实数系统的历史反思

水西公主 2013-08-14

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实数系统的历史反思

兼评“中国古算与实数系统”

蒙虎

（中国社会科学院哲学研究所科技哲学研究室，北京 100732）

摘要：基于便捷的计数法和解决实际问题的需要，中国古算在《九章算术》中即已建立起分数表示的有理数系与小数数系，构成此后算法数学的基础。在西方，希腊人从数与数的比出发，在克服数学危机的努力中，建立起有理数域和“量”的比例理论；欧洲近代数学由于代数、解析几何和微积分的发展，在“数”与“量”的混合中，把有理数域扩展代数数域。十九世纪末，适应于分析的严格化，各种无理数（量）被统一为有理数的极限，然后，在有理数子集的等价类的意义上建立起实数系，完成实数理论。本文通过中西两种数系发展的历史考察，说明它们的建立、扩展和完成有着很大的差异，并由此对“中国古算与实数系统”一文的主要观点提出置疑。

关键词：数系数量中国古算西方数学

我国数学家吴文俊先生曾两次撰文强调：“中国的劳动人民，在长期的实践过程中，创造与发展了从计数、分数、小数、正负数以及无限逼近任一实数的方法，实质上，达到了整个实数系统的完成。”在此基础上，他进一步认为：“早在公元263年时，刘徽即已通过十进制小数以及极限过程完成了现代意义下的实数系统”（着重号为原文所加）。并通过两种数系的比较，说明在数系的扩展中一个关键的步骤——引进无理数的问题上，中国古算“这种引进既简单又自然，由于数与形的结合，根本上排除了危机”[1]。本文从简要分析现代实数系的特点出发，通过两种数系演化的分析、比较，说明中国古算与西方数学（指希腊、近代欧洲和现代数学）建立、扩展和完成数系的方式有着很大的差异，吴文俊先生的以上结论值得商榷。

一、现代数系的基本意义

著名数学史家M.克莱因认为：“数学史上最使人惊奇的事实之一，是实数系的逻辑基础竟迟至十九世纪后叶才建立起来。在那时以前，即使正负有理数与无理数的最简单性质也没有逻辑地建立，连这些数的定义也还没有”[2]。这说明现代数学中的数系有着特定的含义，它不同于历史上曾经出现的各种“数的集合”及其运算。现代实数系并不是代数数（域）和超越数集合的并集，而是通过自然数的等价类对实数的存在性及其四则运算给出重新定义。

现代实数系的建立，关键是无理数存在及其运算法则的确立。十九世纪末，由于分析严格化的需要，各种形式的个别无理数被统一于有理数列的极限。正是康托尔和戴德金把实数（包括有理数和无理数）定义为有理数列或者有理数子集的等价类，同时，把实数系的有序性和代数运算都建立在这种等价类的意义之上，从而把稠密的代数数域扩展为连续的实数域，使现代实数系成为有序、连续的代数域，成为序结构、代数结构和拓扑结构完美结合的统一体。然后，把有理数定义为整数的有序对，整数规定为自然数的有序对，这样通过有理数而把实数系逻辑地建立在自然数之上。

需要强调说明的是，传统的数系——代数数域、有理数域、整数环等——只有在等价类和运算同构的意义上成为现代实数系的子类。例如，作为现代实数的无理数是有理数的非常数列的柯西等价类，而其中的有理数是传统有理数的常数列的等价类；同样，作为有理数的整数是有序数对（m,1）(其中m是整数)。也正是在这种等价类和同构性的意义上，现代实数系逻辑地建立在自然数之上[3]。这就是M.克莱因所说的实数的逻辑基础的建立。

在实数理论建立之后，皮亚诺和弗雷格试图进一步寻求自然数的逻辑基础——把自然数建立在集合论之上——的努力由于集合论悖论的出现而受阻。这就使得自然数成为现代数学的真正的基础，正如克罗内克的名言：“上帝创造了自然数，其余的数都是人造的”。

仅从逻辑线索来看，从自然数出发，数系扩展的关键就是把分数、小数或者有理数、负数、虚数、无理数、代数数和超越数等的存在性及其运算解释为自然数集合的等价类及其运算。而从历史发展的角度看，数系起源于早期人类的计数和测量活动，前者发展出自然数及其（代数）运算，后者形成量的稠密性和连续性（拓扑）概念，在一定意义上这已经构成此后数系乃至于全部数学的基础[4]。离散的自然数的算术运算的扩展和连续量的数值表示成为此后数系扩展的两种基本方式：从自然数、有理数的算术运算到代数数域的建立，从直观的空间连续性经由几何连续量的有理数表示直至实数的连续性的建立。基于清晰的自然数和直观的连续量这个共同的基础，在不同传统的数学中发展出各种不同的数系，但是它们和现代数学中的数系有着很大的差异。以下我们考察中西两种数系的发展过程，以及它们与现代数系之间的关系。

