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数的发展史

2016-09-05  芥舟


来源:海韵互联


  提到数,大家都不陌生。小学期间我们学习了自然数和正分数;在初一学习了负数以后,解决了在正有理数不够减的问题,数的范围扩充为有理数;在初二又学习了无理数,解决了开方开不尽的矛盾,数的范围进一步扩充为实数;在高中,我们为了解方程的需要又引入了虚数单位i,数系最终达到复数系。实际上,时至今日数系已构造得非常的完备和缜密。然而你是否知道,数系的形成和发展并非完全遵循上述演变过程,又是否知道人类智慧在此过程中经历的种种曲折和艰辛。



  一、 古代数字及计数法


  人类最初完全没有数量的概念。而是在漫长的生活实践中,由于记事和分配生活用品等方面的需要,才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽,就用1块石子代表。捕获了3头,就放3块石子。“结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。《周易·系辞下》记载“上古结绳而治,后世圣人,易之以书契”。东汉郑玄称:“事大,大结其绳;事小,小结其绳。结之多少,随物众寡”。以结绳和书契记数的方法遍及世界各地。


  数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的,但是记数的符号却大不相同。古代巴比伦人的数字用点来表示,五个点表示5,八个点表示8,九个点表示9,点太多,数不清时,发明了专用的计数符号,“<”表示10,“T”表示360等等;在中国,一二三四五六七八九十百千万这13个数字在甲骨文中就已经出现。古罗马的数字相当进步。罗马数字的符号一共只有7个:I(代表1)、V(代表5)、X(代表10)、L(代表50)、C代表100)、D(代表500)、M(代表1,000)。这7个符号位置上不论怎样变化,它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来,就能表示任何数。


  1、重复次数:一个罗马数字符号重复几次,就表示这个数的几倍。如:“III”表示“3”;“XXX”表示“30”。


  2、右加左减:一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号,就表示大数字加小数字,如“VI”表示“6”,“DC”表示“600”。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号,就表示大数字减去小数字的数目,如“IV”表示“4”,“XL”表示“40”,“VD”表示“495”。


  3、上加横线:在罗马数字上加一横线,表示这个数字的一千倍。
随着人类社会的进步,数字也在逐渐变大,即开始变得无穷无尽。然而代表数的符号却只有那么不多的几个或十几个,怎么办呢?只有把几个符号拼凑在一起表示更多的数,这就要个规则。计数的规则计数法。历史上,在不同的时代,不同的地域,不同的文化中产生计数制度可以说是五花八门,不一而足。主要介绍一下几种:


  ①、简单累数制如罗马数字所采用 :3888=MMMDCCCLXXXVIII。
  ②、分级符号制如古埃及僧侣文字:10,20,……90以及100,200,……900等等都采用特殊的符号来表示。
  ③、乘法累数制如在中国:214557=二十一万四千五百五十七。
  ④、位置制计数法:即今天所说的阿拉伯数码的计数方法。阿拉伯数字实际上是印度人发明的,只不过有阿拉伯人传播到欧洲,经过改进并发扬光大并被称作阿拉伯数字。位置制计数法的出现,为一切计算都提供了极大地方便,真可谓数系发展的第一个里程碑。这就是自然数系发展的简过程。



  二、有理数系


  位置制记数法的出现,标志着人类掌握的数的语言,已从少量的文字个体,发展到了一个具有完善运算规则的数系。人类第一个认识的数系,就是常说的“自然数系”。


  随着生产、生活的需要,人们发现,仅仅能表示自然数是远远不行的。一旦要知道一块地的面积,一段绳子的长度,一块肉或一袋面粉的重量,自然数就不够用了。也就是说,人们在生产和生活中开始使用尺子、量器和称的时候,分数就应运而生了。


  中国古代的数学著作《九章算术》里最早论述了分数运算的系统方法。这在印度出现于7世纪,比我国晚400多年。欧洲更要推迟1400多年。


  同样,负数也是在生产实践中产生的。人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。比如,在记帐时有余有亏;在计算粮仓存米时,有时要记进粮食,有时要记出粮食。为了方便,人们就考虑了相反意义的数来表示。于是人们引入了正负数这个概念,把余钱进粮食记为正,把亏钱、出粮食记为负。我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义,他说:“今两算得失相反,要令正负以名之。”意思是说,在计算过程中遇到具有相反意义的量,要用正数和负数来区分它们。


  我国古代著名的数学专著《九章算术》(成书于公元一世纪)中,最早提出了正负数加减法的法则:“正负数曰:同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之;其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。”这里的“名”就是“号”,“除”就是“减”,“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”,“无”就是“零”。用现在的话说就是:“正负数的加减法则是:同符号两数相减,等于其绝对值相减,异号两数相减,等于其绝对值相加。零减正数得负数,零减负数得正数。异号两数相加,等于其绝对值相减,同号两数相加,等于其绝对值相加。零加正数等于正数,零加负数等于负数。”


