《数学教育再探--在中国的讲学》
[荷兰] 弗赖登塔尔
1.3 数学化
1.3.1术语
在讨论了数学的前后关系和内外结构之后，我们再回过头来把数学当成一种活动，来看看它的一个主要特征：数学化。是谁最先使用这个术语，用以描述根据数学家的需要和兴趣整理现实性的这种过程呢？这种术语通常是先出现在非正式的谈话和讨论中，而后才出现在文献著作里，因此没有人能说出是谁的发明。不管怎么说，数学化是一个过程，只要现实世界在一系列因素的影响下进行着变化、延拓和深化，这个过程就在持续着，这些因素也包括数学，而且数学反过来被变化着的现实所吸收。
以前用的术语，诸如公理化、形式化、图式化等也许是在数学化之前提出的，其中公理化也许是在数学的行文中出现得最早。公理和公式古已有之，尽管在岁月的长河中，"公理"（或"公设"）的意义及公式的形式有所改变.过去几个世纪里，人们认为欧几里得的几何原本不是完美推导的典范，其原意也并非如此，看来今天有人仍这么认为。我们现在使用的公理体系这个术语，是一种现代思想，把它归为古希腊人的功劳（虽然他们是先驱）是一种时代的错误。然而，重新组合某一领域的知识，以至于结论被当作出发点，以及相反地把已证明的性质作为定义来证明原始的定义--这种颠倒的构造是一种久远的数学活动，它和古希腊数学一样古老，或许更古老；尽管只是到了近代，人们才像热衷于知识的组织和重组的古希腊人那样，有意识地、有条理地、热切地运用它。今天雨后春笋似的公理体系是人们试图重新组织数学研究领域的结果。这种技术就叫公理化。它被现代的数学家深刻地理解和掌握。它早期显著的例子是群。18世纪以来，数学家们遇到了集合到自身映射的问题，映射通常由一些不变性质去限制，从而导致去构造这种映射。这样他们开始熟悉了变换的集合，在构造之下自动地满足一些熟知的假设，这种假设是后来群所需要的。1854年凯莱（Cayley）用这些假设统一定义了这种（有限）的对象，他称作群。然而，直到1870年这一新概念才被一些领头创造的数学家们完全认可。之后又用到无限基的情况。在日常生活和符号语言中，公式是像公理一样古老，甚或更古老的一种特殊形式。用日益有效的符号或符号法来改进语言表达是一个长期的过程，它首先涉及到数学题材，后来才影响到表述这种题材所用的语言。这种对语言的整理、修正和转化的过程就叫做形式化。
可以肯定，公理化可能会像公理一样在现代数学中流行，他们只是一项活动过程中的精彩部分和最后的润色，在这个过程中重点强调的是形式而不是内容。公式和形式化也同样如此。公理来源于范例或一系列范例，而公理化则意味着总结熟练的范例。人们早已习惯于把经历和行为示范性地推广，从中抽象出定律和规则.形成与现实的体系相吻合的图式。最后一步就是图式化，它和公理化、形式化相对应，尤其是当考虑的是内容而不是抽象的形式或语言的时候。
上面一段解释，通过与公理化、形式化、图式化作类比，说明了数学化一词的来源。值得一提的是，在教育中，把它局限于其某一方面的内容是屡见不鲜的，所以我才占一定的篇幅来说明它。我自己则坚持这个术语应该包括数学家的全部组织活动，不管它是用于数学的内容和表达，还是用于更通俗的直觉意义上，比如生活经验，日常语言的表达。但是我们别忘了，在扩展的现实性和发展语言的复杂性中，"生活"和"日常生活"的个体的与环境的依赖性。
1.3.2某些方面
建立模型
然而，一谈到图式化就有一种倾向，把"图式"与形式化数学里的解题公式和步骤等问题等同起来。今天，在更广泛的意义上说，"图式"一词似乎被更时兴的"模型"所替代--这是一个很有价值的术语，然而不幸的是，由于人们的滥用和误用而降低了其含义。我一直反对这样做，至少在我看来是这样的。
