数学教学与心理学 数学教学的心理概述

数学教学与心理学

 

数学教学的心理概述

 

数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学，它的概括性、抽象性和逻辑性都很强。

为了提高中小学学生学习数学的效果，必须深入研究数学教学中有关的心理学问题，一方面按照心理学的规律进行数学教学，一方面通过数学教学促进他们的心理发展。

 

数学教学的心理发展过程

 

学生要掌握数学的概念、法则和定理，必须通过自己一系列复杂的思维过程，应用所得概念进行符合逻辑的判断、推理。所以学习数学要求具有一定的抽象逻辑思维能力，同时，在学习数学知识的过程中抽象逻辑思维的能力也得到相应的锻炼和发展。

中、小学的数学教材，首先接触的是常量关系，所以学生最初是通过符合形式逻辑的基本规律（同一律、矛盾律、排中律和充足理由律）和方法（分析、综合、演绎、归纳、类比等）的思维过程去掌握概念和进行判断推理的。以后逐渐更多地涉及变量关系，学习时就必须从事物的发展、运动、变化，进行全面观察，通过符合辩证逻辑的思维过程，才能揭露其本质，掌握其关系，同时在这个过程中逐渐提高辩证逻辑思维的能力。

有的数量关系和空间形式，无法凭借感官直接接触事物去把握。例如要认识无穷大和无穷小的数量变化，超过可见范围的空间延伸与分割，都只能借助于高度的想象，因此，学习数学也就反过来促进学生想象力的发展。

观察、注意、记忆等能力，也是学习数学所不可缺少的，同时学习数学也有利于发展这些能力。此外，学习数学除了与各种认识能力相互促进外，与心智活动的兴趣、克服困难的意志、一丝不苟的严肃态度及良好学习习惯等也都有密切关系。由于数学同社会主义四个现代化建设的实践具有密切的联系，所以学习数学对激发和培养正确学习动机与社会主义爱国主义情感等，也都将起一定作用。

 

数学的认知结构

 

数学知识是有严密组织的知识系统，例如简单的自然数列，就是一个依前后顺序逐一递增的数字的系统。学生学习数学，在掌握知识的过程中，也就形成相应的认知结构，如关于自然数列的认知结构。这是数学学习中的一个中心的心理成分。

数学认知结构有不同的水平：有的是对同一类数学知识进行概括，例如学习超十加法时学会凑十；有的则是概括不同种类的数学知识，例如概括基本运算法则和指数计数法而形成关于指数运算的认知结构。但是，在任何条件下，已有的认知结构都是学习新知识的基础。即便是学习简单的“2”的概念，在对其数量为二的各种不同客体从数量关系方面进行概括时，也是以已有的关于“1”的概念作为依据的。

学生在学习数学时，他们的认知结构表现出两种功能。一是凭借已有的

数乘法实际上是多位数连加和一位数乘法的结合，学生就是在这些认知结构的基础上去学会多位数乘法的。

学生的数学认知结构是随着数学学习而扩大、加深和发展的。这种过程有两种相辅相成的方式。在新知识与原有认知结构相一致的情况下，新知识就被纳入原有认知结构之内，从而扩大了它的内含，这种过程叫做同化。前面所说的多位数乘法的学习，就是同化过程的一个例子。当新知识同原有的认知结构不一致时，就要对原有的认知结构进行部分的改组，以适应新的学习的需要。这个过程叫做调整。例如，在学生开始学习分数时，就不能简单地依靠已有的认知结构，而要学会把量度单位划分为小于1的单位，并学会通分而后加减。教师在教学中，需要采取适当的措施，利用学生已有的数学认知结构，并促进它的发展。

 

自然数概念

 

学习数学首先从自然数开始。自然数概念结构中，包括很多最基本的数学概念，特别是基数、序数、数的组成，而且涉及十进位记数法和自然数加、减、乘、除等。所以要确定是否已掌握自然数概念，往往以这些方面作为衡量指标。

心理学研究表明，儿童掌握数，最初是从模仿计数的活动开始的。先是像顺口溜似地唱数，这时唱出的数并不代表实际数量，这从他们点数实物时口和手不一致就可证明。只有在点数中能口手一致，且以数到的最后数词表示已数过的实物总数，才算是从实际数量相同的事物中，抽象概括出它们在数量上的共同特性。10以内原始的基数概念通常就是这样掌握的。