  这段关于正负数的运算法则的叙述是完全正确的,与现在的法则完全一致!负数的引入是我国数学家杰出的贡献之一。


  负数是通过阿拉伯人的著作传到了欧洲,然而在16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数,或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。



  三、实数理论的完善


  在数字的发展过程中,一件不愉快的事情发生了。在公元前4世纪左右的古希腊有一个毕达哥拉斯学派,是一个研究数学、科学和哲学的团体。他的基本观点之一是“万物皆数”,又认为数就是正整数,正整数也就是组成物质的基本粒子——原子。他们觉得线段好比是一串珠子,两条线段长度之比,也就是各自包含的小珠子的个数比。当然可以用整数之比——分数——表示。但是学派中的一个青年希帕苏斯却发现正方形的边长与对角线之比不能用整数比表示,即不是分数。他百思不得其解,最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的发现,使毕达哥拉斯学派感到震惊,动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌,希帕苏斯被丢进大海淹死了。这就是第一个无理数诞生的过程。无理数的发现,击碎了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的美梦。同时暴露出有理数系的缺陷:一条直线上的有理数尽管是“稠密”,但是它却漏出了许多“孔隙”,而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。这样,古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想,就彻底的破灭了。


  400多年后,人们已会记算许多角度的三角函数值,这些值绝大多数是无理数。到了1500年前后,人们不但会解二次方程式,而且开始解一些特殊的三次方程式了。这些方程的根,很多是无理数。又过了不到一百年,纳皮尔发现了对数。我们知道,有理数的对数差不多都是无理数。无理数的广泛使用,促使越来越多的数学家开始探讨无理数的实质。


  无理数是什么?法国数学家柯西给出了回答:无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的极限定义,所谓有理数序列的极限,意即预先存在一个确定的数,使它与序列中各数的差值,当序列趋于无穷时,可以任意小。但是,这个预先存在的“数”,又从何而来呢?在柯西看来,有理序列的极限,似乎是先验地存在的。这表明,柯西尽管是那个时代大分析学家,但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响


  1872年,是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年,克莱因(F.Kline,1849- 1925)提出了著名的“埃尔朗根纲领”(Erlanger Programm),维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年,实数的三大派理论:戴德金“分割”理论;康托的“基本序列”理论,以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论,同时在德国出现了。实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义,从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功,使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平,无理数不再是“无理的数”了,古希腊人的算术连续统的设想,也终于在严格的科学意义下得以实现。



  四、复数的扩张


  复数系的建立,经历了一个漫长的过程。

  1545年意大利的数学家卡丹在解一元二次方程和一元三次方程时,分别得出类似今天的结果,由于负数在实数系没有平方根,于是他研究了类似的新数,并进行了计算。


  1637年,法国数学家笛卡尔正式使用“实数”、“虚数”这两个名词。此后,德国的数学家莱布尼兹、瑞士的数学家欧拉和法国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系。除了解方程外,还把他应用于微积分方面,得出很多有价值的结果。欧拉还首先用i来表示-1的平方根。


  1797年,挪威数学家维赛尔在平面引入数轴,以实轴和虚轴所确定的平面向量表示这类新数,不同的向量对应不同的点,因而表示的复数也互不相同。他还用几何术语定义了这类新数与向量的运算,建立了平行四边形法则,这样,它实际上已揭示了这类新数及其运算的几何意义,但在当时未引起人们的注意。


  1806年,瑞士数学家阿甘德首先把这类新数表示成三角形式,并把它们与平面内线段的旋转结合起来,例如分别被看成单位线段按照逆时针与顺时针方向旋转90度所得的结果。可以这样理解:一个实数乘以1,相当于原地没动;乘以-1,相当于向后转;乘以i ,相当于向左转;乘以-i,相当于向右转,这是复数的乘法。再来考虑复数的加法,+5,向右走5个单位;-5,向左走5个单位;+5i向上走5个单位;-5i向下走5个单位。


  1816年,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时应用并论述了这类新数,而且首次引进“复数”这个名词,把复数和复平面内的点一一对应起来,从而建立了复数的几何基础。


  1837年,爱尔兰数学家哈密顿用有序实数对(a,b)定义了复数及其运算,并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律;实数则被看成特殊的复数(a,0)。这样,历经三百年的努力,数系从实数系向复数系的扩张才得以完成。


参考文献:
1、张景中 漫话数学  中国少年儿童出版社 2003
2、纪志刚 从计数法到复数域:数系理论的历史发展 上海交通大学学报 2003.6



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