数学总是被应用于自然和社会，然而长期以来，人们只是过多地考虑它的应用，而很少想到应用它的方法以及它为什么能用。记数实际上是由生活得来的常识，土地测量员的工作好像是说他们用的界钉和标杆就是几何上的点和线，还有外币兑换员，商人及药剂师好像都在表明比例是自然界和社会的一个显而易见的特征。甚至古巴比伦王国的天文学家很早就习惯于用线性内插或外插法，来试着数值化地描述天文现象，也就是用分段线性函数和锯齿形函数的方法，后来的希腊人最终把它们变成测角函数。但是测角函数不会从他们仰望的天空里掉下来，其基本理论是天体运动应该是环形的。为了解释这种假设和一些互相矛盾的现象，产生了一个我们现在称之?quot;模型"的东西来描述天体的运动，这个模型包括了圆、本轮（epicycles）和外心的新发明，不管对它们进行几何上还是数值上的处理都需要用到测角函数。这个模型持续了近两千年。开普勒（Kepler）没有给出新模型，而是提出了行星运动的三大数学定律，后来牛顿（Newton）由此得出了万有引力理论的一系列结果。牛顿自己不肯设计简单的机械模型来解释地球引力。随着时间的推移，物理学家们才勉强地接受地球引力的吸引本身就是一个模型，它超过了一般意义上的经验，是第一个近代的模型，其意义仅亚于惠更斯（Huygens）的光的波动理论，历史在不断重复：根据19世纪的力学常识，人们提出了关于光传播理论的一些弹性的模型，但由于研制惠更斯的波动理论的失败，物理学家们不得不接受马克斯韦尔（Maxwell）的光的电磁理论模型。
建模是现代的产物，只是到了近代，人们才或多或少有意识地忽略了所有看起来不重要的干扰，把在模糊的自然界和环境中应用的数学浓缩成了精确的数学，是它们破坏了理想情况。长期以来，简单的几何学和代数学已足以满足这种需要。但是什么是理想情况，什么又是不重要的干扰呢？伽利略（GaliIeo）首先给出了一个例子，说明了它们在特定含义下的区别：即匀速运动是理想情况，但又受到阻力的干扰，或像牛顿说的更一般意义上的外力干扰。这样，这种方法就延续到了今天。即使有了精确的理论，也是经过简化后才使用，以使其更接近于实际的过程：这样后者就有可能用更好的逼近或者反馈模型提炼出来。这种了不起的理想化方法的最伟大的例子当属达朗倍尔（d'Alembert）的绷紧的弦的振动问题：通过忽略弦线的曲度，他能把微分方程线性化，而方程一旦线性化以后问题就轻易地解决了。实际上，通过线性化的手法重建物理上的模型已成了应用数学的一般手段。
在自然科学里，最早使用"模型"一词也许是与众所周知的太阳系模型相联系的，它用一个机械装置，（经过粗略简化以后）给出了在引力作用下行星和月亮运动的相互作用：由于它只是一个模型，所以只考虑到运动学问题，而不牵涉天体运动的动力学问题：另外，由于实际的原因，代表天体的球形的半径互相不成比例，和轨道大小相比也不成比例。还有人们熟知的卢瑟福－波耳（Rutherford-Bohr）原子模型，它把原子及其示意图描述成一个小太阳系形状，在可能的轨道上作一些奇特的限制模型的特征来自于轨道遵守的特定条件，以及关于从一个轨道向另一个轨道跃迁时的特定假设，和经典物理的原理大不相同。再近一些的模型有原子核分裂模型，其中的质子和中子像液体一样被释放出来--这种思想是简单化模型的典型。另外一个典型是开放的宇宙体系的宇宙生成模型，它起初是对朝各个方向运动的星群的纯运动学上的解释。随着时间的推移，由于加入动力学和基本粒子物理的许多特点而丰富起来，当然它仍被认为是宇宙进化的粗略的简化模型。