二、西方数系的发展

从清晰明白的自然数和直观的连续量出发，西方数系的发展大约经历以下三个阶段：希腊时期的有理数域和量的比例理论的建立；近代欧洲，在代数方程和解析几何以及后来的微积分（无穷小算法数学）的推动下，通过方程的根、几何量、字母的代数运算等方式，把希腊人的有理数（域）推广到包括负数、（个别）无理数和虚数在内的丰富而混乱的“数系”，然后，通过高斯的几何解释确立了负数与复数的存在性，从而建立起稠密的代数数域。最后，由分析的严格化开始，通过把无理数统一为有理数的极限这一关键步骤而走向实数连续统的建立。

人们直观地认为一切量都可以用数和数的比直接表示，基于这种朴素的常识和理性自然观的需要[5]，古希腊的毕达哥拉斯学派确立了“万物皆数”的自然哲学信念。而这里的“数”就是自然数，所以他们把数与数的比加以区别。用数和数的比直接表示一切（特别是几何）量的尝试是数系扩展的开始。也是在用数和数的比表示几何量的过程中毕达哥拉斯学派自己发现了逻辑矛盾，即在用数的比表示时出现了逻辑矛盾。这种逻辑矛盾说明用数与数的比去直接表示几何量不具有普遍性，这就和毕达哥拉斯的自然哲学的信念相冲突，也正是在这种意义上——逻辑矛盾与哲学信念的动摇——引发了第一次数学危机。

以逻辑严格性为根本的希腊数学，从此就再不敢将数的运算简单地类比到量的运算上去，这正是希腊人的高明和智慧。同时，也正是这种强烈的理性意识，希腊人努力去重新建立“量”的运算——欧多克斯的比例理论。这种理论的高明就在于它绕开了用数表示量的可能性这个难题，在量的比与数的比之间建立一种等价关系，把量的比转化为（等价于）数的比。这既保持了数的运算的直观明见性，也使量的运算达到逻辑严格性，无理量的存在和运算被归于量的理论之中。这是希腊数系发展的第一个成果，也由此导致数与量的分离。

欧多克斯的量的理论相当复杂，只用于严格的逻辑证明，而且回避了“用数如何表示量”的问题。欧几里得《原本》中只比较两个几何量的大小，而不去具体计算面积、体积等几何量，但是数学（包括测地术和音乐、天文等）又无法避开“用数表示量”的问题。这一难题在阿基米德的工作中得到既严格又巧妙的解决。他用“穷竭法”把（几何）量直接界定在两个有理数之间——而不是借助于某种计数法把量直接表示为数[6]，然后他又用比例理论对量的运算加以证明[7]，他的工作标志着希腊数系发展的第二个关键的步骤：通过用“有理数”界定“无理量”，把量的运算建立在数和数的比的运算之上。这种方法是走向现代数系的重要步骤[8]。但阿基米德的方法并没有使得“无理量”变成“无理数”[9]，数与量的分离依旧。

希腊数系发展的第三个重要的步骤是丢番图在《算术》中第一次把数和数的比统一为一个整体，遵守相同的运算，由此把自然数系扩展到有理数域。他的半文辞代数，在符号表示的意义上，淡化了数与数的比的区别。但是，希腊人在有理数系的问题上也并没有形成统一的看法，如尼克马科斯把数的理解恢复到毕达哥拉斯的意义——自然数与自然数的比加以区别[10]。

总的说来，希腊人的数系是清晰严格的，却是相互分离的。在算术与几何学中，建立起清晰的数与数的比的运算和严格的比例理论；在半文辞代数中借助于符号本身的抽象意义把数与数的比的运算统一起来构成有理数（域），而在测地术、天文学等的实用数学中，用有理数来界定或者近似表示量，并达到了很好的逻辑严格性。同时，有理数与量严格区别。

适应于解决物理学（自然哲学）和实际应用问题的需要，近代欧洲人淡化了希腊人的逻辑严格性要求，忽略了比例理论这个严格而复杂的证明手段，模糊了数与量的区别，开始直接“用数表示量”。数系的发展承接着丢番图和阿基米德的工作，差不多回到了前希腊的巴比伦和埃及时代[11]。基于半文辞代数的有理数系（域）和连续量的有理数表示（界定），这两个传统在近代欧洲交织在一起，使得数系的问题变得异常的混乱，同时也异常活跃。经过三百多年混乱得令希腊人难以接受的发展过程，把希腊人清晰的有理数域扩展到包括几何量、方程的根、抽象流量（包括无穷小量）等在内的丰富而复杂的数、量混合的代数数域[12]。

