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2013中考数学专题复习14---函数中的面积计算问题

2013-07-09  紫曦唯幂1

2013中考数学专题复习14

函数中的面积计算问题

一.知识要点:

函数中面积问题常见类型:

一、选择填空中简单应用

二、不规则三角形面积运用

三、运用

四、运用相似三角形

五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形

二.例题精选

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站1.正方形ABCD的边长为4MN分别是BCCD上的两个动点,

且始终保持AMMN.当BM=  2   时,四边形ABCN的面积最大.

分析:利用⊿MCN∽⊿ABM,BM=x,CN=-0.25x2-0.5x.

S=-0.5x2+x+8,x=2时,面积最大。

2.如图,四边形ABCD是边长为1 的正方形,四边形EFGH是边长为2的正方形,点D与点F重合,点BDF),H在同一条直线上,将正方形ABCD沿FH方向平移至点B与点H重合时停止,设点DF之间的距离为x,正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y,则能大致反映y x之间函数关系的图象是(  B   

 

 

 

 

 

 

 

 


分析:当B点到达F点前,即0<x<21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站时,重合部分是正方形,S=0.5x2,当BF右侧,重合部分面积不变,DH之后,重叠部分面积又逐渐变小。

3.(2010广东广州)如图所示,四边形OABC是矩形,点AC的坐标分别为(30),(01),点D是线段BC上的动点(与端点BC不重合),过点D作直线=-交折线OAB于点E.记△ODE的面积为S,求S的函数关系式;

.

【分析】要表示出△ODE的面积,要分两种情况讨论,①如果点EOA边上,只需求出这个三角形的底边OE长(E点横坐标)和高(D点纵坐标),代入三角形面积公式即可②如果点EAB边上,这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积;

【答案】(1)由题意得B31).

若直线经过点A30)时,则b

若直线经过点B31)时,则b

若直线经过点C01)时,则b1

若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1b,如图25-a

   此时E2b0

∴SOE·CO×2b×1b

若直线与折线OAB的交点在BA上时,即b,如图2

此时E3),D2b21

∴SS(S△OCDS△OAE S△DBE )

3[(2b1)×1×(52b)·()×3()]

4. 解答下列问题:

如图1,抛物线顶点坐标为点C(14),交x轴于点A(30),交y轴于点B.

1)求抛物线和直线AB的解析式;

2)求△CAB的铅垂高CDSCAB

3P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使S△PABS△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 


思路分析

此题是二次函数中常见的面积问题,方法不唯一,可以用割补法,但有些繁琐,如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法:即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后,思路直接,过程较为简单,计算量相对也少许多,

答案:1由已知,可设抛物线的解析式为y1a(x1)24(a0)A(30)代入解析式求得a=-1

∴抛物线的解析式为y1=-(x1)24,即y1=-x 22x3

设直线AB的解析式为y2kxb

y1=-x 22x3求得B点的坐标为(03)A(30)B(03)代入y2kxb,解得k=-1b3

∴直线AB的解析式为y2=-x3

2)∵C(14)∴当x1时,y14y22

△CAB的铅垂高CD422

SCAB×3×23(平方单位)

3)解:存在

P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h

hy1y2(x 22x3)(x3)=-x 23x

S△PABS△CAB得:×3×(x 23x)×3

整理得4x 212x90解得x

x代入y1=-x 22x3,得y1

P点的坐标为()

5. 11·泉州)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(08),点B)在直线上运动,点DEF分别为OBOAAB的中点,其中是大于零的常数.

1)判断四边形DEFB的形状,并证明你的结论;

2)试求四边形DEFB的面积的关系式;

3)设直线轴交于点C,问:四边形DEFB能不能是矩形?若能,求出的值;若不能,说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

1)四边形DEFB是平行四边形

证明:∵DE分别是OBOA的中点,∴DEAB,同理,EFOB,∴四边形DEFB是平行四边形.

2

由(1)得EFOB,∴△AEF~△AOB,∴.

同理,∴,即.

 

3)以E为圆心、OA长为直径的圆记为⊙E.