这些都是理想化的模型，它们有的把数学的精确性引入到相对粗糙的物理现实中：或者是简化现实，而心照不宣地承认现实要比这些称为模型的东西复杂得多。奇怪的是，数学上最早使用"模型"一词却正好相反：用塑料、电线或纸板做的抽象几何形状的具体模型。如果我没弄错的话，弗里克斯·克莱因作为一个数学家，他收集了大量的几何模型，同时也是首先把"模型"一词用于数学中的人。这里是指非欧氏几何在射影几何里的映象的问题--这是凯莱的发明，克莱因阐释为模型，用来把看起来很抽象的非欧氏几何映射到射影几何的框架里，后者看上去要比前者具体些。尽管不像石膏模型那样显而易见，这个模型实际上要比它的原象易于想象。克莱因的例子说明了公理体系中现代模型概念的根源：用一个合适的数学对象来明确形式公理中所暗含的东西.看起来就像用真实的内容来填充公理的形式。举例来说，一个特殊的群或一般函数上的变换群可以作为一般意义上公理化定义的群的模型。还有欧氏空间，尤其是三维空间，可以作为公理化定义的线性空间或度量空间的模型。仅就具体化而言，可以超过纯数学的范围，考虑把物质的或仅仅是经验型的空间作为公理化定义的某种原像的模型。
只是为了保持完整，我才提到了"模型"的这种应用，它和我们开始所说的模型正好相反。实际上，在这里的行文中，我们没有考虑公理体系的模型，尽管它在基础研究中被大量使用，而是考虑理想化意义上的模型。用这种方法，我们能够简化一些复杂的条件，它们太复杂而无法付诸实际，或者是仅仅能用一些特定的数学理论来对付它们。
因为我们的主题是建模，并把它作为数学化的一个方面，需要强调的是，在这里的行文中应包括一些真实的具体模型，像检验飞机模型的风洞，或流体动力学理论的实验室模拟。换句话说，是用观察结果而不是用数学来进行评价的一些模型，尽管建造它们用到的数学知识也许比得到一些不那么真实的模型用的更多。我看甚至还应该包括对这样的真实模型的计算机模拟，它在进行评价时比模拟活动本身更少地依赖于数学。另外，我强烈反对给代数、微分、积分方程等体系贴上一?quot;模型"标签的做法--数学模型--因为有人喜欢这么叫。根据我的术语观，模型就是不可缺少的一种中介，用它把复杂的现实或理论来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理。因此我不喜欢在行民主文中用数学模型一词，它让人误以为数学是直接地用于环境中，或者几乎如此：实际上只是当数学被紧紧地局限于周围环境中才会发生这种情况。我之所以如此强调模型的中介作用，因为人们往往意识不到它是不可缺少的：很多情况下，数学公式像秘诀样用于复杂的现实，而缺乏一种中介模型来检验它们的用场。
概率和统计就是特别突出的例子。在概率论里，盛签用的容器还有其他的随机装置，就是模型，人们用它把世界一切看起来由偶然因素决定的事情数学化，这包括：同种植物间的授粉，某个种族间的婚姻和死亡，就像是出生和死亡是由掷签来决定的--当然有的合适，有的则不尽然。而概率在统计学上的应用也仅仅需要这么一个模型。然而，就我所知，在相关性和回归系数的常规的一一或者应该说是例行的一一应用以及某些社会的特别是教育的研究中因素分析之间，还不存在模型。这些工具只是从其他科学里翻版过来的，在那里它们是在使用的时候有中介模型来验证的。
再回过头来看看，我意识到对模型的谈论已超过了建模，而且使用了颇为通常意义下的术语；我犹豫这么久还没接触正题的原因.正是担心这种情况发生。当然，我本应该让读者领略一系列合理化的模型，像谐振器、电力网、变换阵、传播过程、游戏、引导装置、人口动力学、排队论等等。其中有些例子有很大的变化范围，如果希望他们能很好地利用的话，当然值得让学生们了解：另一方面，我把建模定义成理想化和简单化一一不管我的定义多么地不精确，它还是切中了要害：把握某种（静态或动态的）情境的要点，在丰富的相关情境中（我前面阐述过的）关注它们：并且随着事物的进展，会有更加丰富一些的内容。那么，这就是我继续考查数学化的其他方面的出发点。
寻找本质
即在行文中找出哪些能表示成如下形式
·在一种情境之内和交叉的情形
·在一个问题之内和交叉的问题
·在一个过程之内和交叉的过程
·在一个组织之内和交叉的组织
·在一个图式之内和交叉的图式
·在一个算法之内和交叉的算法.
