2013中考数学专题复习14---函数中的面积计算问题

2013中考数学专题复习14

函数中的面积计算问题

一．知识要点：

函数中面积问题常见类型：

一、选择填空中简单应用

二、不规则三角形面积运用

三、运用

四、运用相似三角形

五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形

二．例题精选

例1．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，

且始终保持AM⊥MN．当BM=  2   时，四边形ABCN的面积最大．

分析：利用⊿MCN∽⊿ABM,设BM=x,得CN=-0.25x²-0.5x.

S=-0.5x²+x+8,当x=2时，面积最大。

例2．如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与 x之间函数关系的图象是（  B    ）

 

 

 

 

 

 

 

 

分析：当B点到达F点前，即0<x<时，重合部分是正方形，S=0.5x²，当B到F右侧，重合部分面积不变，D到H之后，重叠部分面积又逐渐变小。

例3．（2010广东广州）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；

.

【分析】要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；

【答案】（1）由题意得B（3，1）．

若直线经过点A（3，0）时，则b＝

若直线经过点B（3，1）时，则b＝

若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，

   此时E（2b，0）

∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2

此时E（3，），D（2b－2，1）

∴S＝S_矩－(S_△OCD＋S_△OAE ＋S_△DBE )

＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝

∴

例4. 解答下列问题：

如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.

（1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2）求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB ；

（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S_△PAB＝S_△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

 

 

 

 

 

 

思路分析

此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，

答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为y_1＝a(x_－1)²＋4(a≠0)．把A(3，0)代入解析式求得a_＝－1，

∴抛物线的解析式为y_1＝－(x_－1)²＋4，即y_1＝－x ²＋2x＋3．

设直线AB的解析式为y_2＝kx＋b，

由y_1＝－x ²＋2x＋3求得B点的坐标为(0，3)．把A(3，0)，B(0，3)代入y_2＝kx＋b，解得k_＝－1，b_＝3．

∴直线AB的解析式为y_2＝－x＋3．

（2）∵C(1，4)，∴当x_＝1时，y_1＝4，y_2＝2．

∴△CAB的铅垂高CD＝4_－2＝2．

S_{△CAB＝×3×2＝3(平方单位)}．

（3）解：存在．

设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h．

则h_＝y_1－y_2＝(－x ²＋2x＋3_)－(－x＋3_)＝－x ²＋3x

由S_△PAB＝S_△CAB得：_{×3×(－x 2＋3x)＝×3．}

整理得4x ²_－12x＋9＝0，解得x_＝．

把x_＝代入y_1＝－x ²＋2x＋3，得y_1＝．

∴P点的坐标为₍，_)．

例5. （11·泉州）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B（）在直线上运动，点D、E、F分别为OB、OA、AB的中点，其中是大于零的常数.

（1）判断四边形DEFB的形状，并证明你的结论；

（2）试求四边形DEFB的面积与的关系式；

（3）设直线与轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能，求出的值；若不能，说明理由.

 

．

 

 

 

 

 

 

 

（1）四边形DEFB是平行四边形

证明：∵D、E分别是OB、OA的中点，∴DE∥AB，同理，EF∥OB，∴四边形DEFB是平行四边形.

（2）

由（1）得EF∥OB，∴△AEF～△AOB，∴∴.

同理，∴，即.

 

（3）以E为圆心、OA长为直径的圆记为⊙E.

①当直线与⊙E相切或相交时，若点B是切点或交点，则∠ABO=90°，由（1）知，四边形DEFB是矩形.此时可得△AOB～△OBC，故.即（注：本式也可以由三角函数值得到）.

在Rt△OBC中，，∴,∴.

解得：.

②当直线与⊙E相离时，∠ABO≠90°，∴四边形DEFB不是矩形，此时，

∴当时，四边形DEFB不是矩形.

综上所述，当，四边形DEFB是矩形，这时；当时，四边形DEFB不是矩形.

