谁也挡不住!但须知，”0”不代表”没有”!'0'已经成为含义最丰富的数字符号。'0'可以表示没有，也可以表示有。如：气温0℃，并不是说没有气温；'0'是正负数分界；可以规定(仅仅是规定):任何数（0除外）的0次幂等于1；0！=1（零的阶乘等于1）。 随着发展，人们发现，仅仅发明自然数是远远不够的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究的确是比较早的,至少比欧洲早1400多年！ 后来，人们由于债务等记帐的需求，又产生了负数。到此为止,整数的家族就其整了。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。这也是到初中为止大家能接触到的数. 古希腊，有一个毕达哥拉斯学派,他们认为万物皆为'数'!这是一个研究数学、科学和哲学的团体。所以直到近代的欧洲还没有专门的数学系,而是把数学研究并入哲学系,实际上有伟大的数学家本身就是哲学家,比如:哈代，牛顿. 但数学的发展就是这样,该来的总会到来!学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然，推导的结果即x的平方=2。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理 可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。关键是不仅这个数根号2是真实存在的,而且还可以用反证法证明它确实不能用有理数表示! 这说明什么?说明”数轴”没有被填满,也就是说如果把所有的有理数填上”数轴”,则”数轴”象筛子一样,会漏得稀里哗拉! 后来,为了保持支撑他们的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成 π、等形式，称它们为无理数。 有理数和无理数一起统称为实数。到此为止,人类对数的发展算是告一段落.历史进入19世纪后。许多人还在研究:实数到底是不是所有的数,还有没有新的数没被发现呢?比如:在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，不就破坏了数学的对称美了吗?于是数学家们就规定用符号'i '表示'-1'的平方根，即 ，虚数就这样诞生了。'i '成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成 a＋bi的形式（a、b均为实数），这就是复数。大数学家欧拉是最早使用虚数,但他认为虚数仅仅是形式的需要,没有什么实际意义!一直到高斯(也是鼎鼎大名哟!) 发现复平面的概念可以表示复数，这样才使”虚数”确实有实体对应了，虚数一点也不'虚'了。 但从另一个角度来看,虚数还是”虚”的,因为无论如何你做不到以下两点:一是把1+i合并(比如 就可以合并成小数),二是你不可能把1+i表示在数轴上.所以从本质上来说,复数1+i只是形式上的”数”,它已经脱离了我们所说的数(实数)的本质!所以根本上来说,复数对应的是点(也可以对应向量),但它绝不是实数,这个要在初学复数时认识清楚哟! 虽然18世纪数学家在澄清无理数的退辑基础方面没有进展，但他们以相对平静的态度接受了一些数的无理性．随着对数系的不断探索研究，人们逐步认识了超越数，并建立了一个完整的复数系统．从超越性来粉全体复数可以分成两类，即代致数与超越数． 超越数的研究使数学家更熟练的驾取复数系，更透彻的润悉复数系的本质．此外，超越数论的方法在理论,计算机科学中还找到有价值的应用．当前超越数论是数论研究非常活跃的领域之一. 超越数的定义: 若x满足一个有理系数代数方程 则x叫做一个代数数,不是代数数的复数叫超越数． 代数数所包含的范国很广，它包括了所有的有理数和它们的根，例如i及 都是代数数，它们依次满足整系数多项方程式: 超越数理论的发展史 欧拉首先证明e是无理数．提出超越傲的概念在数学史上，第一个引起我们注与超越性有关的事迹是在1737年，瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler,1707一1783）证明e(自然对数的底)是无理数． 他的证明以连分数为基础，得到了e的连分数无穷展开式： 因为他已经证明了每一个有理数都能表示成一个有限的连分致，所以e必定是无理数． 欧拉的贡献波及数学各领城，他是数学史上最伟大的数学家之一，也是最多产的数学家．他不仅是一位想法很多、很会算的数学家，还是一个善于创造符号的人，比如说e， 及log都是由他首创，一直通用至今．他所完成的工作中，广为人所乐道而且也是流传甚广的，就是下面的Euler恒等式： 这个公式受到现代诸多大数学家的真心吹捧!(详见<林根数学>)头条号之 “质数会孪生吗?”) 事实上这个公式后来成为证明，是超越数的工具，从此也结束了“化圆为方”的恶梦！ 这个公式美妙的地方还在于，实数和虚数可以参与运算，最后结果竟然是实数（ ）！ 数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了'四元数'的概念。所谓四元数，就是一种形如的数。它是由一个标量 （实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对'多元数'理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。 这个哈密尔顿数,就更不是什么通常所谓的”数”了,它满足的数的运算性质也越来越少! 如果你有幸进入大学的数学系,一般会学实数的完备性定理,也就是说实数的的确确填满了数轴,至于这个证明嘛,也是费了无数数学家的脑子才发现的,其间的证明过程要用到戴德金分割,区间套定理等高深的理论.记得林根老师读大学时,期末考试就考到了这个定理的充分性证明(还不是全部的证明啊),哈哈,全班飘红啊,好在林根老师还算努力,那次没用得着补考. 后来,向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。 看到一篇《虚数的图解》的文章，将虚数解释得很简单。读后觉得挺有意思,转到这里大家看啊! 让我们来看一下（为行文方便，有些地方略做修改）： （下文转自阮一峰的博客） 一、什么是虚数？ 首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。
这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。
这相当于两次逆时针旋转90度。
因此，我们可以得到下面的关系式： (+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1) 如果把+1消去，这个式子就变为： (逆时针旋转90度) 的平方 = (-1) 将'逆时针旋转90度'记为 i ： i的平方 = (-1) 这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。 所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。 二、复数的定义 既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。
将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。 只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。 数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。 为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。 三、虚数的作用：加法 虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。
比如，物理学需要计算'力的合成'。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？
根据'平行四边形法则'，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。 这就是虚数加法的物理意义。 四、虚数的作用：乘法 如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。
比如，一条船的航向是 3 + 4i 。 如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？
45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）： ( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i ) 所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。 如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于： ( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i ) 这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。 五、虚数乘法的数学证明 为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？ 下面就是它的数学证明，实际上很简单。
任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。 假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：
这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于
展开后面的乘式，得到 cosα cosβ - sinα sinβ + i( cosαsinβ + sinα cosβ ) 根据三角函数公式，上面的式子就等于cos(α+β) + isin(α+β) 所以，
谢谢阅读！更多内容请关注: “北京理科王”微信公众号. “北京理科王免费答疑群”,微信号:13811118365(lingen8365). |
|
|
