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人生最终的价值在于觉醒和思考的能力，而不只在于生存。——亚里士多德 亚里士多德（Aristotle，公元前384～前322），世界古代史上伟大的哲学家、科学家和教育家之一，堪称希腊哲学的集大成者。 他的研究与写作涉及伦理学、形而上学、心理学、经济学、神学、政治学、修辞学、自然科学、教育学、诗歌、风俗，以及雅典法律。亚里士多德的著作构建了西方哲学的第一个广泛系统，包含道德、美学、逻辑和科学、政治和玄学。 一、亚里士多德生平 公元前384年，亚里士多德出生于与马其顿相邻的希腊殖民地色雷斯（Thrace）的斯塔基拉（Stagira）。他的父亲是马其顿国王腓力二世的宫廷御医。 公元前366年亚里士多德被送到雅典的柏拉图学院学习，从18岁到38岁这20年间一直住在学院，直至老师柏拉图去世。因为思想自由独立，师生两人有诸多分歧，经常争论，但并不影响彼此的关系。 公元前343年—前340年，亚里士多德受国王腓力二世的聘请，担任当时年仅13岁的亚历山大大帝的老师，对其思想形成起了重要的作用。亚历山大大帝一生始终对科学事业非常关心，对知识十分尊重。 公元前335年亚里士多德回到雅典，建立了吕克昂（Lyceum）学院。因其习惯边讲课边漫步花园走廊，被称为逍遥学派。期间他著作颇丰，很多以讲课的笔记为基础，因此有人将亚里士多德看作是西方的第一个教科书作者。 亚历山大去世后，雅典人开始奋起反对马其顿的统治。由于和亚历山大的关系，亚里士多德不得不因为被指控不敬神而逃到加而西斯避难。 公元前322年，亚里士多德因身染重病离开人世，终年六十三岁。 二、亚里士多德对数学发展的影响 亚里士多德没有专门写过一本关于数学的书，但在许多地方讨论过数学，并用数学说明他的一些观点。 1、科学分类 亚里士多德将科学分为三类：理论性的、生产性的和实务性的。理论性科学是探求真理的，包括数学、物理学（光学、声学、天文学）以及形而上学，其中数学是最精确的科学；生产性科学是各项工艺；而实务性科学，例如伦理学和政治学，则是为了规范人的行为。在理论科学中，逻辑是其中各门科学的先行学科，而形而上学家则要讨论并解释数学家和自然哲学家（科学家）认为是不言而喻的东西，例如研究对象的存在性或真实性问题以及公理的本性问题。 2、数学本性 柏拉图相信有一个独立、永恒的观念世界，认为它就是宇宙的真实存在，而数学概念是这世界的一部分。亚里士多德不以为然，而是把具体物质看成是更为可取的。数及几何形状是实物的属性，它们通过抽象思维被人认识，但从属于实物。所以数学是研究抽象概念的，而抽象概念来自实物的属性。 亚里士多德对数学的本性及其与物理世界的关系所发表的看法影响很大。 3、数学定义 亚里士多德关于定义的看法是合乎现代精神的。他指出定义必须用先存在于所定义事项的某种东西来表述。因此他批评“点是没有部分的那种东西”这一定义，认为“那种东西”这几个字没有说出所指的究竟是什么，除非所指的可能就是“点”，因而这定义并不合适。他承认未经定义的名词是需要的，因为在一系列的定义里总得有个开头，但其后的数学家漠视这一需要，直到19世纪末。 亚里士多德指出一个定义只能告诉我们一件事物是什么，并不说明它一定存在。定义了的东西是否存在有待于证明，除非是少数几个第一性的东西诸如点和直线，他们的存在是同公理（第一性原理）一起事先为人们所接受的。亚里士多德和欧几里得所采取的用以证明存在性的方法是构造（construction）。《几何原本》中头三个公理承认直线和圆的构造；所有其它数学概念则必须构造出来以证明其存在，例如角的三等分线虽可定义，但不能用直线和圆构造出来，所以在希腊几何学里不能加以考虑。 4、公理与公设 亚里士多德将公理（axiom）和公设（postulate）加以区别，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设只是为某一门科学所接受的第一性原理。他把逻辑原理都列为公理。公设无需是不言自明的，但其是否属真应受所推出结果的检验。所列出的一批公理或公设，数目应该越少越好，只要它们能用以证明所有结果。公理和公设的区别直到19世纪末为止都被所有数学家漠视。 亚里士多德认为公理是从观察实物（物理对象）得出的，它们是直接被人们所理解的一般性认识。 5、点与线 亚里士多德说点不可分，然而占有位置。因此点不能形成像线这类连续的东西，因为点与点不能自己连续在一起。一点好比时间中的“此刻”，此刻不可分，因而并非时间的一部分。一点可能是一线的末端、开端或其上的分界处，但它不能是线的一部分，也不成其为量。一点只有通过运动才能产生一线从而成其为量的本原。 关于线所具有的连续性，亚里士多德如此定义：如果一件东西的任何两个相继部分在其接触处的两个界限合而为一，这东西就是连续的。 亚里士多德主张的实质是：点和数是离散量，必须同几何上的连续量区别开来。在算术上没有连续集合（连续统）。 6、无穷（大） 在讨论到无穷（大）这个概念的问题时，亚里士多德提出要把潜在无穷（大）和实在无穷（大）加以区别，这在今日有重要意义。地球如果有个突然的开始，那么它的年龄是潜在无穷（大），但在任何一刻都不是实在无穷（大）。亚里士多德认为只存在潜在无穷（大）。他承认正整数是潜在无穷的，因给任何数加上1后总能得一新数，但无穷集合这类集合是不存在的。其次，大多数的量甚至不能是潜在无穷的，因它们若不断增加，就会超出宇宙范围。但空间是潜在无穷的，因它能反复往下细分，而时间则在两个方向上都是潜在无穷的。 无穷的理论要到19世纪末康托的集合论诞生才得到更深入的探究和确定。 7、逻辑学 亚里士多德最重大贡献之一是创立逻辑学。希腊人在研究出正确的数学推理规律时就已奠定了逻辑的基础，但直到亚里士多德才把这些规律典范化和系统化，使之形成一门独立学科。他是从数学得出逻辑来的。他的基本逻辑原理——矛盾律，指出一个命题不能既是真的又是假的；排中律，指出一个命题必然是真的或者是假的——就是数学间接证法的核心。 逻辑这门学科来自数学，但是独立于并且先行于数学的，而且能应用于一切推理过程。在数学里亚里士多德强调演绎证明，认为这是确定事实的唯一基础。 逍遥学派的数学家中特别值得一提的是欧德摩斯（Eudemus），他写过算术、几何及天文学方面的历史，是有案可查的第一位科学史家。他还与别人把亚里士多德的所有著作收集起来，编成了一本亚里士多德全集。 亚里士多德是对后世影响极大（包括他那些统治了物理学2000年的错误观点）的百科全书式学者，也是最后一个提出完整世界体系的人。在数学史上，他是古典希腊时期的巅峰和终结。 下一讲欧几里得与《几何原本》。 |
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