三．能力训练

1．如图，在正方形ABCD中，AB=3㎝，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1㎝的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD－DC－CB以每秒3㎝的速度运动，到达B点时运动同时停止。设△AMB的面积为y（㎝²）。运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（      ）

 

 

 

2．如图．直线与双曲线交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M．BN⊥x轴于N；有以下结论：

    ①OA=OB

    ②△AOM≌△BON

．  ③若∠AOB=45°．则

    ④当AB=时，ON=BN=l；

    其中结论正确的个数为（      ）

A．1      B．2       C．3       D.  4

3．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，与轴相交于点轴于点，的面积为1，则的长为         （保留根号）．

4．如图，已知点A、B在双曲线（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，18．如图，已知点A、B在双曲线（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k＝       ．

5.如图，在直线l₁⊥x轴于点（1，0），直线l₂⊥x轴于点（2，0），

直线l₃⊥x轴于点（n，0）……直线l_n⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的

图象与直线l₁，l₂，l₃，……l_n分别交于点B₁，B₂，B₃，……B_n。如果

△OA₁B₁的面积记为S₁，四边形A₁A₂B₂B₁的面积记作S₂，四边形A₂A₃B₃B₂

的面积记作S₃，……四边形A_n－1A_nB_nB_n－1的面积记作S_n，

那么S₂₀₁₁=_______________________。

6.如图，一次函数的图象与反比例函数y₁= – ( x<0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0).当x<–1时，一次函数值大于反比例函数的值，当x>–1时，一次函数值小于反比例函数值.

(1)    求一次函数的解析式；

(2)    设函数y₂= (x>0)的图象与y₁= – (x<0)的图象关于y轴对称.在y₂= (x>0)的图象上取一点P（P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.已知：如图，有一块含的直角三角板的直角边长的长恰与另一块等腰直角三角板的斜边的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且.

(1)若双曲线的一个分支恰好经过点，求双曲线的解析式；

(2)若把含的直角三角板绕点按顺时针方向旋转后，斜边恰好与轴重叠，点落在点，试求图中阴影部分的面积(结果保留).

 

 

 

8．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(_－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

 

 

 

 

 

9．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=3，点D从点A以每秒1个单位长度的速度向点B运动(点D不与B重合)，过点D作DE∥BC交AC于点E．以DE为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形ADFE，设点D的运动时间为秒．

(1)用含的代数式表示△DEF的面积S；

(2)当为何值时，⊙O与直线BC相切?

 

 

 

 

 

 

10．已知：t₁，t₂是方程t ²＋2t_－24＝0，的两个实数根，且t₁＜t₂，抛物线y_＝x ²＋bx＋c的图象经过点A（t₁，0），B（0，t₂）．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

 

 

 

 

 

 

四．思维拓展

11．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＝90°，AD＝6厘米，DC＝4厘米，BC的坡度i＝3 ^: 4．动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B→C→D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．

（1）求边BC的长；

（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；

（3）连结PQ ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，

求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

 

 

 

 

 

12．如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.

① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. （11·杭州）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为，，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形。

（1）求蝶形面积S的最大值；

（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求与满足的关系式，并求的取值范围。

14．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x²＋bx＋c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）.

⑴求c、b（用含t的代数式表示）；

⑵当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S=；

③在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.

 

15．已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为

点P，与x轴的另一交点为点B.

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折，得到△P₁MN. 在动点M的运动过程中，设△P₁MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

二次函数中的面积计算问题参考答案

1.B   2.D    3.    4.  _5.2010.5

6．解：（1）∵x< –1时，一次函数值大于反比例函数值，当x>–1时，一次函数值小于反比例函数值.

        ∴A点的横坐标是–1，∴A（–1，3）      

        设一次函数解析式为y= kx+b，因直线过A、C

        则 ，解之得： ，

       ∴一次函数解析式为y= –x+2              

       （2）∵y₂ = (x>0)的图象与y₁= – (x<0)的图象y轴对称，

            ∴y₂ = (x>0)                    

            ∵B点是直线y= –x+2与y轴的交点，∴B (0，2) 

         设P（n， )，n>2  S_{四边形BCQP} –S_△BOC =2

             ∴( 2+ )n– ′2′2 = 2，n = ，           

             ∴P（，）                               

7.解：(1) 在中，，，

，

∴，

∴点

设双曲线的解析式为

∴，，则双曲线的解析式为

(2) 在中，，，

，，

∴.