计数活动不仅掌握基数，同时也掌握序数。点数实物使实际数量的多少与其前后次第的关系结合在一起。最初是分清相邻数的先后；后来才逐渐掌握标志次第的序数（第几）。因为序数不但涉及数而且涉及序，只有概括出一个数在群中所处的共同相应位置时才能掌握它。因此，不能简单地说先掌握序数或先掌握基数。这两种数概念的掌握是互相制约又彼此促进的。

儿童虽然在日常生活游戏中和在成人帮助下，通过把弄物体和模仿计数的过程，初步形成基数与序数的原始概念，但它具有很大具体性，不易与实物或操纵实物的动作分离开。只有经过正确教学，原始基数、序数概念的抽象水平才会逐渐提高，并在此基础上，使自然数概念进一步扩大发展。其所发生的本质变化如下：

首先，数词及数字的记数法，使原始的数概念摆脱实物和操纵实物的动作，逐渐获得更高度的概括性和抽象性。例如，10以内的每个数词、数字各代表一群实物的实际数目以及它本身在序列中所占有的确定位置。由于在教学中利用有组织的物、图排列和“框图”形式渗透集合和对应思想，这就更有利于使“数”成为整体的数群概念及数序概念，从而提高这两个概念的水平。这些又都为数的组成、分解造成有利的条件，这时，数的序列成为分析数群的手段，加上引进的子集、并集思想，基数群就成为可分可合，不但获得每个数的确定概念，而且获得了数的构成概念。再加上数的序列变化，隐含进函数的思想，这样，数的概念又进一步提高了。

其次，新的计数单位“十”的掌握，形成十进位概念，这时数概念的发展起了根本性变化。十以内的数是以“个”为计数单位，现在加上了以“十”为新的计数单位，引进数位概念与满十进一的十进制概念，这就为数概念的发展创造了条件，从这时起，每一个数字其意义都超出了它对于具体数量的直接关系的范围。同一个数字当它处在不同数位时，就获得不同数量意义。因此，十个数字就可以以不同的配合表示任何十进制的数了。例如 12与 21是用同样两个数字组合而成的，由于数位不同，1和2在这两个数中其意义是不同的。从此，数的概念的广度大大扩展了。每个数字通过十进的关系联成一气，构成整个自然数列的概念结构。

十进位概念也促使运算的方法与程序完善化。

最后，十进位的加、减、乘、除概念的形成，又反过来促进对数量关系理解的水平，进一步发展了自然数系的概念结构。

以上三方面对自然数概念发展的促进作用，互相交织在一起，在学生思维过程中建立起完整的关于自然数的认知结构。

必须指出，自然数概念的认知结构中，除上述各有关概念外，还包括诸如“一共”、“还剩”、“多几”、“少几”、“平均”、“倍数”等等数学用语的概念在内。

 

代数概念

 

代数概念的概括性程度比算术更高，它以更一般的形式表达数量关系，因而通过它也就能更深刻地理解数量关系。

从算术概念发展到代数概念，是数的概念一次重要扩展，它需要更加高度发展的抽象思维能力。如果（不宜说适当）采取符合心理发展规律的措施，促进抽象思维加速发展，同时又正确动用算术概念，克服其负迁移影响，就可以使学生从算术概念较顺利地过渡到代数概念。早在60年代初期，我国就有人在教改中，在小学五年级儿童中试教代数基本概念，试验初步证明11～12岁学生的抽象思维发展水平，已有可能掌握代数的一些基本概念。继后的教改实践，也证明在小学算术教学中早期渗透、孕育代数思想，可以有利于从算术概念过渡到代数概念。国外还有人用拼积木的方式教8岁儿童学会二次方程课题。所有这些都说明可以设法加速从算术概念到代数概念的过渡，关键在于要掌握这一过渡中的心理特点。

1.形成负数概念问题

正确理解正、负数概念是掌握有理数知识的核心。学生初学代数时，对数的性质符号与加、减运算符号分化不开。所以在排列正负数的大小时，就

值大小排列，数字的意义抑制了性质符号的意义，后者被看做是表示运算的符号，与数的大小无关。

不能确切掌握负数概念还表现在不会用负数概念来表示客观事物的本质特征。例如在一个学习有理数的实验中，有的13～14岁学生把“水位下降了3厘米”的现象，表示成“下降-3厘米”，把“河床比地面低20米”表示成“比地面低-20厘米”。

