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对比一下数学史与哲学史,会发现有一点明显的不同.数学家在前人工作的基础上工作,他们总是用自己的新建筑使前人的工作显得更加完满,更加巩固.数学家总是在承认别人工作的基础上,添上自己的一页.哲学家也在前人工作的基础上工作,但他们总是要摧毁前人的建筑,用自己的工作证明别人是错的.哲学家总是在批判别人观点的同时,写出自己的一页.哲学在反复地破旧立新中生长.数学在不断地建设中发展.其结果,使数学成为象今天这样的由无数枝繁叶茂的大树构成的森林.它拥有十来个大的分科.代数、数论、几何、拓扑、函数论、微分方程、泛函分析、计算方法、概率论、数理逻辑、 运筹学、图论、模糊数学这些分科又分为多达数百的分支.每年产生着几万篇论文,提出新概念、新定理,形成新分支.这一切使人眼花缭乱.即使是数学家,当他读着不同分支的论文时,也会有到了异国他乡之感.哲学由于互相批判而成为多种多样.数学的各部分是相互支持相互联系的,但由于生长迅速,也显出五光十色、气象万千.使人不由地要问,数学究竟是一门科学,还是一类科学?历史上,哲学家与数学家很早就试图把数学统一起来,那时数学要比今天简单得多.在毕达哥拉斯时代,只有算术和几何. 毕达哥拉斯做了第一次尝试,希望把数学统一于自然数.这次尝试由于无理数的发现而以失败告终.以后相当长的时间内,人们寄希望于几何,希望把数学统一于欧几里德几何.最后发现,连几何也是不统一的,这种希望也破灭了.莱布尼兹、弗雷格和罗素,希望把数学统一于逻辑,使庞大的、复杂的、内容丰富的数学归结为非常通俗的、直观的、易于洞察的逻辑.其结果呢?结果导出了极不通俗、极为复杂而令人难于洞察的层次理论与可化归公理.直觉主义派的布劳威尔和形式主义派的希尔伯特,又希望数学统一于算术.结果,连算术也不是统一的——这是哥德尔定理的推论.在所有这些试图把数学统一起来的努力都失败之后,数学却变得更加生气勃勃,更加丰富多彩,更加多样化了.数学不断地用新成果使自己壮大,而且不断地修改着、改组着自己的理论而生出新的分支.以至使人产生一种感觉.数学不是具有统一对象和统一方法的科学,而是一系列建立在局部的、相互之间有千丝万缕联系的精确确定的概念之上的学科.法国的布尔巴基学派,提出了与此相反的观点.他们认为,别看外部现象是多么光怪陆离,五光十色,其实,数学由于内部的进化,比任何时候都巩固了它的各部分的统一,并且建立起比任何时候都更加有联系的整体,形成了数学所特有的中央的核心.他们认为:数学的各种理论之间的关系是可以系统化的,可以用“公理方法”作统一的总结.布尔巴基不是一个人,它是一个集体的笔名.这个集体最初的成员是巴黎师范学院的一群大学生.在40多年间,布尔巴基的成员在新陈代谢地变化着,但努力的方向却始终一致.他们计划完成一部百科全书式的数学巨著数学原理,对全部现代数学作彻底的探讨与从头的证明.这部巨著已出版了四十多卷,还在不断地出版.它在当代国际数学界产生很大影响,成为现代数学的基本教程.他们又是怎样用公理方法把数学看成一个统一的科学呢?在逻辑长链的背后数学的表面特征是一连串的推理.每种数学理论都是由一串串推理的长链构成.所以可以说,演绎推理是数学的特点.这样说不能说是错的,但太肤浅.演绎推理是一种方法,一种把思想和思想联结起来的工具.数学家可以用,别的科学家也可以用.就像实验的方法,生物学家可以用,物理学家也可以用.我们能把生物学与物理学统一为一门学科吗?同理,不能仅仅因为各个数学分支都使用演绎推理的方法,就宣称数学是统一的.应当看到数学推理的长链背后还有更本质的东西.这种更本质的东西,真正反映了数学特点的东西是什么呢?布尔巴基学派称之为“结构”.在历史上,数学的一大成就是对数的发现.用对数,可以把乘除化为加减,把繁难的乘方和几乎不可能进行的开方化为乘除.一下子把天文学家从大量计算的沉重劳动中解放出来了.