①当直线与⊙E相切或相交时,若点B是切点或交点,则∠ABO=90°,由(1)知,四边形DEFB是矩形.此时可得△AOB~△OBC,故.(注:本式也可以由三角函数值得到).

RtOBC中,,∴,.

解得:.

②当直线与⊙E相离时,∠ABO90°,∴四边形DEFB不是矩形,此时

∴当时,四边形DEFB不是矩形.

综上所述,当,四边形DEFB是矩形,这时;当时,四边形DEFB不是矩形.

三.能力训练

1.如图,在正方形ABCD中,AB=3㎝,动点MA点出发沿AB方向以每秒1㎝的速度运动,同时动点NA点出发沿折线ADDCCB以每秒3㎝的速度运动,到达B点时运动同时停止。设△AMB的面积为y(㎝2)。运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映yx之间函数关系的是(     

 

 

 


2.如图.直线21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站与双曲线21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站交于AB两点,连接OAOBAMy轴于MBNx轴于N;有以下结论:

    OA=OB

    ②△AOM≌△BON

  ③若∠AOB=45°.则21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

    ④当AB=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站时,ON=BN=l

    其中结论正确的个数为(     

A1      B2       C3       D.  4

3.如图,已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点,与轴相交于点轴于点的面积为1,则的长为         (保留根号).

4.如图,已知点AB在双曲线x0)上,ACx轴于点CBDy轴于点DACBD交于点PPAC的中点,若△ABP的面积318.如图,已知点AB在双曲线x0)上,ACx轴于点CBDy轴于点DACBD交于点PPAC的中点,若△ABP的面积3,则k      

5.如图,在直线l1x轴于点(10),直线l2x轴于点(20),

直线l3x轴于点(n0)……直线lnx轴于点(n0).函数y=x

图象与直线l1l2l3,……ln分别交于点B1B2B3,……Bn。如果

OA1B1的面积记为S1,四边形A1A2B2B1的面积记作S2,四边形A2A3B3B2

的面积记作S3,……四边形An1AnBnBn1的面积记作Sn

那么S2011=_______________________

6.如图,一次函数的图象与反比例函数y1= – ( x<0)的图象相交于A点,与y轴、x轴分别相交于BC两点,且C20).x<–1时,一次函数值大于反比例函数的值,当x>–1时,一次函数值小于反比例函数值.

(1)    求一次函数的解析式;

(2)    设函数y2= (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象关于y轴对称.y2= (x>0)的图象上取一点PP点的横坐标大于2),过PPQx轴,垂足是Q,若四边形BCQP的面积等于2,求P点的坐标.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


7.已知:如图,有一块含的直角三角板的直角边长的长恰与另一块等腰直角三角板的斜边的长相等,把该套三角板放置在平面直角坐标系中,且.

(1)若双曲线的一个分支恰好经过点,求双曲线的解析式;

(2)若把含的直角三角板绕点按顺时针方向旋转后,斜边恰好与轴重叠,点落在点,试求图中阴影部分的面积(结果保留).

 

 

 

8.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(20),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB

1)求点B的坐标;

2)求经过AOB三点的抛物线的解析式;

3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.

4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.

 

 

 

 

 


9.如图,在△ABC中,∠A=90°∠B=60°AB=3,点D从点A以每秒1个单位长度的速度向点B运动(D不与B重合),过点DDE∥BCAC于点E.以DE为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形ADFE,设点D的运动时间为21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站秒.

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站(1)用含21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的代数式表示△DEF的面积S

(2)21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站为何值时,⊙O与直线BC相切?

 

 

 

 

 

 

10.已知:t1t2是方程t 22t240的两个实数根,且t1t2,抛物线yx 2bxc的图象经过点At10),B0t2).

1)求这个抛物线的解析式;

2)设点Pxy)是抛物线上一动点,且位于第三象限,四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形,求□OPAQ的面积S之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;

3)在(2)的条件下,当□OPAQ的面积为24时,是否存在这样的点P,使□OPAQ为正方形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.

 

 

 

 

 

 

四.思维拓展

11.如图,在梯形ABCD中,DCABA90°AD6厘米DC4厘米BC的坡度i3 : 4.动点PA出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动,动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为t秒.