由题意得：，

在中，，，

∴.

∴.

∴

8.解：（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M．

由旋转性质知OB＝OA＝2．

∵∠AOB＝120°，∴∠BOM＝60°．

∴OM＝OB·cos60°＝2×＝1，BM＝OB·sin60°＝2×＝．

∴点B的坐标为(1，)．

（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y_＝ax ²_＋bx_＋c

∵抛物线过原点，∴c_＝0．

∴     解得

∴所求抛物线的解析式为y_＝x ²＋x．

（3）存在．

如图2，连接AB，交抛物线的对称轴于点C，连接OC．

∵OB的长为定值，∴要使△BOC的周长最小，必须BC_＋OC的长最小．

∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称，∴OC_＝AC．

∴BC_＋OC_＝BC_＋AC_＝AB．

由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时BC_＋OC最小，点C的位置即为所求．

设直线AB的解析式为y_＝kx_＋m，将A(_－2，0)，B(1，)代入，得

     解得

∴直线AB的解析式为y_＝x＋．

抛物线的对称轴为直线x_＝＝－1，即x_＝－1．

将x_＝－1代入直线AB的解析式，得y_＝×(－1₎＋_＝．

∴点C的坐标为(_－1，)．

（4）△PAB有最大面积．

如图3，过点P作y轴的平行线交AB于点D．

∵S_{△PAB ＝}S_△PAD＋S_△PBD

_{＝(yD－yP)(xB－xA)}

_＝[₍x＋_)－(x ²_＋x₎]_(1＋2)

_＝－x ²_－x_＋

_＝－(x_＋)²_＋

∴当x_＝－时，△PAB的面积有最大值，最大值为．

此时y_P＝×(－)²_{＋×(－)＝－}．

∴此时P点的坐标为_(－，_－)．

9、解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°

在△ADE中，∵∠A=90°

∴

∵AD=，∴AE=

又∵四边形ADFE是矩形，

∴S_△DEF=S_△ADE=（

∴S=（

（2）过点O作OG⊥BC于G，过点D作DH⊥BC于H，

∵DE∥BC，∴OG=DH，∠DHB=90°

在△DBH中，

∵∠B=60°，BD=，AD=，AB=3，

∴DH=，∴OG=

当OG=时，⊙O与BC相切，

在△ADE中，∵∠A=90°，∠ADE=60°，∴，

∵AD=，∴DE=2AD=，

∴，

∴

∴当时，⊙O与直线BC相切

10.解：（1）由t ²＋2t_－24＝0，解得t₁＝_－6，t₂＝4．

∵t₁＜t₂，∴A（_－6，0），B（0，4）．

∵抛物线y_＝x ²＋bx＋c的图象经过点A，B两点

∴     解得

∴这个抛物线的解析式为y_＝x ²＋x＋4．

（2）∵点P（x，y）在抛物线上，且位于第三象限，∴y＜0，即_－y＞0．

又∵S_＝2S_△APO＝2××^| OA^|·| y ^|_＝^| OA^|·| y ^|_＝6^| y ^|

∴S_＝－6y．分

_＝－6₍x ²＋x＋4_)＝－4₍x ²＋7x＋6_)＝－4₍x＋)²＋25．

令y_＝0，则x ²＋x＋4_＝0，解得x₁＝_－6，x₂＝_－1．

∴抛物线与x轴的交点坐标为（_－6，0）、（_－1，0）

∴x的取值范围为_－6＜x＜_－1．

（3）当S_＝24时，得_－4₍x＋)²＋25_＝24，解得：x₁＝_－4，x₂＝_－3．

代入抛物线的解析式得：y₁＝y₂＝_－4．

∴点P的坐标为（_－3，_－4）、（_－4，_－4）．

当点P为（_－3，_－4）时，满足PO＝PA，此时，□OPAQ是菱形．

当点P为（_－4，_－4）时，不满足PO＝PA，此时，□OPAQ不是菱形

要使□OPAQ为正方形，那么，一定有OA⊥PQ，OA＝PQ，此时，点的坐标为（_－3，_－3），而（_－3，_－3）不在抛物线y_＝x ²＋x＋4上，故不存在这样的点P，使□OPAQ为正方形．

