数的运算之代数学

一．概念描述

现代数学：代数学简称代数，是数学的一个分支，用字母代表数来研究数的运算性质和规律，从而把许多实际问题归结为代数方程或方程组。在近代数学中，代数学的研究由数扩大到多种其他对象，研究更为一般的代数运算的性质和规律。

根据研究对象的不断扩充，代数学的发展可以被分为算术、初等代数、高等代数、近代代数和现代代数五个历史时期。算术是代数的前身，也被看作代数的一部分。

小学数学：小学数学教材中没有出现“代数学”的定义，但是在四年级总复习时开始用到“数与代数”一词。

二．概念解读

“代数”一词，来自拉丁文“algebra”，但它又是从阿拉伯文变化而来的，原意是“还原”或“移项”的意思。我国清代数学家李善兰在1859年首先使用“代数”这个名词，他将英国数学家棣么甘所著的书Elemants of Algebra定名为《代数学》。

小学阶段主要研究的是“算术”和“初等代数”，所以在小学教材中没有直接出现“代数”一词，而是做了一点铺垫，称这部分内容为“数与代数”。

算术是研究数在加、减、乘、除、乘方和开方等运算下的性质的数学分支学科。而数的概念是随着历史的发展不断扩充的。我们的祖先由于记事和分配的需要，头脑中逐渐抽象出了数的概念。古希腊人曾用小石子记录牲畜的头数或部落的人数，现在使用的英语单词calculate（计算）一词就是从希腊文calculus（石卵）演变而来的。结绳记事、刻痕计数、摆小棍等也是古人常用的计数方法。这些办法代代使用，逐渐由少到多地形成了自然数的概念并且产生了记数的符号。虽然能够写出来的只是有限个，但是人们已经逐渐认识到自然数有无限多个。随着时间推移，人们逐渐发现，仅仅用自然数表示事物的多少已经不够了。比如5个人分4件东西，每个人该得几件呢？用自然数就无法表示，于是产生了分数。自然数（包括零）和正分数，通常称为算术数。非零自然数也称为正整数。算术数及其运算是小学阶段数学学习的主要内容。

随着认识的不断发展，又逐渐产生了负数的概念。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。数的范围被扩充了，人们的计算更方便了。后来又有了无理数（这部分内容集中在中学学习，在小学阶段我们最熟悉的圆周率∏就是其中之一。遗憾的是，在小学阶段我们认识的无理数仅此一个，实在太少了，以至于有学生认为无理数很少，其实无理数比有理数多得多）。有理数和无理数一起统称为实数。数的范围扩大了，各种数学理论的研究就得以深化。后来实数域又被扩展到了复数域。

尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。关于复数部分见下图。

初等代数是研究数和字母的代数运算理论和方法的，更确切地说，是研究有理数、实数或复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。初等代数是更古老的算术的推广和发展。在古代，当算术里积累了大量的各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。

代数学的起点是用字母表示数。在人类历史的发展过程中，人们最先接触的是具体的数量，从具体的数量到抽象的数是人类认识上的第一次飞跃，也由此产生了算术理论。随着生产的发展，人们发现算术中的许多现象具有共同的特征，这时，只用几组算式来表示，就不能代表这几组算式的一般性规律，若是用语言文字表达又很麻烦。数不够用了，必然要引起数学史上第二次抽象---用字母表示数。历经2000多年，最终形成了用字母表数的方法，从此贯穿于全部数学中。由此，数学在表达方法、解题思想和研究方法方面都发生了深刻的变化。

有了字母表示数，代数学中的代数式、代数方程便出现了。因此，代数可以理解为“用字母代替数”，表明它比算术更高明。有了字母表示数，数学中的定理、性质、定律、法则、运算律等都能用字母公式表达出来了。

三．教学建议

①“数与代数”部分是义务教育阶段数学课程的重要内容，贯穿于一至九年级。它主要包括数的概念、数的运算、数量的估计：字母表示数，代数式及其运算：方程、方程组、不等式，函数等。由于此部分内容多、跨度大，把握好核心概念就显得尤为突出。如对“数感”和“符号意识”的培养是这部分内容所承载的重要任务。（具体要求可以参考《（义务教育数学课程标准（201 1年版））解读》）

②了解相关内容的本质与发展过程，从整体上认识相关概念方法的发展脉络，有助于教学目标的实现。例如，在六年级总复习时，教师在与学生交流了学过哪些数之后，问：“数数的时候，有自然数就够了，为什么还要有这么多的数呢？我们一起来回顾一下。教师出示数的发展过程的图片和简短文字，进而在学生解释的基础上讲解数的发展史，在借助于数轴将各种数进行分类，形成初级网络。这样，学生在了解历史及活动的过程中进一步认识了数。这样构建知识网络的教学，不仅有利于学生整体把握知识之间的内在联系，还能深化学生对每部分知识的理解和应用，而且能从中提炼数学思想，提升学生的能力水平。