实数理论概说

      实数可以直观地看作小数（有限或无限的），它们能把数轴“填满”。实数包括所有的有理数和无理数。比如0、 -4.8、、等。但仅仅以枚举的方式不能描述实数的全体。

      根据日常经验，有理数集在数轴上似乎是“稠密”的，于是古人一直认为用有理数即能满足测量上的实际需要。以边长为1的正方形为例，其对角线有多长？在规定的精度下（比如误差小于0.001），总可以用有理数来表示足够精确的测量结果（比如1.414）。但是，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度，这彻底地打击了他们的数学理念，他们原以为：

      任何两条线段（的长度）的比，可以用自然数的比来表示。

      正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数（1，2，3 ...），而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击，这就是所谓的第一次数学危机。

      从古希腊一直到十七世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数；后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金、康托等人对实数进行了严格处理。

      所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。

      在目前的初等数学中，没有对实数进行严格的定义，而一般把实数看作小数（有限或无限的）。实数的完整定义在几何上，直线上的点与实数一一对应。

      实数可以分为有理数（如42、）和无理数（如π、√2）两类，也可以分为代数数和超越数（有理数都是代数数），或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母R或表示。而Rn表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。

      实数可以用来测量连续变化的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

      在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要，但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

      实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如{3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…}所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。

      设R是所有实数的集合，则：

      集合R是一个域： 可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。

      域R是个[[有序域]]，即存在全序关系≥，对所有实数x, y和z：

      若x≥ y则x+ z≥ y+ z；

      若x≥ 0且y≥ 0则x'y≥ 0。

      集合R满足戴德金完备性，即任意R的非空子集S(S ? R, S ≠ ?)，若S在R内有上界，那么S在R内有上确界。

      最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上界，如1.5；但是不存在有理数上确界（因为不是有理数）。

      实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个戴德金完备的有序域R1和R2，存在从R1到R2的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。

      在实数域内，可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等，对非负数还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数；只有非负实数才能开偶次方，其结果还是实数。

      作为度量空间或一致空间，实数集合是一个完备空间，它有以下性质：

       所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

      有理数集合就不是完备空间。例如，(1，1.4，1.41，1.414，1.4142，1.41421，...)是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限。实数是有理数的完备化：这亦是构造实数集合的一种方法。

      极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里得几何的直线没有“空隙”。

      实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以有几种解释。

      首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素z，z+ 1将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。

      另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。

      这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）  当然，R并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。

      “完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是R的子域。这样R是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

      实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为2ω，即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的ZFS公理系统相互独立。

      所有非负实数的平方根属于R，但这对负数不成立。这表明R上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于R。这两个性质使R成为实封闭域的最主要的实例，证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。

      实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。

      实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. L?wenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于R，但也同样满足和R一样的一阶逻辑命题。满足和R一样的一阶逻辑命题的有序域称为R的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在R中证明要简单一些），从而确定这些命题在R中也成立。

      实数集构成一个度量空间：x和y间的距离定为绝对值|x- y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。

      实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：

      最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是，复数集不是一个有序域。

      实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。

      有时候，形式元素 +∞和 -∞加入实数集，构成扩展的实数轴。它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。

      希尔伯特空间的自伴随算子在许多方面一般化实数集：它们可以是有序的（尽管不一定全序）、完备的；它们所有的特征值都是实数；它们构成一个实结合代数。

      实数公理是定义实数的一种途径。按照它，所谓实数系就是定义了两种二元运算（加法与乘法）和一种次序关系（>）的集合，并且这些运算和次序满足规定的公理。由这些公理可以推出实数的一切性质。

      实数公理是在集合论发展的基础上，由希尔伯特于1899年首次提出的。后来他所提的公理系统在相容性与独立性方面得到了进一步改进，逐步演变为现在的公理系统。实数公理来源于实数理论的研究，实数理论包括对实数的结构，运算法则和拓扑性质等方面问题的研究。  　　

      实数集有多重结构，例如:  　　

