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数学视觉下的图案设计教学
刘同军 （山东省淄博第十八中学 255000）
1 图案的概念 在现行的初中数学教材中，“图案”是使用频率较高的一个词汇，常见如下说法：银行徽标图案、交通标志图案、京剧脸谱图案、钱币图案、商标图案、剪纸图案、花边图案、窗棂图案、镶嵌图案、奥运五环图案等．可见，“图案”是一个外延较为宽泛的概念． “图案”有广义和狭义之分．《辞海》对“图案”条目的解释是：“广义指对某种器物的造型结构、色彩、纹饰进行工艺处理而事先设计的施工方案，制成图样，通称图案．……，狭义则指器物上的装饰纹样和色彩而言．”[1] 初中数学教材中，虽然没有对图案作严格的定义，但大家通常的理解是其狭义的概念，也就是：图案是“有装饰意味的花纹或图形．”[2]
2 图案的教育价值 在义务教育段，“图案”较高的教育价值，至少可以体现在如下方面． （1）借助图案认识基本几何图形． （2）借助图案引入数学概念．比如，山东教育出版社（以下简称鲁教版）的教材，用图1引入“垂直”的概念，泰山出版社的教材用图2引人“角”的概念．
（3）揭示数学规律． （4）体现数学应用． （5）进行美育教育．优美的图案往往在对称中显现均衡，在反复中体现秩序，在统一中追求变化，在对比中不失和谐．好的图案不仅式样活泼生动，体现一定的几何规律，而且常有深刻的寓意，因此图案本身既有形式美，又具抽象美，是美的载体，学习、分析和设计图案的过程就是一个对学生进行美育的过程． （6）体现创新价值．图案教育家陈之佛先生指出：图案是构想图．它不仅是平面的，也是立体的；是创造性的计划，也是设计实现的阶段． （7）体现德育价值．《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分．”2002年在北京召开的国际数学家大会，采用了中国古代数学家赵爽的“弦图”作会标，显然，“弦图”早已是数学文化的一部分．我们熟悉的奥运五环图案、福娃图案也已经是奥运文化的一部分．图3展示了近年来出土的半坡时代流行的陶器上的一些纹饰[13]，可以看出，早在距今六千多年前的半坡时代，中国远古先民在艺术创作中就已成功地运用几何学知识了．在华东师大出版社的教材中也介绍了从敦煌洞窟到欧洲教堂出现的完全相同的一种图案：三只兔子相互追逐形成一环的图案，有专家猜测，这一图案是通过中国的纺织品经由丝绸之路传到欧洲的．从这些例子，我们可以看出，图案承载着厚重的文化、历史、宗教价值，是数学教学中对学生进行德育教育的良好素材．
另外，图案往往具有教学起点低、蕴涵知识跨度大的特点，适合不同年级的学生从不同的角度进行学习研究．比如，五角星图案，学生可以从中认识三角形、筝形、五边形等基本几何图形，可以求五角星的内角和，可以研究其轴对称性和旋转对称性，还可以研究其中的黄金分割现象等等．
3 图案的理解与欣赏 3.1 图案结构的理解 对于一个图案，欣赏是需要理解的，而理解是有层次的．《标准》指出，要培养学生“能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系”的能力．在初中数学中，通常从以下三个方面对图案进行分析并对其基本结构达成理解． （1）组成图案的基本图形：三角形、四边形、圆、弧等． （2）图案的对称性：轴对称、中心对称或旋转对称，指出对称轴或对称中心． （3）图案的构造方式：“基本图案”经平移、旋转、轴对称、缩放以及它们的组合等构成了整个图案，有时，“基本图案”又是几个三角形、四边形、圆等基本几何图形的组合． 例１ 如图4，（1）图中有长方形和正方形；（2）该图是一个中心对称图形，对称中心为四个长方形的公共顶点，如果不考虑颜色，该图也是一个旋转对称图形，旋转90?后即可与自身重合；（3）该图既可以看作是由4个长方形和4个正方形组合而成的，又可以看作是由4个大长方形“编织”而成的[6]；（4）把一个小长方形和一个小正方形看成“基本图案”，该图可看作是由基本图案绕中心连续旋转90?形成的，如果把两个长方形和两个正方形看成“基本图案”，该图可以看作是由基本图案绕中心旋转180?形成的（可见，“基本图案”是相对而言的）．图5列出了可用于旋转构图的部分“基本图案”，显然，在图4中至少存在图5中各图的全等形．