对数理论,表面上是一串三段论式的推理,但数学家靠什么本领找到这些推理环节并把它巧妙地拼接起来呢? 这里面必然有一个通贯全局的想法.什么想法呢?这就是: 加法与乘法表面上是极不相同的运算,但在结构上却有相似之处.从1出发,不断加1,得到序列两个序列在运算关系上也相似,前一序列中有,后一序列中就有,即.认识到这一点,我们就可以不必直接计算,而去计算,得到,然后就知道就是的答案了.由于同一结构可以在不同的事物中出现,但有的事物容易把握,有的事物很难把握,这样,我们可以通过容易把握的事物,来认识难于把握的事物.人类在经验中早已熟知这种方法.一天一天的日子如流水般逝去,是难以把握的.用刀在树上刻上道道,一天一道,就可以记日子了.道道与日子之间有某种共同结构.人类早就会使用地图.地图与实际的地理状况之间有相似的结构.但地图易于综观全局,易于把握.有一个“拿15点”的游戏,从这个游戏中可以看出“结构”是多么有用的概念.桌子上是9张扑克牌,从1点到9点.甲乙二人轮流来取,哪个人先取到3张牌,使3个点子加起来是15,他便胜了.比如甲取5,乙取7,甲取6,乙必须取4,否则甲再取到4便胜3.甲又取1,下一次准备取9或8,因为甲手中已有5,6,1,而、.乙既不能阻止甲的两个计划中有一个实现,又无法使手中的7点、4点凑成15点,只好认输.如果甲取5之后乙取9呢? 甲可以再取2,乙必须取8.下一步甲取7,然后准备取3或6以求胜.乙还是失败.不过,乙确实有不至于输的策略.但要把各种可能性一一列举出来,是相当麻烦的事,难于一目了然.现在转而看另一种游戏,叫做九宫棋.在图(b)的正方形上,画出九宫格.甲乙两人轮流向格内下子.一人用黑子,一人用白子.谁能够先把三子走成一直线,谁就胜了.
这种棋的规律是很容易发现的.棋盘上三子成一线的可能性有8个,即共有8条线.先下的人执黑子,最有利的策略当然是占中,因为中宫在4条线上.而白子只有两种应战之策一一边上或角上.边上是两条线的交点,角上是三条线的交点,当然占角有利.事实上,占边必败.(如白占图(b)的7处,则黑占6,白必占5,黑再占3,白即无可奈何.因黑两条线都要成了.)白子占角之后(如占),无论黑方如何下,自方皆可应对成和棋,如图(b).九宮棋和拿15点又有什么关系呢?图(a)把九宫格内填上数,凡在一条线上的三个数加起来都等于15,反过来,和为15的三个数一定在一直线上.从桌子上拿一张牌,就相当于在九宫格上投一子.拿5点,就是占中,拿2、4、6、8就是占角.这样对比一下,便可以发现两个形式完全不同的游戏却有相同的结构.掌握了一种,另一种也掌握了.从九宫棋的规律可以推知拿15点的方法.甲拿5点,乙拿2、4、6、8,即可立于不败之地.上面两个例子(加法与乘法有相似的结构,拿15点与九宫棋有相似的结构) 提示我们,把结构相似的对象作为一类作研究,有事半功倍之效.作为一类又如何研究呢?那就要把结构的特点抽象出来,分解开来,作为单独研究的对象.形形色色的加法人们谈起一件毫无疑问的事,常常说是“像1加1等于2” 那么确定,那么真实.实际上,即使在数 学 里,也 是有条件的,不是绝对的.要看是哪种加法,还要看1的含义是什么. 电灯的拉线开关,拉一下,灯亮了,又拉一下,灯又灭了,拉两下等于不拉.这叫做. 操场上的口令.立正,向右转,向后转,向左转之间也可以相加.连续执行两个口令就叫做把两个口令加起来.例如:
等等.分别用0、1、2、3代表立正、向右转、向后转和向左转,就有了一个加法表(图).这种加法,叫做“模4同余类”的加法” 尽管与日常的加法不同,但还是对的.
这是一种奇怪的加法.它的做法是: 把“+”当成乘法来做,所得的积再除以 7 ,余数就叫做和.例如,的意思是3乘4除以7余5.而是指5乘5除以7余4 .这时, 不成立了.- 向东走一公里,再向南走一公里,结果离出发点并不是两公里,而是大约公里.这叫位移的合成,它是一种向量的 加法.这种加法在力学中广泛应用.如力的合成、速度的合成,加速度的合成,这种加法是按平行四边形法则进行的.