      代数结构：从代数上看实数集是一个域。  　　

      序结构：实数集是一个有序集。  　　

      拓扑结构：实数集是一个拓扑空间，并且有诸如完备性，可分性，和列紧性等一些非常好的性质。  　　

      实数理论包含了深刻而丰富的信息，实数理论是极限论的基础，也是近代分析数学的最重要基础之一。

      设R是一个集合，若它满足下列三组公理，则称为实数系，它的元素称为实数：　　

      (I) 域公理　　

      对任意a，b∈R，有R中惟一的元素a+b与惟一的元素a·b分别与之对应，依次称为a，b的和与积，满足：  　　

      1.（交换律） 对任意a，b∈R，有  　　a+b=b+a，a·b=b·a。  　　

      2.（结合律） 对任意a，b，c∈R，有  　　a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。  　　

      3.（分配律） 对任意a，b，c∈R，有  　　a+(b·c)=a·c+b·c。  　　

      4.（单位元）  存在R中两个不同的元素，记为0,1分别称为加法单位元与乘法单位元，使对所有的a∈R，有  　　a+0=a，a·1=a。  　　

      5.（逆元）  对每个a∈R，存在R中惟一的元素，记为-a，称为加法逆元；对每个a∈R\{0}，存在R中惟一的元素，记为a^(-1)，称为乘法逆元，使  　　a+(-a)=0。a·a^(-1)=1。  　　

      (II) 序公理　　在任意两个元素a，b∈R之间存在一种关系，记为“>”，使对任意a，b，c∈R，满足：  　　

      1.（三歧性） a>b，b>a，a=b三种关系中必有一个且仅有一个成立。  　　

      2.（传递性） 若a>b且b>c则a>c。  　　

      3.（与运算的相容性）  若a>b，则a+c>b+c；若a>b，c>0则ac>bc。  　　

      (III) (1) 阿基米德公理　　阿基米德公理：对任意a，b∈R，a>0 存在正整数n，使na>b。  　　

      (III) (2)完备性公理　　R中的任何基本列都在R中收敛。  　　

      称满足公理组I的集为域；满足公理组I与II的集为有序域；满足公理组I，II与(III)(1)的集为阿基米德有序域；满足公理组I～III的集为完备阿基米德有序域或完备有序域。这样，实数系就是完备阿基米德有序域。所有有理数的集合Q就是阿基米德有序域，但它不满足完备性公理。根据域公理，可以定义实数的减法和除法，并证明四则运算的所有性质。序公理的1与2表明关系“>”是R的全序。 　　

      用域公理和序公理可以定义正数、负数、不等式、绝对值，并证明它们具有通常的运算性质。加上阿基米德公理与完备性公理，可以证明实数的其他性质以及幂、方根、对数等的存在性。实数公理有多种不同的提法，常见的另一种提法是把公理组III换成：   　　

      (III)’连续性公理　　若A，B是R的非空子集，且A∪B=R，又当x∈A，y∈B时，x<y，则A有最大元或B有最小元。  　　

      这里把戴德金定理用作连续性公理。另一个常用作连续性公理的确界原理。公理组I—III与公理组I+II+(III)’是等价的，（注意不是III<=>(III)’）。完备性公理可以换成闭区间套定理的形式。类似地，单调收敛定理，聚点原理等也可用作连续性公理。公理组II也有其他提法。用公理定义了实数系R后，可以继续定义R的特殊元素正整数、整数等。例如，由数1生成的子加群Z={0,±1,±2,…}的元素称为整数；由数1生成的子域Q={p/q|p,q∈Z,q≠0}的元素称为有理数。　　

      满足这些公理的任何集合R，都可被认为是实数集的具体实现，或称为实数模型。　　

      从另外一个角度来想，希尔伯特实数公理是自上而下建立数系的，用公理规定实数，然后再定义整数、正整数直至自然数。那么反过来，实数的这些公理能不能从其他的假设中推出来，事实上，这就是实数的构造理论的内容，在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》的绪论中，就展示了用戴德金分割的方法从有理数定义无理数的过程，从而建立了实数，而有理数是依赖于先建立整数的，整数又是依赖于先建立自然数的，当集合论发展起来之后，自然数又依靠集合来定义（即皮亚诺公理），集合是最原始的概念，无法再定义的概念。从此，整个数学的基础就建立在了集合论之上，数学再也不能排除掉集合这一现代概念，当英国数学家罗素发现了集合中的罗素悖论之后，引发了第三次数学危机，促使集合论又不得不加以改进，致使朴素集合论发展为近代集合论，现代的数学基础终于建立在了公理化集合论的基础之上（ZFC公理系统）。