11.解：（1）如图1，过C作CE⊥AB于点E，则四边形AECD为矩形．

∴AE＝CD＝4，CE＝DA＝6．

又∵i＝3 ^: 4，∴_＝．

∴EB＝8，AB＝12．在Rt△CEB中，由勾股定理得：

BC＝＝10．

（2）假设PC与BQ相互平分．

∵DC∥AB，∴四边形PBCQ是平行四边形（此时Q在CD），如图2．∴CQ＝BP，即3t－10＝12－2t．

解得t＝，即t＝秒时，PC与BQ相互平分．

 

（3）①当Q在BC上，即0≤ t ＜时

如图1，过Q作QF⊥AB于点F，则CE∥QF．

∴_＝，即_＝，QF_＝．

∴S_{△PBQ ＝}PB^·QF_＝(12－2t)^·

_＝－t ²＋t．

即y_＝－t ²＋t．∵y_＝－t ²＋t_＝－(t－3)²＋

∴当t_＝3秒时，y有最大值为厘米²

②当Q在CD上，即≤ t ≤时

S_{△PBQ ＝}PB^·CE_＝(12－2t)×6

_＝36－6t．

即y_＝36－6t．此时y随t的增大而减小．

故当t_＝秒时，y有最大值为36－6×_＝16厘米²．

综合①②，得y与t的函数关系式如下：

（≤ t ≤）

（0≤ t ＜）

y_＝．．．．．．．．．．．．

∵＞16，∴当t_＝3秒时，y有最大值为厘米²．

 

12解：（1）

（2）①点P不在直线ME上

②依题意可知：P（,），N（，）

当时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：

=+=+=

=

∵抛物线的开口方向：向下，∴当=，且时，=

当时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形

依题意可得，==3

综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值．

13、解：（1）由题意，得四边形是菱形.

由，得，，即

所以当时，.

（2）根据题意，得.

如图，作于， 关于对称线段为，

1）当点不重合时，则在的两侧，易知.

，

由，得

，即

，此时的取值范围为且

2）当点重合时，则，此时的取值范围为.

14. 解：⑴把代入，得.

再把,代入，得，∵，∴.

 

⑵①不变.

如图6，当时，，故.

∵.∴

②

=

=

=

解=，得.

∵，∴舍去，∴.

⑶

15.解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c

            由题意得    解得

            ∴二次函数的解析式为y= x²－8x+12 

            点P的坐标为（4，－4）

（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下：

当y=0时，x²-8x+12=0   ∴x₁=2 ， x₂=6

∴点B的坐标为（6，0）

设直线BP的解析式为y=kx+m

     则       解得

              ∴直线BP的解析式为y=2x－12

         ∴直线OD∥BP

     ∵顶点坐标P（4， －4）     ∴ OP=4

         设D(x，2x)    则BD²=（2x）²+(6－x)²

             当BD=OP时，（2x）²+(6－x)²=32

         解得：x₁=，x ₂=2

         当x₂=2时，OD=BP=，四边形OPBD为平行四边形，舍去

         ∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形

         ∴当D(，)时，四边形OPBD为等腰梯形 

（3）① 当0＜t≤2时，

∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，

则MP=t    ∴PH=t，MH=t，HN=t   ∴MN=t

∴S=t·t·=t²

        ② 当2＜t＜4时，P₁G=2t－4，P₁H=t

            ∵MN∥OB    ∴ ∽

∴     ∴

            ∴ =3t²－12t+12

∴S=t²－(3t²－12t+12)= －t²+12t－12

∴  当0＜t≤2时，S=t²

                  当2＜t＜4时，S=－t²+12t－12