每个系统都与一个基本集合有关:(1)实数集、存理数集、 或整数集;(2)两个动作的集合; 拉一下,不拉；(3)4个口令 的集合；(4) 6个数之集:;(5)平面上的向量集合,每个向量可以用一对实数 表示. 给了集合中的两个元素,可以唯一地确定出集合中的某元素.这叫做在集合上规定了一种运算,被确定出的那个元素叫做运算的结果.用符号表示,就是给了两元素、,可以确定一个,这里,可以用别的符号代替.如可以认为 、、,都可以,不过一经确定就不要乱变了.我们这里都用“+”号,这个“+”和算术里的加法不一定是一回事. 有这么个元素 ,与任何元素运算的结果仍是那个元素,在(1)中,是;在(2)中, 是“不拉线”这个动作,在(3)中,是“立正”; 在 中,是“11”,在中,是0位移,即0向量 ,它们都满足.
找到了这五个系统的这些共同点之后,就可以把这些共同点抽象出来加以分析,分析的结果,就得到了“可交换群”(或“加法 群”,或“阿贝尔群”)这个十分有用的概念:可交换群的定义：若在集合上,有一个二元运算“+”,“使对任意 、,必有唯一的,(记作 ),满足::结合律 ; :交换律:; :有零元素,满足,(对任一 ); :有负元素：对任意 ,有 使 , 则称是一个可交换群. 这里,、、、叫做可交换群的公理.这些公理是互相独立的,每一个都不能从另外几个推出来.这样形成群的概念,有什么好处呢? 好处在于抓住了不同系统的共同本质.对于进一步研究各个系统有事半功倍,甚至一以当十之效.比方,我们可以从交换群的公理推出另一些性质.例 如.性质 1 在 中只有一个零元素. 证明 如果有两个零元素 和 ,因为 是零元素,应当有 . 又因 也是零元素,所以又有 因此 . 我们马上知道,上面的五个系统中,每个系统只有一个零元 素,用不着分别作五次证明了. 性质 2 在 中,如果 ,则 . 证明 在等式两边都加上 的负元素 ,则 因为,所以. 于是马上又知道,在以上的五个系统中,这条性质都成立. 运算实际上是一种关系. 就表明这三个数之间有一 定的关系.在集合的元素之间建立了具有一定性质的关系,就叫做集合上有了结构.结构的性质,如上面的 、、、,叫做公理. 这么一来,公理一点不含有 “自明之理” 的意思了,它是对 所研究的结构的规定性.这种规定性是通过总结大量经验,从许多系统的共同点中抽象出来的.基本的结构数学研究的对象,慢慢地显露出了它的轮廊.它研究结构——从不同的系统中抽象出来的共同结构.首先是集合.集合好像是一片空地,一张白纸,一群没有分配角色的演员.一旦在集合的元素之间引进一些关系,集合的元素就有了自已的个性,根琚关系的性质,集合上开始出现结构.结构不是人主观上随意指派的,也不是在理念世界永恒存在的,它是总结大量感性经验上升为概念的结果.右尔巴基学派认为,数学研究的基本结构有三种,叫做母结构:一种叫做代数结构.集合上有了运算,能能从两个元素生出第三个来,就叫做有了代数结构.前面我们刚刚谈过的群,就是一种基本的代数结构.一种叫序结构.集合中某些元素之间有先后顺序关系,就叫做有了序结构.序结构也是应用极广的一种结构.数的大小关系,生物的亲子关系,类的包含关系,都是序关系.还有一种叫拓扑结构.它用来描述连续性、分离性、附近、边界这些空间性质.我们看到,这几种结构恰好都是现实世界的关系与形式在我们头脑中的反映.代数结构——运算——来自数量关系; 序结构——先后——来自时间观念; 拓扑结构——连续性——来自空间经验. 但这些东西一旦抽象为数学概念,成为脱离具体内容的“结构”,它就可以用到任何有类似性质的系统之中,而不一定与时、 空、数有关了.一个系统可以具有几种结构.如实数系,它有加减与乘除,这是两种互相联系的代数结构,它有大小之分,这是序结梅,它 的连续性体现了拓扑络构.基本结构可以加上一些公理派生出子结构,两种以上的结构可以加上联结条件产生复合结构.对于实数,如果,则,这柘表明代数结构与序结构联系起来了.通过结构的变化、复合、交叉,形成形形色色的数学分支,表现为气象万千的数学世界.当数学家遇到新的研究对象之后,他自然而然地会想,所有的事物能不能放到某个已知的结构之中?