高等学院门上的警句——欧几里得和他的几何学
2014-11-23
imath
“不懂几何者不得入内”在欧、亚、非三大陆交界的地中海上有个美丽的半岛——巴尔干半岛，希腊就在它的最南端。这里向南可经克里特岛直抵埃及，往东由小亚细亚陆路可达巴比伦。古希腊人就生活在这个气候宜人，交通便利的半岛上。受到古埃及与古巴比伦文明的熏陶，古希腊成为欧洲文明的源头。公元前479年，以雅典为首的希腊同盟军彻底击溃了波斯军队，从此雅典城邦在经济和军事实力方面迅速繁荣起来，成为一个气势恢宏的文化中心。许多优秀学者纷纷云集雅典，一时学派林立，学术上百花齐放，一派兴旺景象。柏拉图是当时最著名的希腊哲学家之一，为了传播他的政治和哲学主张，他创办了著名的柏拉图学院。尽管他本人不是数学家，但对数学极为重视，在他的学院门口挂了一块牌子：“不懂几何者不得入内”。难道几何学对柏拉图就那么重要吗？事情还得追溯到泰勒斯。古希腊的文明之花古希腊第一个著名的数学家是泰勒斯。公元前6世纪初，他曾去巴比伦和埃及经商，从那里学到了许多数学知识。据说在埃及，他的数学知识很快超过了当地的祭司们，并为埃及人解决了一个令他们大伤脑筋的问题——测量金字塔的高度，从而博得国王阿梅西斯的赏识。回到故乡后他创立了爱奥尼亚学派，传播他从埃及带回的数学知识。泰勒斯最重要的贡献是开创了几何命题的证明，虽然他证明的命题现在看来不足为奇，但为建立几何的理论形式迈出了第一步，被公认为希腊几何学的鼻祖。在泰勒斯之后，毕达哥拉斯学派对几何学发展作出了开创性工作。毕达哥拉斯在青年时代曾当过泰勒斯的学生，以后又到亚洲和埃及旅行，学到了许多数学知识。约在公元前530年他回到故乡，创立了以他名字命名的学派。在数的研究中，他以形状将数分为三角形数（如1，3，6，10，……）、正方形数（如1，4，9，16，……），还用几何方法证明了一些有趣的定理。据说，这种研究是来自他们在海滩上摆放小石子的结果。在几何上，他们建立了所有直线形的理论，其中最大的贡献是关于直角三角形的斜边和直角边关系定理，称为毕达哥拉斯定理（中国称勾股定理）。值得一提的还有柏拉图的学生亚里士多德，他在公元前367年来到柏拉图学院求学，后在那儿任教20年之久。公元前343年他还当过马其顿国王子亚历山大的老师。亚里士多德是古希腊最博学的哲学家，他的著作几乎涉及各个学科，无所不包。他对数学的贡献是创立了形式逻辑的演绎体系，为欧几里得准备了完整的理论框架。可以说，到公元前300年，数学的发现已经积累了充分的资料，数学理论体系的形成已“万事俱备，只欠东风”了，这“东风”就是一个有准备的头脑，他就是欧几里得。欧几里得的丰硕之果公元前337年，马其顿国王菲力二世用武力征服了希腊各城邦。次年亚历山大即位，在很短的时间内，他继承父业，开创了一个横跨欧、亚、非三大陆的马其顿王国：在地中海沿岸的尼罗河三角洲上，亚历山大建立了以他名字命名的城市——亚历山大城，并把它作为这个庞大帝国的文化、商业和工业中心，同时也是科学思想的中心。这儿有称誉世界拥有70万卷藏书的图书馆，还有博物馆、天文台和闻名天下的博学园，成为当时欧洲乃至世界数学的中心。欧几里得就是被亚历山大的后继者——托勒密一世重金聘请到博学园的教师。欧几里得早年在雅典接受教育，曾就学、工作于柏拉图学院，因此熟知希腊的数学知识。来到亚历山大城以后，他以教书为业，是一个温良敦厚的教育家。对有志数学之士，他总是循循善诱给予指导，而对学习上投机取巧、急功近利之辈他却嗤之以鼻。在他的学生中有个年轻人，刚学完几何学第一个命题就问：学了几何学以后，可以得到些什么？欧几里得十分生气地对助手说：给他三个钱币让他走吧，因为他只想在学习中获得实利。作为一个数学家，欧几里得面对的是一大堆杂乱无章的前人留下来的数学知识，就像断了线的珍珠撒落在地上，令人无从入手。欧几里得深知，要使数学得以广泛流传，就必须将这些数学知识条理化、系统化，成为一个完整的理论体系。然而要完成这项宏大的前无古人的工作又谈何容易！为此，欧几里得付出了极为艰巨的劳动。他做了三件大事：首先，为数学体系寻找一个理论框架，这就是亚里士多德形式逻辑的演绎体系，它就相当于穿珍珠的线，有了它，各种数学公式、定理之间的承接关系便一目了然，数学是“演绎的”这一逻辑特性也因此而确定了下来。其次，为了演绎系统的需要，欧几里得十分精细地对所有的数学命题加以分析，确定它们各自的位置，哪些可以放在最前面，其正确性不须证明，称之为公理；哪些命题放在中间或后面，要依靠公理或前面已被证明的命题来证明其正确性，这些称为定理。概念也须一一加以定义，在定义中出现的概念必须是已被定义过的。这样一步步追溯上去，总有一些概念是处于这一“逻辑链”的最前头，被称为“原始概念”。完成这一工作需要清晰的头脑、坚强的毅力和有条不紊的工作，这也是欧几里得数学才华的真正展现。第三，欧几里得在前人工作的基础上，根据他所构造的数学体系进一步向前推演，得到了一批新的定理，充分显示了他的创造性思维能力，经数载辛勤劳动，欧几里得的鸿篇巨著——《几何原本》终于在公元前300年问世了！
《几何原本》全书13卷共467条定理，前4卷是讲直线形和圆；第5、6卷用比例理论讨论相似形；第7、8、9卷讲整数与整数之比的性质；第10卷关于无理量；最后3卷为立体几何。《几何原本》问世至今已2000多年了。除了《圣经》，再没有任何一本书像它那样拥有如此众多的读者、被译成如此多种语言。从1482年拉丁文本首次在威尼斯印刷出版到19世纪末，它的各种版本用各种语言出了1000版以上。在这之前，它的手抄本统治几何学也已达1800年之久。欧几里得的影响如此深远，以致他的名字成了“几何学”的同义语，这本西方最古老的数学著作，为2000年来用公理法建立演绎的数学体系树立了最早也是最光辉的典范。“几何无王者之道”相传当时托勒密国王对几何也深感兴趣，自认为以他绝顶聪明的头脑很容易学懂《几何原本》。可事与愿违，他看了《几何原本》后感到难以理解，他想这条艰难的大道是专为凡夫俗子们攀登几何高峰而设计的，对于他这个一国之王，必会另有捷径。于是就问欧几里得：“几何中是否有让我走的捷径？”不料欧几里得冷冷答道：“几何学只有这一条大道，哪有专为你国王而单独开辟的小路？”托勒密一世被当头泼了一瓢冷水，大为扫兴。从此“几何无王者之道”成了一句流传千古的名言。斗转星移，日月如梭，自欧几里得至今已过去了2300多年，数学这棵大树蓬勃发展，枝叶繁茂，而当年欧几里得的工作，也已融入了每一个中小学生的课本之中，人们不仅从中获得知识，更重要的是接受一种逻辑推理的陶冶，进行严格的思维训练，培养慎密分析、言必有据的数学素养。
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