3.2 特殊图案的识别 图案根据表现形式有具象和抽象之分．具象图案其内容可以分为花卉图案、风景图案、人物图案、动物图案等等，而数学课程中研究的图案大都是抽象图案． 有些图案有着非常强烈的外部特征，如京剧脸谱图案、剪纸图案等，有一定生活经验后很容易识别．有些图案，象各国国旗图案、一些公共标志图案等，需要加以学习后才能识别．在初中数学中，还有一些结构奇特的图案，如镶嵌图案、分形图案、包络图案等． （1）镶嵌图案 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌，也叫密铺，由此得到的图案就是镶嵌图案．镶嵌图案多由边长相等的正多边形组成，但也可以由不规则图形组成．对于正多边形的镶嵌，选取图案中的一点，该点连同其周圈的多边形一起即可构成“基本图案”．例如，在图6的两个图案中，我们任意选取一点，都会发现该点周围围绕着两个正八边形和一个正方形，由于两个图案中的“基本图案”是一样的，因此图6中的两个镶嵌图案从结构上看是相同的．不难看出，图7由三种“基本图案”组成．
（2）分形图案 《标准》要求学生“了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带）”，这里，雪花曲线就是一种分形图．图8是两种分形植物，常见的分形图案还有科克曲线、希尔宾斯基三角形（地毯）、毕达哥拉斯树（勾股树）等，这些图形中都存在自相似，即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系．现行初中课标教材中，大都会介绍一两种分形图的画法．
（3）包络图案 如果一曲线在它的每一点常和一族曲线中的一条相切，则该曲线称为这族曲线的包络．如图9中的两个图案分别是由线段和圆周包络而成的． 3.3 对图案寓意的理解 欣赏图案离不开对图案寓意的理解．有些图案有固定的寓意，比如国旗、交通标志等；有些图案其寓意可一目了然，比如由变形后的“工人”二字组成的中国铁路标志，那个在铁轨上的火车头给人的印象是那样的强烈．虽然图案设计时一般都会赋予其一定含义，然后，理解和设计是不同的，就大部分图案而言，其抽象性决定了其寓意理解上的难度．笔者认为，图案寓意的理解不属于数学的范畴，不应作为数学教学的要求． 3.4 数学的视角与美术的视角 图案的理解与欣赏可以有不同的视角，比如，至少可以有数学的视角和美术的视角．图10（1）中的窗格图案，使用平行的双线条表现窗棂的宽度，由此得到的图案装饰意味浓，形象逼真，但如果从数学的角度分析图案的构成，则可以忽略窗棂的宽度，用单线条来绘制其“基本图案”，如图（2）．
再如，图11描述了从一个六边形出发经过一系列割补变形得到一个多边形，并经平移得到一幅镶嵌图案的过程．而图12中，把多边形作轮廓描绘成不同表情的人头像，再由此组成了一幅令人称奇的漂亮图案．这里，尽管图案的创作过程中应用了数学，但真正打动人心的却是创作者的美术构思．“笑脸”填充了轮廓，美术掩盖了数学．现行课本中引用的埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）的多幅含有动物图案的镶嵌图也是如此，我们在欣赏这些图案时，也许会想，这位来自荷兰的天才首先是画家，其次才是数学家．