如果可以,便马上动用这个结构的全部已知性质作为克敌制胜的武器.历史上有过这样的例子:数学家长期不能理解复数,把它叫作虚数.后来发现,复数可以用平面上的点表示,这个发现相当于把复数的代数结构与平面的拓扑结构挂上了钩.复数的研究立刻有了实际意义,找到了应用,获得飞速的进展.这表明,把新的陌生的对象纳入已知的结构之中是多么重要.布尔巴基学派也承认,把数学看成研究各种结构一一这些结 构以几种母结构为骨架不断地生长、发展一一的科学,仍然是对 数学现状的粗略的近似.可以将数学看成是一个不断发展着的大城市,城市的建筑被 街道分隔,又由街道联系起来.街道形成结构,建筑在结构的规 范中生长.但确有很多有特色的建筑,它的特点无法由街道的结 构来解释.这就是结构观点的概括性.它无法关心的某些与结构关系不大的局部状况,存时也有重要的意义.例如,数论中的大量孤立的问题(如哥德巴赫问题),就很难与已知结构很好地联系起来.布尔巴基学派也主张,结构不应当是静止的,数学的发展可能会发现新的重要基本结沟.因为数学是一门生命力旺盛的科学,对它不能“盖棺论定”,不会有终极的真理.总的看来,布尔巴基学派把数学看成以结构为对象的科学,这种观点是与辩证唯物论一致的.因为:它否定了数学知识的先验观点,主张结构来源于人们实践的经验,正确地描述了数学中结构概念的抽象形成过程.它用整体的观点看数学,着眼于数学各部门的内在联系,说明了是什么使数学统一起来并使它有多样性.它用变化发展的观点看数学,主张结构不是一成不变的.它主张数学的真理性最终要用科学的实践来检验,用科学上 的成功经验支持结构观点.结构观点的产生,不是偶然的.布尔巴基学派自己指出,这是半个多世纪以来 (即从19世纪来期到 20 世纪中期) 数学进步的 结果.其实也可以说是两千多年数学进步的结果.公理方法从欧 几里德开始,到非欧几何产生之后,数学家开始有了现代的公理化 观点.这种方法经过第三次数学危机的考验,特别是由于形式主 义学派希尔伯特的大力提倡,在数学实践中已生根开花,终于更上一层楼,形成了“结构”的观念.一开始,人们追求公理的完备性,或完全性.也就是说,在公理系统中,任何一个命题的成立与否,只能有唯一的解答.这 样,具有完全性的公理系统,实质上只能描述一种对象.例如,欧几里德的几何公理,所描述的对象形式上尽管可以多种多样,但本质上只有一种,这就健公理系统应用的广泛性受到削弱.去 掉平行公理,几何公理系统失去了完备性,但它的适用范围更广 了.在去掉了平行公理的几何体系中,证明了的定理,在欧氏几何和罗氏几何中都成立.如果再去掉一些公理,用剩下的公理推证出来的定理,在欧氏,罗氏和黎氏几何中都成立,叫做“绝对几何”的定理.数学家们发现,公理系统的不完全性不是坏事,而是好事.不完全,可以容纳更丰富的对象.公理是对所研究对象的限制. 限制愈多,研究面愈窟.限制适当减少,研究成果的适用范围就 更加丰富了.在这种认识的启迪之下,数学家们研究了许多不完全的公理系统.群、环、域、线性空间、概率论、测度论等等.数学实践证明,对不完全公理系统的研究有强大的生命力,它促使人们对公理系统进行分解,分解成一些更基本——更不完全的公理系统,终于促成了结构观点的出现.分析与综合的艺术从最早的哲学家开始,便提出了把复杂的事物分解为较简单 的因素的组合这种认识世界的基本方法.中国古代的五行学说,认为万物由金、木、水、火、土组成.古希腊哲学中有万物皆由水、火、气、土组成的观点,有万物皆数的观点,有万物皆由原子构成的观点.到了亚里士多德,开始对科学作系统分类.把逻辑规则化解 为一些基本法则——三段论.提出事物产生的四因说.把动物分为种、属等等.由猜测的分析进展到具体的分析.到了中世纪后期,唯物主义的勇士布鲁诺认为物质可以分为 最小的单位一单子.17 世纪英国出现的唯物主义经验论哲学学派,开创者为培根,集其大成加以系统化者为洛克.培根已提出对经验分类归纳.到 了洛克,进一步提出把观念分成为简单观念与复杂观念,认为复杂观念由简单观念组成.把物体性质分为第一性质与第二性质,等等.17 世纪法国数学家笛卡尔,是近代唯理论哲学的奠基人.他 极其明确地提出了取得知识的原则.