结合运算能有助于分化出负数概念所表示的含义，从而有助于正确掌握它。教学经验表明，在计算入库的米时，先规定每包以100斤为标准，凡超过100斤所多的斤数用“+”表示，不足100斤所少的斤数用“-”表示，然后运算结果。这样做，学生能较顺利的完成课题，并能较顺利地初步理解正负数意义。研究也证明：用数轴为工具教学生理解正、负数在数轴上的分布以进行对比是有益的，如让学生计算两线段之差，从算术中习惯的大数减小数开始逐渐过渡到新条件下的运算，包括小数减大数的运算，学生就能较顺利地形成关于-1和其他负数概念。学生将这种新的运算所得结论与算术运算中形成的概括进行比较，发现两相抵触，从而认识必须修改以前的概括，用较大范围的概括代替它。将正负数在数轴上分布的概念与生活的及科学的内容的概括相联系，可以促进对负数具体内容的理解。

2.用字母符号代替具体数字以扩大数概念

用字母代替数字是学习代数的又一关键性问题。初学代数的学生，有的对运算的结果仍是一个符号或代数式感到不能理解。说“这等于没有算。到底是多少，还是不晓得。”这显然是受算术概念负迁移的影响，学生受算术的具体数字概念的束缚，提不高概括水平，不理解字母符号可以代替任何数。

数、式、形结合的教改实验，采取早期引进字母的办法孕育代数思想，这对形成以字母代数字的“心向”有一定作用。以×代替（    ）表示未知数，即使在小学一年级也没有困难。用a，b表示已如数像图1一样讲长方形周长，儿童也能接受。尽管这些并未达到真正以字母符号代替任何数的水平，但以后遇到字母符号就不感到突然和陌生。

在此基础上，为培养学生真正领会代数概念的意义及其优越性，应该一方面利用旧的数概念和知识，另一方面又引导学生扩大旧概念以理解新的数概念（以字母符号代表更抽象的数概念）。例如，教学实验研究表明，学习S= Vt的公式，必须有“距离=速度×时间”的算术知识基础。而使学生真正领会S=Vt公式中的字母符号可以表示任何一个数，应当按一定的步骤引导，使学生逐渐摆脱具体数字的局限，积极地去扩大概念范围，最终过渡到掌握用字母符号代表数概念。

 

几何概念

 

要掌握几何概念既需有一定发展水平的空间想象力，又需有概括抽象的思考力。

1.日常用语含义对掌握几何概念的影响

几何学中有许多标志基本概念的词和日常概念的用语相同。当两者含义完全一致时，则日常概念有利于几何概念的掌握；在含义根本不同或不完全一致时，就会造成障碍。

在两者含义根本不同的情况下，学生很难理解几何概念。例如，对“点”、“线”、“面”等几何概念的掌握，必须摆脱具体实物，想象其所占有的空间形式，并把其图形理解为抽象概括的“符号”。

在日常用语的意义与几何概念有部分相似，但又不一致或很不一致时，也容易产生“日常用语的意义限制几何概念的范围”的消极影响。例如“垂”这个词在生活中是指方向向下，而“垂线”的几何概念的基本质特征则是两条直线相交成直角，只有从上方一点向位于下方的水平线引垂线时，才与日常用语相合，其他情况下则不一致。所以对于“从直线外任意一点向该直线引垂线”这个课题，学生往往难于理解。这就是因为日常用语的含义限制了对几何概念的理解。当然在此种情况下，可以从一致之点入手，但必须紧接着揭示两者不同之处，而且揭示两者的不同是更重要的。

2.几何图形的感知与理解

几何图形的感知与理解对几何概念的形成关系极为密切。这表现在，既要利用感知因素促成对空间形式的概括，又要克服感知因素的消极影响，以达到对图形本质的理解，这是形成正确几何概念的关键之一。有的研究认为，适当采用变式图形可以使学生较正确掌握几何概念，且在扩充和应用它时比较顺利；而只局限于使用标准图形时，学生受感知因素的消极影响就大，对图形理解就呆板，在扩展和应用所形成的概念时也较困难，甚至不能形成正确的几何概念。教学中由于使用图形的方式不同，对掌握几何概念产生的影响如下：