·在一个结构之内和交叉的结构
·在一个公式之内和交叉的公式
·在一个符号体系之内和交叉的符号体系
·在一个公理体系之内和交叉的公理体系
为什么有这么多种"……和交叉的……"呢？因为找出一般的特征、相似、类比，同构才能够行
·概括
成为一种下意识的习惯或是多多少少有意识的行为。从一个简单的
·范例
不经意的经验，并且只靠一些范例（尽管不是很多）来强化就能得出一般性，人们往往是不相信的。现在，
·概括范例.
是对
·举例说明一般概念的颠倒。假如过分地说，这正是我称为"违反教学法的颠倒"的一个例子，后文中还会牵涉到。然而，
·示范性地探讨未确定的一般性
是一种有价值的
·启发式活动
这和流行的启发式教学有所不同，后者被认为是一种预先设置好的工具。
当强调单一的范例的作用时，我突然想到一些新鲜的思维对象和运算，而对象和运算通过日常练习能够程序化，并最终导致成为
·合理化和捷径
这就会导致
·不断发展的
组织化
图示化
结构化
尤其考虑到一些拙劣的语言和符号，就会产生
·不断进步的
形式化
算法化
符号化
数学化一个十分重要的方面就是
·反思自己的活动
从而促使
·改变看问题的角度
并伴随着局部结果的
·颠倒
和整体的
·公理化
说重一些，这也是违反教学法的颠倒的一个例子。
1.3.3例子
1.在数轴上找出16和72的中间值！
据我观察，孩子们把两个点均匀地相向移动：开始一个一个单位地移，后来步子大一些，最多的每次移10个单位；（得出的）捷径是把它们的差平均分，再把其中一半加到较小的数上，开一般术语来描述就是表达式a＋ （b－a），通过代数运算有更一般的表达式 （a＋b）。
在我说明把两个数朝反向移动仍保持中间值不变以后，孩子们最后把较小的数变成O，同时把较大的数变成a＋b，这样也能证明求中间值的一般表达式。
如果不仅仅局限于只是找到求两个数的中间值的方法，还可以通过不断改进的图式化来逐步发展。为了找到这种图式的一般性，一个范例看来就足够了，即使扩大到整数域上也是如此。夸张地说，"我把两个己知数加起来，然后被2除"这种一般的结果，可以通过用代数语言"两个己知数的和的一半"来进一步公式化，这样就能促使代数语言的产生和运用。
另一种概括的系列就是对多于两个的数提出同样的问题，从而建立平均数这样一个思维对象和求平均数的图式。只有在得出"给定的数的和被所给的数的个数来?quot;这个形式的概括或者它的代数表达式之后，人们才能满意。另一方面，一旦内容确定以后，人们应该找出哪些情形下所设想的加法用起来自然，或对这种情形来说含义比较含蓄。比如：加的不是（单纯的）年龄、尺寸、价格等，而是食物的日常消费，工作时间，某人一周或一月总和求每笔单位资金的消费，或者由时速求出每秒的速度。
如果仅仅作为图式化和形式化的代表，再仔细研究平均数的概念就没有必要了。而下面我要再提出一个"中间值"概念的概括，即平面图形或立体图形的"中心"，数学化的很多方面需要回答下文中要提出的问题。