其中主张,把难题尽可能地 分成细小的部分,直到可以圆满解决,以便从最简单、最容易的 认识对象开始,上仆到对复杂对象的认识.他同时主张,世界由 三种基本要素组成.比笛卡尔略晚一些的数学家、哲学家莱布尼兹,主张世界由“单子”组成.但他的“单子”与布鲁诺不同,是“上帝”发射出来的,本质上是精神的单子.18 此纪英国的唯心主义经验论者,如贝克菜、休谟,主张存在即被感觉.把事物分解为感觉的组合.康德把人能够取得物理学知识的先天思维能力称为“知性”,把知性分为四组十二种.西方哲学大师罗素,被誉为开一代分析哲学之新风,他主张建立真理体系的方法是分析.总之,人类在认识事物的过程中,总是想到“分”,把事物分解之后,再合.物理学的尖端研究,是对基本粹子的认识; 化学,把物质分成纯物质,纯物质又分解成元素, 生物学,把动植物从总体上分为门、纲、科、目,把个体分为器官、功能系统,直到分解出细胞,又对细胞进行分解; 毕达哥拉斯的万物皆数,把数等同于物,反映出他还没有能 力把数与物分开.更早一些,有些部族在语言里没有单独的数,数总是和东西连在一起:3只鸡,3个人,3棵树,但没有“ 3 ”.但在相当长时间内,无理数总是联系几何量,分不出来.实数理论的建立,把数与形终于分解开了.欧几里德几何公理系统中的第五公设,经过几千年的研究,终于被分出来了.这一分就是非欧几何的出现,使几何学空前丰富起来.在第三次数学危机中,逻辑主义也好、直觉表义也好、形式 主义也好,他们的基本想法,总是把数学看成不可再分的东西,希望一劳永逸地对数学作出先验的处理.这时,由于数与形的分离成功,使数学归结为“数的科学”,但没有对数进一步的分解.数可以作运算,从这一点着眼,分出了代数结构.一旦代数 结构与数分离,它就成了更高一级的抽象物.运算就可以施于其它对象：逻辑命题、几何变换、文字语言.数可以比较大小,从这里分出了序结放.序结构一旦与数脱离,就获得了更丰富的内容.类的包容关系,生物的亲子关系,逻辑的包含关系,都可以放在序结构这一抽象概念之下讨论了.实数系是连续的,整数系是离散的,因而数具有拓扑结构. 数的拓扑结构是从形那里继承来的,因为形已被归结为数.拓扑结构一旦与数和形脱离,就可以用于更广泛的系统.我们可以讨论物理系统相空间的拓扑结构,有限个对像之间的关系网络的拓扑结构,等等.结构与数的分离,意味着数学研究对象提升到一个更高的抽 象层次.恩格斯时代,数学研究对象还限于空间形式与数量关系.现在,数学完成了进一步的抽象,使形式脱离空间,使关系脱离数量.把纯形式与纯关系作为研究对象了.可是,形式与关系的区别,本源于空间与数量的不同,一旦抽象䌽纯形式与纯关系,形式与关系之间的区分就不再是必要的了.纯关系,无非是关系的形式.纯形式,也只能表现为形式之间的关系.阿者已是一回事,于是称之为结构.当数学研究数量关系时,哲学家,特别是怀疑主义的哲学家 可以提出问题: 你们所研究的关系是不是真理? 它是不是真的不折不扣的数量关系?当数学家研究空间形式时,哲学家,特别是怀是士义晢学家 可以提出问题: 你们所研究的形式,是不足我们这个真实空间的性质?现在,数学家研究的是结构,怀疑论者又如何责难呢? 数学家准备了一套一套的结构.只要哪种对象往合某一套结构的条件,关于这个结构的结果便可以用上去.这里,问题只在于选择适沓 的结抅,而不在于数学结论是不是真理.由于结构已是纯粹的抽象物,关于结构的性质只接受逻辑的检验,因而成为可信的真理.当一个裁缝加工订做的服装时,顾客何以指责尺寸错了,颜色错了,布料错了,等等.一旦服装设计脱离了具体的人,那就 不发生错的问题,只有个选择问题.这里有各式各样的服装,请您试穿.您不必说哪种服装错了,说不定是另一位的爱好昵!但是,如果裁缝以此为理由而随心所欲,不调查体型,不研究心理,不适合潮流而乱做一气,那也只有关门大吉.数学家把结构作为研究对象,好比是不再单为固定的顾客加工服装了.他面向普遍的需要,他占领广大的市场.哪些结构要增加,哪些结构要修改,这信息来自科学实践.
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