（1）标准图形容易导致学生把图形的本质特征和所显示图形的个别特征联系起来。例如，在讲授等腰三角形时使用标准图形时如图2，虽然教师也指出：“一个三角形只要有两条边相等就叫等腰三角形。”但是事后叫学生判断图乙是什么三角形（已指出AB=AC），学生却认为它不是等腰三角形，问他AB不是等于AC吗？但是他说：“虽然AB=AC，但AB和AC不是在两旁呀。”显然他把“两边相等”这一本质特征和标准图形显示时相等两边“在两侧”这一个别特征联系起来，并当作本质特征。如果采用变式并和集合思想结合起来（如图3所示），就有助于学生分清其本质特征（有两条边相等）与非本质特征（位置、形状、大小），从而正确地掌握它。

（2）采用变式对概念的正确扩展及应用可产生有利的影响。几何概念的扩展，特点是沿着对称和整齐的方向、位置展开。例如直径概念的扩展是从1条到2条互相垂直的线，再从2条到4条且与前两条各成45°角……如此直至无数条。采用变式图形教的，形成的概念范围广，此种扩展就顺利，采用标准图形教的则较难。

应用几何概念时，学生必须按概念的本质特征找出图形。用变式图形教的，学生所形成的概念范围广，找到符合本质特征的图形容易。用标准图形教的则反之。例如，后一种情况下的学生，在叙述什么是直角三角形时，知道其本质特征是“有一个角为直角”，可是在证明“从角的平分线上任意取一点，则这点跟角的两边距离相等”时（参看图3），虽然很容易在三角形  BFK中找到直角，却不易发现三角形BFN中的直角。学生掌握的直角三角形概念只限于直角在下方的，这显然是受标准图形教学的影响。采取变式图形教的学生中，则很少发生此类现象。

（3）图形的感知往往要受其中强、弱成分的影响，这是知觉过程中的普遍规律。采取变式图形就可以克服它，而采用标准图形则不能。在图形中强、弱成分差别显著的情况下，标准图形更会造成学生按强成分辨认图形，而忽略其中弱成分的作用。如果遇到的弱成分正是更重要的本质特征时，则发生辨认困难或错误。例如用标准图形教过圆概念后，有的学生在口述圆的本质特征时，能指出“圆上各点与圆心等距”是圆的本质特征之一，但当辨别三个图形（圆、椭圆和不规则封闭曲线；中心线部分均划一中心点）的异同时，却只能说“都是封闭曲线，都有中心点”这一强成分，而不能指出“封闭曲线上的点是否与中心点等距”这一弱成分。采用变式图形教的学生，由于突出了“与中心等距”这一隐蔽的弱成分，在辨认上述三图异同时，就能克服强成分的影响，揭露出重要的弱成分的区别。

3.直接揭露概念本质特征及图形变式

直接揭露概念的本质特征，即是由教师直接向学生指出某概念的本质特征是什么，然后教学生在解决问题的过程中运用这些特征。有的研究表明，在初学几何基本概念时，采用直接揭露概念本质特征可提高学生用词叙述概念的精确性和掌握概念的巩固程度，且有利于精确分化“概念的图形”与“非概念的图形”以及对问题的正确解决。

可是直接揭露概念的本质特征，也不是在任何场合都起积极作用，过多运用这种方法会形成学生思维的刻板性。因为老是按教师分出的概念基本特征去寻找图形或解决问题，可能妨碍学生发展自己的分析和概括能力。

我国某些研究证明，采用“直接揭露概念本质特征”与“变式图形”相结合，或交替使用，在各方面均有利于几何概念的掌握，特别是比较复杂的几何概念或某些已经在几何概念或某些已经在几何中扩大化了的前科学概念，其效果均高于单独采用一种方法。因为结合使用或交替使用，可以有利于克服和减少各自的消极作用，并同时发挥两者特有的积极效果。另一方面还证明，兼用或交替使用两种方法，可以提高学生“用词叙述概念”、“对图形作判断”及“解决几何课题”三方面的一致性。