2.如果一个水龙头1小时能把水池灌满，另一个需要2小时才能把这个水池灌满，那么这两个水笼头同时灌需要多长时间能自灌满水池？这种古老的问题（还有其他像两个工人一起劳动、两个人起吃一定数量的食物等等）如果不跟数学化的广泛背景结合起来，并且用传统的图式来解决的话，这问题看起来就很可笑。我提出问题后，孩子们把满的水池分成两部分，假想每个水龙头负责其中的一部分：三分之二的部分由"大"的水龙头承担，另外的三分之一由"小"的水龙头承担，于是两部分都能在2/3小时内灌满。即使给一些更大的数，孩子们仍坚持按这种形象化的比例来推算，并举例论证：比如，认为用几个慢的水龙头来取代一个快的。这显然背离了传统认可的简化为1小时的图式，即：如果两个水龙头能分别用a小时和b小时把水池灌满，那么1小时内，第一个水龙头灌池子的1/a，第二个灌去1/b，于是它们在1小时内一共灌1/a+1/b，整个水池在 = 小时内灌满。而按照孩子们的推理，对应地把整个水池按b：α的比率分开，两个水龙头分别灌，那么第一个水龙头应该灌整个池子的b/（a＋b），它就是按原来的a小时灌满时，所应乘的因子。
然而奇怪的是，当用两个人以不同的速度相向而行的问题采取代这类问题的时候，对这类问题很熟悉的成年人，往往不注意它与其他问题的同构性，而去用线性的路程－时间简图来求解问题。这看起来好像是在两个人之间分配距离，只是为了得到几何策略而不是求数量关系，就像水龙头灌水、工作、食物等一样。
像"速度"这样的思维对象，有两种截然相反的基本的图式化和形式化的办法：每段时间所走的路程和每段路程所花费的时间；后者在比较运动成绩的时候经常用到。这种双向图式化的另一个例子是耗油问题：为了知道用一箱油能否走完某段距离，司机要算出来一箱油能走多远。
这种双向图式化牵涉到各种现象，并且它的因素之间有着重要联系。如果能够意识到这些，水池和水龙头之类的问题就不会再让人看起来觉得可笑。调和的相加和求平均（即变成倒数之后）实际上是一个重要的图式，要得到它，当然需要详细的图式化去引导。
3.在学校里教学能被9整除的数的特征，很难说是数学知识.只不过是在验证它的正确有效性罢了。以算盘为模型的定位系统，可以成为一种图式化：如果用算盘上的算珠代表所给出的数，那么把一个算珠移到另一个档上，数的改变量就是9的倍数；因此，如果所有的算珠都移到个位上，就得出这个数和它的所有位上的数之和被9除同余。这种推理可以推广到其他定位系统。
4.对图示化而言，百分数这个工具由于用途广泛而不宜在此进行详细论述，我们仅给出一个特征，来说明它的极度重要性，它涉及到一种重新组织的转换：
增加或减少p％，即达到原来的（1＋ ）倍或（1－ ）倍。
5.钟表的两个指针什么时候重合？用无穷级数、简单的代数学、线性草图都能解决这个问题，而一旦得出结果，就有一条捷径得出恰当的图式：时针每转一圈，分针转了12圈，于是在12小时内追上时针11次，并且保持相同的时间间隔。这是一个用途很广泛的图式，应用到其他问题里能解释一些天文现象。
6.生日宴会上有十个小孩，男孩比女孩多两个。
一个盛着牛奶的桶共重10千克，牛奶比桶重2千克。院子里有鸡和兔子：13个脑袋，36条腿。
孩子们最初想用尝试错误法来解答这些问题，但是遇到大数目时效率就显得很低；而后就开始利用更显而易见的形形式式的图式来解决有关的问题。比如用"假设"来进行推理：假设每个女孩找一个男孩……假设每个兔子是一只鸡的话……这样不断地进行概括，就产生了代数。
7.如果你还不熟悉的话，就停下来想想下面的问题：在一群人中任意5个人里总有两个人的岁数相同，请证明在他们的17个人中总有5个人的岁数相同，你或许会想出很多图式来解决这个问题，但最终的结果会使你改变看问题的观点：实际上17个人中间至多有4个年龄层次。
8.一堆火柴100根，两个游戏者轮流每次拿掉1－10根，能拿走最后一根火柴的人为胜。这里只要知道秘诀就能取胜，这几乎人人都知道。现在来玩另外一种游戏：