代数的符号化和解方程的需要将传统的有理数向着负数和复数扩展。传统的有理数的算术运算通过韦达的符号表示被直接扩展到代数运算。在解有理系数的代数方程时，把方程的根作为新的运算对象加入有理数域，通过规定它们的运算，把有理数的算术运算推广到包括方程的根在内的代数运算[13]，事实上形成了有理数域的扩张域，最终建立起代数数域。特别重要的是，从笛卡尔开始就把代数的与超越的加以区别[14]，到林德曼证明了这种区别[15]。对超越数的认识使得希腊人关于有理数与无理数（量）的区别这个重要的问题进一步深化，成为近代数系发展的一条重要的线索。

解析几何和微积分（特别是无穷级数）的发展使得传统的有理数和无理量之间的区别逐渐消逝：放弃严格而复杂的欧多克斯的比例理论和阿基米德的严格巧妙的方法，把有理数的运算“直接”推广到无理量。笛卡尔在《几何》中明确提出“如何将算术运算转化为几何运算”[16]，在笛卡尔还通过单位线段把量的运算转化为相同维数，而到了牛顿和莱布尼茨的微积分——无穷小量的代数演算，就直接把数的运算“形式地”推广到抽象的量。后来柯西、波尔查诺把个别无理数统一为无穷数列的极限，到戴德金、康托尔干脆就将无理数定义为这种数列的等价类，最终实现了由有理数域（代数数域）的稠密性向实数域的连续性的过渡。跳出感性经验，把实数统一为有理数子集的等价类。需要特别注意的是，虽然在混乱的积累时期，人们完全忽视了欧多克斯的比例理论，但在无理数的逻辑基础的建立中依然依然有着欧多克斯比例理论的影响[17]，这表明西方数系发展的复杂性与曲折性以及追求逻辑严格的一贯性。

有了完备的实数系，困扰西方数学的“数”与“量’的关系问题最终解决：连续量和连续实数统一起来，传统几何的直线和新的实数系成为等价的连续统，成为抽象连续统的具体形式，而稠密的有理数在等价类的意义上构成实数系的子集。

三、中国古算中数系的建立

同样从清晰明白的自然数概念出发，适应于测度计量的实际需要，借助于便捷的计数法和简单的算具，中国古算很早就建立起简洁的自然数的“九九算术”[18]，并逐步推广到分数和小数运算，其中自然数和分数相当于希腊人的数、数的比，而小数成为独立于分数的一个数类，并由此发展出中国古算的数系——无限小数数系。

在自然数四则运算的基础上，《九章算术》给出明确的负数的加减运算（缺少负数的乘除运算）和正分数的四则运算，从而形成分数表示的有理数系（域）[19]。从明确引入负数及其加减运算法则的角度看，这个数域比希腊人（丢番图）建立的正分数运算的有理数（域）更接近于现代的有理数域。但这一有理数域并没有沿着“代数化”的方向进一步发展出现代代数数域的某种等价物。有理数的运算依然是算术运算，它不同于抽象符号的代数运算。

借助于量的连续性观念，中国古算，从自然数、有限小数到无限小数，以简单概括、直观类比的方式，逐步推广自然数算术运算，最终，在《九章算术·刘徽注》中，在“以面命之”的意义上，给出无限小数存在性的直观判断[20]，建立起类似于实数连续统的无限小数数系。在严格的有理数（分数）域和朴素简洁的无限小数数系独立并存的意义上，中国古算，在刘徽时代，已经完成其数系的建立，并由此奠定此后中国数学发展的基础。

在现代实数系中，小数分为无限循环小数和无限不循环小数两类，有限小数就是循环节为0的无限循环小数，同时，有限小数和无限循环小数是相对的，取决于计数法所采用的进位制。无限循环小数对应着自然数常数列，而无限不循环小数对应非常数自然数列，它们的等价类分别为有理数与无理数。这样，无限小数成为定义实数的一种简洁有效的方式。