1)求边BC的长;

2)当t为何值时,PCBQ相互平分;

3)连结PQ ,设△PBQ的面积为y,探求yt的函数关系式,

t为何值时,y有最大值?最大值是多少?

 

 

 

 

 

12.如图1,已知抛物线经过坐标原点Ox轴上另一点E,顶点M的坐标为 (2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,ADAB分别在x轴、y轴上,且AD=2AB=3.

1)求该抛物线的函数关系式;

2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0t3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).

t=时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;

设以PNCD为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. 11·杭州)图形既关于点O中心对称,又关于直线ACBD对称,AC=10BD=6,已知点EM是线段AB上的动点(不与端点重合),点OEFMN的距离分别为△OEF△OGH组成的图形称为蝶形。

1)求蝶形面积S的最大值;

2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时,求满足的关系式,并求的取值范围。

14.如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动tt0)秒,抛物线y=x2bxc经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A10)、B1,-5)、D40.

⑴求cb(用含t的代数式表示);

⑵当4t5时,设抛物线分别与线段ABCD交于点MN.

①在点P的运动过程中,你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化,说明理由;若不变,求出∠AMP的值;

②求△MPN的面积St的函数关系式,并求t为何值时,S=

③在矩形ABCD的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分,请直接写出t的取值范围.

 

15.已知二次函数的图象经过A20)、C(012) 两点,且对称轴为直线x=4. 设顶点为

P,与x轴的另一交点为点B.

1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;

2)如图1,在直线 y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;

3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(OP两点除外),以每秒21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站个单位长度的速度由点P向点O 运动,过点M作直线MNx轴,交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN. 在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t. S关于t的函数关系式.

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二次函数中的面积计算问题参考答案

1.B   2.D    3.    4.  5.2010.5

6.解:(1)∵x< –1时,一次函数值大于反比例函数值,当x>–1时,一次函数值小于反比例函数值.

        A点的横坐标是–1,∴A–13      

        设一次函数解析式为y= kx+b,因直线过AC

         ,解之得:

       ∴一次函数解析式为y= –x+2              

       2)∵y2 = (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象y轴对称,

            y2 = (x>0)                    

            B点是直线y= –x+2y轴的交点,∴B (02) 

         Pn )n>2  S四边形BCQP –SBOC =2

             ( 2+ )n– 22 = 2n =            

             P                               

7.解:(1) 中,

∴点

设双曲线的解析式为

,则双曲线的解析式为

(2) 中,

.

由题意得:

中,

.

.

8.解:(1)如图1过点BBMx轴于M

由旋转性质知OBOA2

∵∠AOB120°,∴∠BOM60°

OMOB·cos60°2×1BMOB·sin60°2×

∴点B的坐标为(1)

2)设经过AOB三点的抛物线的解析式为yax 2bxc

∵抛物线过原点c0

     解得

∴所求抛物线的解析式为yx 2x

3)存在.

如图2,连接AB,交抛物线的对称轴于点C,连接OC

OB的长为定值,∴要使△BOC的周长最小,必须BCOC的长最小.

∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称,∴OCAC

BCOCBCACAB

由“两点之间,线段最短”的原理可知:此时BCOC最小,点C的位置即为所求.

设直线AB的解析式为ykxm,将A(20)B(1)代入,得

     解得

∴直线AB的解析式为yx

抛物线的对称轴为直线x=-1,即x=-1

x=-1代入直线AB的解析式,得y×(1)

∴点C的坐标为(1)

4)△PAB有最大面积.