一堆火柴，轮流每次从中拿走2的方幂（2 ）根，也是能拿走最后一根的人取胜。如果只有1根或2根火柴，那么最先拿的人获胜；如果是3根的话，他就输；如果有4根则能胜，5根也是如此；先拿走2根，剩下3根另外一个人怎么拿都输。如果有6根，不管他拿1根，2根还是4根，他都把有利形势让给了对方，自己则只好输掉。7根和8根的情况，分别拿走1根或2根则都能赢（剩6根）。但9根又是一个不利的情况。继续分析，就能猜到：对轮到拿的人来说，如果火柴根数是3的倍数，则处于失败境地，其他情况则不会输。你能证明吗？结果表明要考虑模3的算术。2的方幂模3余2或1。因此那些2的高次幂都没什么关系，而是最后归结成取1根还是2根的问题--这是古老游戏的一种细微的变形。
另外一种变形：只允许拿走素数根（还包括l）。
我们来列出轮到拿的人所处的有利位置和不利位置的情况。
显然，
1、2、3、5、6、7、9、10、11、…是有利的，
4、8、12…是不利的。
实际上，以12为例，不管你从中拿哪个素数，你都把有利位置让给了对方；而把上一行的数分别减去1、2或3，都能把对方送到下面一行。这表明要考虑模4的算术，在这里只需用3来代替10，就退化成古老的游戏。还有一种变形：每次可拿1根或4根，那么
1、3、4、6、8、9、11、…是处于有利位置；
2、5、7、10、12、…是处于不利位置。
被5除，余1、3、4则有利，余0、2则不利。
实际上，如果轮到拿的人处于第一种状况，他就能采取任何拿走4根或者1根的行动，这样就能保持有利的状况。
这里给出的游戏相互之间表现出了相似的特征。它们的相似性背后又有什么更深的属性呢？它们能作为更一般的游戏的范例吗？如果这样的话，怎样更一般的阐述呢？
在我们做过的游戏里，与其说是示范性地开始，倒不如说展开问题的一般方法是：先找出最后的结果，再来证明它--即违反教学法的颠倒。我们给出的是开放的结果，而不是最后的结论。
9.一系列圆盘，编号为1、2、3，…盘的一面是黑色，另一面是白色。开始所有的黑面都朝上，先把编号为偶数的盘翻过来，然后把编号能被3整除的圆盘翻过来，接着把编号能被4整除的圆盘翻过来，等等。最后哪些圆盘的黑色一面仍朝上？人们总是先做实验，然后找素数因子及一些有类似特征的，只是在最后才找到捷径：对于数n的任意非平凡因子k，都有相应的因子 ，只是当n是一个平方数时，这两个数才保持一致。从这一点出发，才能得到简洁的论述。
10.下面的例子说明，图式化得来的经验能导致重复计数等思想的产生：立方体的八个顶点处有三条边相交，似乎说明应该得到8×3条边，而实际上只有12条边。
11.通过骰子上的五个点（图2）画一条折线，每个点经过且只经过一次，能得到多少不同的图形？
首先，必须对"不同的图形"的概念图式化，可以用全等的方法来区别。其次，计数的过程必须通过适当的分类来构造，举例说，考虑五个点的中间一个：把它作为起点，作为（折线的）第一站、（折线的）第二站……，再对四个角上的点继续以同样方式处理。
12.除了前面的问题外，数学化另外一个重要的方面可以用例子来说明，?quot;棋盘上的谷粒"这一著名问题：为了估算2 ，用10 代替2 ，这就是数值图式化的一个例子。
13.至此，我忽略了数学化的语言特点。为了有所选择，我参考了[87，第4章，p.15]。选择即意味着放弃，我不愿这样做，只好如此了。
14.我也没充分注意到观点的改变。像[87，第4章，p16]的例子所显示的那样，这是一个十分丰富的课题，这个课题需要更加系统地去处理，我还不敢妄为。对此我可以补充很多，但我不愿。