中国传统数系的发展不是从有理数系向实数系的过渡，而是直接从自然数、有限小数到无限小数的过渡。在解决实际测度计算的问题中，十进位位值制计数法被自然地推广到有限小数，其四则运算法则完全等同于自然数，只需表明小数点的位置即可。基于便捷的记数法，中国古算进一步把清晰的自然数的运算直接延拓到“无限小数”上去，在这种意义上，形成简洁有效、直观朴素的无限小数数系。在这里没有对无限循环小数和无限不循环小数加以区别，也没有对“有限”与“无限”这两个重要概念严格区别。正因为没有这两个重要的区别，使得从有限小数经由无限循环小数（有理数）向无限不循环小数（无理数）的过渡就“没有任何困难”，没有意识到从有限到无限的跨越，没有遇到象西方数系发展的那种障碍。但无限小数的存在和运算法则都没有重新界定，而只是自然数经由有限小数到无限小数的类推。

由此可见，理解中国古算中数系的特点及其完成的程度，关键在于如何理解无限小数的存在及其运算，也就是看中国古算如何把无限小数的存在和运算建立在自然数及其运算的基础之上。在《九章算术·刘徽注》中给这种无限小数的存在性给出说明，这就是“中国古算与实数系统”一文第4部分详细讨论的“以面命之”的重要意义。即“面”在不同于有限小数的意义上确立无限小数作为一个完成了的结果[21]，相当于把无限小数统一为自然数列的极限，并“以面命之”，这是确立实数存在性的一种有效方式，是走向实数连续统的重要的一个步骤。但距离建立实数系统还有另一个重要的步骤，就是如何给这种“面”规定相应的运算，同时把这种运算建立在自然数运算的基础之上。而在刘徽的工作中，“以面命之”的“面”只是无限小数的存在性的一种直观的肯定，对“面”的运算的理解只是实际计算中的有限小数的运算法则的简单类比。中国古算中是否明确给出这种“面”的运算法则需要进一步考证[22]，这是中国古算中的小数数系能否成为一个实数系的关键所在。

由此可见，刘徽的“以面命之”进一步发展了《九章算术》建立的小数数系，在“以面命之”的意义上直观地确立无限小数（包括无理数）的存在，绕开了困扰希腊人的用有理数表示无理量的困难。但是这个数系和现代实数系之间的还有一定的差距。同时，中国古算中的有理数系是以分数的形式建立的，而小数是独立于分数的一种数系。既没有循环小数与不循环小数的区别，同时，在固定的计数制中，也没有明确给出把无限循环小数转化为分数的具体方法，这种由自然数的简单类比建立的小数数系就不是建立在有理数（系）的基础之上的。

在《九章算术·刘徽注》建立起小数系以后，中国数学基本上在这样的数系基础上进行，以这种简洁的小数数系和简单的算具为基础的计算技术，脱离具体量的限制，发展出宋元时期的“高次方程数值解”，把中国传统的算法数学发展到登峰造极的精巧程度。但在数系方面没有大的变化，高次方程的解可以看作是广义的“面”。特别是，中国古算只关心“面”的近似值的计算，几乎没有意识到这种“面”的解析表示和代数意义。

四、两种数系的比较

针对“中国古算与实数系统”一文的结论，以下说明从自然数到无限小数而建立的中国古算的数系与从有理数经由代数数到现代实数理论的西方数系之间存在着很大的差异。

首先，从总体来看，中国传统数学与西方数学对于数的分类不同，对数的运算意义的理解与西方不同。在中国古算中，数被分为自然数、分数和小数。理解中国古算中数系的关键是无限小数，作为无限小数存在性的“面”只是一个无限过程的结果（极限）的直观判断，不是一个明确的运算对象，在实际的运算中，面还是以一个有限小数出现的，遵从自然数的运算法则。这种“面”的集合是否应该理解为一个实数系，是需要进一步考据研究的问题。中国古算中的小数既不是西方数系中的有理数（自然数与数的比），也不是量（magnitude）的某种等价物，无限小数的存在性及其运算没有达到希腊人的数的运算或者量的比例理论那样的严格性，同时发挥着两者的作用：它满足数的四则运算法则，又可以直接表示任何类型的量（的近似值）。中国古算从自然数发展出小数系，试图把简洁的自然数的运算法则推广小数上去，获得有效的计算工具。西方数系从自然数出发扩展出各种数系，同时又努力把新的数系的存在和运算的合理性回归于自然数的基础之上。

