数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。 实数可以分为有理数和无理数(如π、√2)两类,或代数数和超越数两类,或正数,负数和零三类。实数集合通常用字母'R'表示。而Rn表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。 实数可以用来测量连续的量。理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后n位,n为正整数)。在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数来表示。 1° 相反数(只有符号不同的两个数,它们的和为零,我们就说其中一个是另一个的相反数) 实数a的相反数记作-a,a和-a在数轴上到原点0的距离相等。) 埃及人早在大约公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右,以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数,据说中国也曾发明负数,但稍晚于印度。 直到17世纪,实数才在欧洲被广泛接受。18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。 从有理数构造实数 集合R是一个域:可以作加、减、乘、除运算,且有如交换律,结合律等常见性质。 实数通过上述性质唯一确定。更准确的说,给定任意两个戴德金完备的有序域R1和R2,存在从R1到R2的唯一的域同构,即代数学上两者可看作是相同的。
2.121(有限小数) 1.3333333...(无限循环小数) π=3.1415926...(无限不循环小数) (无理数) (分数) 基本运算实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等,对非负数还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方,结果仍是实数,只有非负实数,才能开偶次方其结果还是实数。
四则运算封闭性实数集R对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。
有序性实数集是有序的,即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一:a<b,a=b,a>b。 传递性实数大小具有传递性,即若a>b,且b>c,则有a>c。阿基米德性质实数具有阿基米德性质(Archimedean property),即?a,b ∈R,若a>0,则?正整数n,na>b。稠密性实数集R具有稠密性,即两个不相等的实数之间必有另一个实数,既有有理数,也有无理数.数轴如果在一条直线(通常为水平直线)上确定O作为原点,指定一个方向为正方向(通常把指向右的方向规定为正方向),并规定一个单位长度,则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点;反之,数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是,实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。完备性作为度量空间或一致空间,实数集合是个完备空间,它有以下性质:所有实数的柯西序列都有一个实数极限。 有理数集合就不是完备空间。例如,(1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,...)是有理数的柯西序列,但没有有理数极限。实际上,它有个实数极限。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。
极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。 完备的有序域 实数集合通常被描述为“完备的有序域”,这可以几种解释。 * 首先,有序域可以是完备格。然而,很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素(对任意元素z,z+1将更大)。所以,这里的“完备”不是完备格的意思。 高级性质* 实数集是不可数的,也就是说,实数的个数严格多于自然数的个数(尽管两者都是无穷大)。这一点,可以通过康托尔对角线方法证明。实际上,实数集的势为2ω(请参见连续统的势),即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数,绝大多数实数是超越数。实数集的子集中,不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合,这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确,这是因为它和集合论的公理不相关。* 所有非负实数的平方根属于R,但这对负数不成立。这表明R上的序是由其代数结构确定的。而且,所有奇数次多项式至少有一个根属于R。这两个性质使R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。 * 实数集拥有一个规范的测度,即勒贝格测度。 * 实数集的上确界公理用到了实数集的子集,这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集:1.L?wenheim-Skolem定理说明,存在一个实数集的可数稠密子集,它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题;2.超实数的集合远远大于R,但也同样满足和R一样的一阶逻辑命题。满足和R一样的一阶逻辑命题的有序域称为R的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容,在非标准模型中证明一阶逻辑命题(可能比在R中证明要简单一些),从而确定这些命题在R中也成立。 拓扑性质实数集构成一个度量空间:x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|。作为一个全序集,它也具有序拓扑。这里,从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间(所以也是连通空间)、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定,例如,无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览:i.令a 为一实数。a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。 ii.R 是可分空间。 iii.Q 在 R 中处处稠密。 iv.R的开集是开区间的联集。 v.R的紧子集是有界闭集。特别是:所有含端点的有限线段都是紧子集。 vi.每个R中的有界序列都有收敛子序列。 vii.R是连通且单连通的。 viii.R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。
实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化: * 最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是,复数集不是一个有序域。 正因如此,毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念,这里的数是指自然数1 , 2 , 3 ...,而由自然数的比就得到所有正有理数,而有理数集存在“缝隙”这一事实,对当时很多数学家来说可谓极大的打击;见第一次数学危机。 |
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