15.一个木桶，上盖封住，有4个洞，呈正方形（图3）。
在洞的正下方有四个圆盘，一面黑色，一面白色，而颜色是看不见的。游戏者允许选择打开1个或2个洞，把相应的圆盘翻过来。操作一次之后，绕着桶的竖轴随意地旋转木桶，使游戏者找不到他刚选择的孔洞，如此随意重复下去，一旦四个圆盘的上面的颜色已经一致，则响铃示意游戏结束。
找一个方案，保证最后能让所有圆盘显示相同的颜色！
这个例子蕴含着丰富的数学化特征。为了让愿意自己独立解决这个问题的读者不至于失望，我把答案归到附录里。
1.3.4 数学化--横向的和纵向的
1978年，特莱弗斯（Treffers）在他的论文里把横向和纵向数学化区别开来--不是严格的，而是带有适当的保留：横向数学化，能使一个问题的领域变得易于进行数学上的处理（这里指狭义的、形式的数学），而相对的纵向数学化却或多或少影响到复杂的数学处理过程。长期以来，我不愿接受这种划分。我关注的是两种活动在理论上的等价性，以及由此决定的实用中的同等地位；我怕这种区分破坏了它们之间的这种关系。根据特莱弗斯的术语观，那些热衷于教育的数学家把数学化限制在它的纵向因素；而致力于数学教学的教育家却把数学化限制在它的横向因素，而多少次他们的做法并没使我感到丧气！最终我接受了这种分的思想，甚至到了极力推崇的地步；我还给它们的形成加上了某些细微的差异，但我认为，在某种意义上还是尊重了特莱弗斯的初衷。我接受这种划分，还因为它对数学教育的影响，尤其是在规定教育方式的时候。在我讨论数学教育的理论框架时（见3.1.2）还会详细地解释。
我们给这种划分的特征作如下规定：横向数学化把生活世界引向符号世界。在生活世界里，人们生活、活动，同时也受苦受难；在符号世界里，符号生成、重塑和被使用，而且是机械地、全面地、互相呼应地；这就是纵向数学化。在生活世界里，经历的就是现实（其意义前边讲过），而符号世界则是关于它的抽象化。当然，这两种世界的界限十分模糊，可以互为扩张和缩小--同时以另一个为代价。有些东西在某一事例中属于生活世界，而在另一件事中属于符号世界（路线图、地图、几何图形、帐单、目录单、要填的表格，等等）。自然数属于生活世界，而抽象的加法需要符号图式。抽象的加法可以被结合到生活世界，而加法的可交换性的认识（由此而产生的乘法）还需要经过处理的模型以及在符号世界里所理解的等价意义。对一个数学专家来说，数学对象可能是他生活的一部分，而对于初学者来说却完全不同。横向和纵向数学化的区别依赖于特定的情境，牵涉到人和他周围的环境。除了这些一般性，不同层次的例子则是解释它们之间区别的最好办法。
1.3.5 例子
1.数数 为了数数，一个没有结构的事物或事件的集合必须进行结构化--手工的、视觉上的、听觉上的或在大脑里--而对大体上结构化了的集合必须揭示或强化其已有的结构。这就需要横向数学化。而另一方面，如何在这个（新创造的或揭示的）结构中运用数数的次序则是纵向数学化，它依据结构本身，可以采驭不同复杂程度的方法：例如可以用乘法来给一个能用矩形结构表示的（即能排成几行几列的）集合数数。
2.多些或少些 同时构造两个给定的集合也许是横向数学化，而找出谁是谁的子集则是纵向的。或者换一种情况，给两个集合数数是横向数学化，而说出数数的顺序，听听哪个数在前边，就是纵向的。