其次，中西数学建立和发展数系的方式不同，特别是引入无理数的方式不同。在中国古算中，由自然数分别独立地发展出分数（有理数）和无限小数，把自然数的运算类比到无限小数，建立小数数系。在“以面命之”的意义上，“面”成为构成无限小数（集合）的基本元素，在这个“面”的集合中，没有有理数（循环小数）与无理数的明确区分，没有“面”的具体运算法则的明确规定。在具体运算中只涉及“面”的有限小数的近似值表示，而有限小数遵守自然数的运算法则。希腊数学，由于用数和数的比（分数）表示量时发现逻辑矛盾，由此区分了可公度量与不可公度量，在这种意义上发现了无理数（不可公度量）。建立起量的比例理论，但“量”没有构成一个（数）域，因为量的比只限于同类量，同时量的乘法受到限制[23]。中国古算中的数系在《九章算术·刘徽注》中完成以后再没有大的变化，宋元时期在解方程中引入负数的乘法法则（最早见于朱世杰的《算学启蒙》[24]），使有理数系进一步走向完善，但没有涉及代数数，这样负数一直限于算术运算。高次方程的数值解可以看作是对“面”的丰富，没有实质的变化。希腊数系从有理数出发，沿着代数化方向，通过代数（符号）和方程的根（系数的解析表达式），扩展为代数数域[25]，同时，沿着“用数表示量”的方向，从阿基米德的几何量的有理数界定开始，到近代解析几何的几何量的运算和物理量的运算的建立，特别是微积分（无穷小量算法）的发展，把无理数（量）最终统一到有理数的极限。同时，这两条线索交织在一起，互相矛盾冲突，发展曲折复杂。和中国古算的数系演化大异其趣。例如，针对解方程的问题，中国古算在算术运算中寻求数值解，而西方数学寻求解析解，在这一过程中几乎同时引入负数、虚数，并把代数数和超越数相区别，这是中国古算中不可想象的问题。再如，西方数学从有理数与无理量的区别出发，在用数表示量的努力中建立无理数理论，而中国古算中就没有这种区别，没有用数表示量的任何困难。

由此可见，西方数学与中国古算发展出相互独立的数系。强调概念清晰、逻辑严格的西方数学从摆脱数学危机开始，通过算术运算的代数化，把有理数系扩展为代数数域，同时，在用稠密的有理数表示连续量的努力中，把实数统一为有理数的极限。经过复杂曲折的历程，最终建立起“成熟的实数系”。而强调实用的中国算法数学，适应于实际计算的需要，借助于便捷的计数法，通过简单类比，把自然数的算术运算推广到无限小数的算术运算，并在“以面命之”的意义上强调无限小数的存在性，由此而发展出朴素直观、简单便捷的小数数系。这种小数数系是一个“早熟的实数系”。在这个小数数系中，没有代数数与超越数的区别，也没有稠密性与连续性的区别，包括负数、开方（求根）等的运算依然是算术运算，这和现代的实数系有着很大的差异。说中国古算很早就建立了一种独立的数系尚可，要说“早在公元263年时，刘徽即已通过十进制小数以及极限过程完成了现代意义下的实数系统”，则值得怀疑。同时，“数学危机”是西方数学发展的重要的里程碑，前两次数学危机对于数系的建立和完善具有不可替代的重要作用，说中国传统数学“根本上排除了危机”可能会引起读者对西方数学危机及其意义的误解。诸如此类，涉及两种数系关系的问题需要进一步深入研究。

〔参考文献〕

[1] 以上引文见吴文俊，“中国古算与实数系统”，载《科学》2003年第2期

[2] [美]M.克莱因著，北京大学数学系数学史翻译组译：《古今数学思想》.第4册，上海科学技术出版社，1981.第41页

[3] [德]G.弗雷格著，王路译，《算术基础》，商务印书馆，2001.

[4] [美]丹齐克著，苏仲湘译，《数，科学的语言》 [M]．北京：商务印书馆，1982．第7页

[5] [美]M.克莱因著，北京大学数学系数学史翻译组译：《古今数学思想》.第1册，上海科学技术出版社，1981.第166页

[6] [美]丹齐克著，苏仲湘译，《数，科学的语言》 [M]．北京：商务印书馆，1982．第16页（拉普拉斯的评述）

[7] [美]M.克莱因著，北京大学数学系数学史翻译组译：《古今数学思想》.第1册，上海科学技术出版社，1981.第122页

[8] [美]丹齐克著，苏仲湘译，《数，科学的语言》 [M]．北京：商务印书馆，1982．第129页

[9] 英语Irrational译为“无理量”或者“无理数”（irrational number）要根据上下文而定，同时应考虑其拉丁文与希腊文原文意义。

[10] M.J. Adler(ed. in chief),Great Books of the West World(10) Euclid Archimedes Nicomachus (Encyclopadia Britannica, Inc Second Edition,1990).599

[11] [美]M.克莱因著，北京大学数学系数学史翻译组译：《古今数学思想》.第4册，上海科学技术出版社，1981.第44页