如图3,过点Py轴的平行线交AB于点D

SPAB SPADSPBD

(yDyP)(xBxA)

[(x)(x 2x)](12)

=-x 2x

=-(x)2

∴当x=-时,△PAB的面积有最大值,最大值为

此时yP×()2×()=-

∴此时P点的坐标为()

9、解:(1)∵DEBC,∴∠ADE=B=60°

在△ADE中,∵∠A=90°

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AD=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,∴AE=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

又∵四边形ADFE是矩形,

SDEF=SADE=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站S=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

2)过点OOGBCG,过点DDHBCH

DEBC,∴OG=DH,∠DHB=90°

在△DBH中,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

∵∠B=60°,BD=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站AD=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站AB=3

DH=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,∴OG=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

OG=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站时,⊙OBC相切,

在△ADE中,∵∠A=90°,∠ADE=60°,∴21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

AD=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,∴DE=2AD=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

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21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

∴当21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站时,⊙O与直线BC相切

10.解:(1)由t 22t240,解得t16t24

t1t2A60),B04

抛物线yx 2bxc的图象经过点AB两点

     解得

这个抛物线的解析式为yx 2x4

2)∵Pxy)在抛物线上,且位于第三象限,y0,即y0

又∵S2SAPO2××| OA|·| y || OA|·| y |6| y |

S6y

6(x 2x4)4(x 27x6)4(x)225

y0,则x 2x40解得x16x21

∴抛物线与x轴的交点坐标为(60)、(10

x的取值范围为6x1

3)当S24时,得4(x)22524解得:x14x23

代入抛物线的解析式得:y1y24

P的坐标为(34)、(44).

当点P为(34)时,满足POPA,此时,OPAQ是菱形.

当点P为(44)时,不满足POPA,此时,OPAQ不是菱形

要使OPAQ为正方形,那么,一定有OAPQOAPQ,此时,点的坐标为(33),而(33)不在抛物线yx 2x4上,故不存在这样的点P使□OPAQ为正方形

11.解:(1)如图1,过CCEAB于点E,则四边形AECD为矩形.

AECD4CEDA6

又∵i3 : 4

EB8AB12.在RtCEB中,由勾股定理得:

BC10

2)假设PCBQ相互平分

DCAB∴四边形PBCQ是平行四边形(此时QCD),如图2.∴CQBP3t10122t

解得tt秒时,PCBQ相互平分

 

3QBC上,即0 t

如图1,过QQFAB于点F,则CEQF

,即QF

SPBQ PB·QF(122t)·

t 2t

yt 2t.∵yt 2t(t3)2

∴当t3秒时,y有最大值为厘米2

QCD上,即 t

SPBQ PB·CE(122t)×6

366t

y366t.此时yt的增大而减小.

故当t秒时,y有最大值为366×16厘米2

综合①②,得yt的函数关系式如下:

t

0 t

y............

16,∴当t3秒时,y有最大值为厘米2

 

12解:(1

2)①点P不在直线ME

②依题意可知:P,),N

时,以PNCD为顶点的多边形是四边形PNCD,依题意可得:

=+=+=

=

∵抛物线的开口方向:向下,∴当=,且时,=

,PN都重合,此时以PNCD为顶点的多边形是三角形

依题意可得,==3

综上所述,以PNCD为顶点的多边形面积S存在最大值

13、解:(1)由题意,得四边形是菱形.

,得,即

所以当时,.

2)根据题意,得.

如图,作 关于对称线段为

1)当点不重合时,则的两侧,易知.

,得

,即

,此时的取值范围为

2)当点重合时,则,此时的取值范围为.

14. 解:⑴把21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站代入21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,得21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站.

再把21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站代入21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,得21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,∵21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,∴21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站.

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⑵①不变.

如图6,当21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站时,21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,故21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站.

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21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,∴21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站舍去,∴21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站.

15.解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c

            由题意得21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站    解得21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

            ∴二次函数的解析式为y= x28x+12 

            P的坐标为(4,-4

2)存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下:

y=0时,x2-8x+12=0   x1=2 x2=6

∴点B的坐标为(60

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站设直线BP的解析式为y=kx+m

     21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站       解得21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

              ∴直线BP的解析式为y=2x12

         ∴直线ODBP

     ∵顶点坐标P4 4     OP=421世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站

         D(x2x)    BD2=2x2+(6x)2

             BD=OP时,(2x2+(6x)2=32

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站         解得:x1=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站x 2=2

         x2=2时,OD=BP=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站,四边形OPBD为平行四边形,舍去

         ∴当x=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站时四边形OPBD为等腰梯形

         ∴当D(21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站)时,四边形OPBD为等腰梯形 

3)① 0t2时,

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