3.相加 一个问题需要把5个和3个想象中的石头弹子加起来，它可以用"手指的图式"来进行横向数学化，而数手指的办法则是纵向的。换一种说法即是，用5＋3的算术和来表示前一个问题是横向数学化，而解答结果则可以通过纵向地一个一个数、或用4＋4来代替，或用记忆等办法来得到。
4.相加 如果直到10的自然数都属于生活世界，那么用（10－2）＋（5＋2）=10＋5的办法求解8＋5就是纵向数学化，而礁霰患邮慕峁乖蚴峭ü嵯蚧竦玫摹?br> 5.交换律 如果2和9是可见的或在大脑中结合成线性结构的集合，并且它们的结合可以被倒过来读的话，那么用9＋2代替2＋9可以归到横向数学化里。交换律一旦被普遍使用，就能被纵向说明了。
6.加法 当在如下情形中使用加法时，它就是属于纵向数学化的一个符号：当A到B及B到C之间的距离己被步测之后，则从A经B到C的距离就不用再重新步量，而只需把前面两个数值相加即可。
7.乘法 8的5倍可以用5行8列的矩形图式来横向数学化，而纵向数学化则可能得到如下的序列8、16、24、32、40。
8.乘法 人们最终认识到对相同被加数的加法，并把它独自作为一种运算--这种过程以横向数学化开始，并以纵向数学化结束。
9.除法 当需要把一些物品分给一群人的时候（例如围成一桌打牌时的发牌），可以把这些物品一个一个地发下去，也可以每回分给每个人等量的物品，直到分完为止；这是分配问题的横向数学化。纵向数学化则在于寻找愈来愈大的份额（直到刚好合适），从而来缩短分发的过程。这些过程是逐步图式化的一个显著的例子（在这个例子中是逐步的算法化，最终导出标准的长除算法）。
10.组合学 如果A、B之间有3条路相连，B、C之间有4条路，那么从A经B到C共有多少种不同的走法？横向数学化在于找出问题的结构，这可以从某种巧妙的计算开始，而最终用乘积的手段来完成纵向数学化。依具体情况的不同，这种"道路的图式"在其他情形中的应用既可能是横向的也可能是纵向的数学化。把3和4同用字母代替则是纵向的数学化。
11.比率 对一些从几何上或代数上看起来具有某种相似性的一类问题进行数学化，会出现横向与纵向的思路交替发生的情况，开始时会这样叙述：在这里大小加倍的东西，在另一边也必然加倍。
12.比 把足球比分2：1和3：2等价起来是不对的，把它们和4：3、5：4等继续比较下去就能看出来，这是纵向数学化捣的鬼。为了找出一个公正的比较办法，要用到横向引入，并从纵向得到几何的图式或比例表。
13.直线性 比率可以通过上面得到图式和线性函数的直线图象进一步纵向数学化，日常生活的很多情形都能如此，它们通过横向数学化与比率联系起来。揭示固定的比率和平直度之间的关系是纵向数学化的一大功绩，这也正是比率值和图象的陡峭程度之间的关系。对商业事务中牵涉到的一个固定的或成比例的比率进行的横向数学化，总是伴随着纵向数学化发生，它把商业事务的特点和图像的特点联系起来。
14.垛积数 用于几何（形状）给出的垛积数，它们的大小和关系就属于横向数学化问题。例如（图4），前n个奇数的和等于n的平方，又如（图5）：第n－1个三角形数和第n个三角形数的和等于n的平方。长期以来，这都是横向的经验，而且一旦把这种叙述和关系表达成公式进行处理，纵向数学化就占了主导。证明这种关系的归纳步骤具有纵向的特征，即使在很长的时间内它将像横向的那样起作用。在证明中所用的完全归纳法语言也表现出纵向的数学化。
15.帕斯卡三角 这种情形和上一个例子类似：一旦给出了帕斯卡三角，它的元素间的大量关系是横向数学化获得的。二项式系数的一般的代数表达式需要纵向数学化；众所周知，很多组合问题都和帕斯卡三角有关。