4 图案设计的方法 4.1 《标准》要求：“灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．”“灵活运用”是《标准》中知识与技能目标的最高级，其含义是“能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法完成特定的数学任务．” 初中数学课本中介绍的图案设计的方法主要有如下几种：（1）画平行线、画垂线、画弧；（2）等分圆周；（3）轴对称、平移、旋转；（4）缩放（位似）；（5）迭代；（6）割补． 例2 （1）用画平行线、画垂线、画弧等方法画出图13中的各个图案．（2）画出图14中的图案．
例4 （1）画等边△ABC，并仿照图16（1）画出一些线条组成一个鸽子的轮廓，其中，曲线AC由曲线AB旋转60?得到；（2）把图（1）中的图形绕BC的中点D旋转180?得到图（2）；（3）以点B为旋转中心，把图（2）连续旋转120?两次得图（3）；（4）把图（3）或填充阴影后的图（4）适当平移即可得到一幅“飞鸽”的镶嵌图案（图略）．
例4是从正三角形开始构图的，图17则直接从含有60?角的菱形开始，经过两次120?的旋转得到了一个正六边形，显然，三个菱形内的图案是全等的，但我们随后在六边形内涂上了三种不同的颜色，经平移后拼成了埃舍尔的“壁虎”图案．
4.2 关于颜色 “色彩”是图案的有机组成部分，而数学是不研究颜色的，这就意味着，数学教学中只关注图案的某些方面，比如其几何结构．其实，数学并不拒绝颜色，至少，和使用“阴影部分”相比，使用颜色有更强更直观的标识能力．图17中使用了三种颜色，关于这个图案，鲁教版的课本在例题中这样分析：“图案是三个‘基本图案’组成的，它们分别是三种不同颜色的‘壁虎’（形状、大小完全相同）．”既然形状大小完全相同，而数学又不研究颜色，为何把“基本图案”看成是三个？可否这样分析：如果不考虑颜色，可把某只“壁虎”作为“基本图案”．事实上，如果不考虑颜色，图17中的前三个图案也都可作为“基本图案”（类似例子可参考《直观几何》一书 [12]）．顺便说一句，这种素材作为例题讲解，教师是很难讲清楚的．
5 图案设计的教学 5.1 作为教学素材的图案 作为数学教学素材的图案应具有：（1）几何性：突出几何特点而非装饰特点，强调几何结构而非色彩因素；（2）简约性：在满足教学要求的前提下尽量选取构图简单的图案，在图案的构成上，尽量选取以线段和圆弧为主的图案，最好能用尺规作图；（3）美观性． 另外在图案的选择上还应注意渐进性，亦即同一个图案可以在不同教学内容中多次出现，以适应学生对知识掌握螺旋式上升的特点． 5.2 图案设计的教学，大致要经过如下阶段：（1）观摩与辨析；（2）临摹（如例2）；（3）按给出的步骤绘图（如例4）；（4）补齐图案；（5）按要求创作（如用三种正多边形设计镶嵌图案等）；（6）自由创意． 各个阶段以图案设计要求的难度而不是以年级分段．在各个阶段中，应更多地关注图案的设计过程而非设计结果．笔者认为，数学教学中的图案设计本质上是一种数学知识的练习和绘图技能的训练．作为一种训练手段，在图案设计的过程中，使学生对轴对称、平移、旋转的性质和作图达到“灵活运用”，并产生良好的心理体验． 例5 （1）（七年级）用画平行线的方法临摹图10中的窗格图案；（2）（九年级）试在方格纸中把图18中的图形放大并保持其形状不变．
图18 图19 例6 （八年级）图19是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形． 按要求补齐后的图形是著名的“太极图”，此例其实是在讲解太极图的画法． 例7 （2007，绍兴中考）如图20，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，要求涂黑部分的面积是原正方形面积的一半且涂黑部分成轴对称图形．请设计四种涂法，并使每种涂法得到的图案互不全等．
图20 图21 5.3 教具或技术的使用 （1）使用网格 使用网格或点阵可以帮助我们分析理解图案，并使绘制的图案更加准确规范，还可以加快图案绘制的速度．网格或点阵的形状以正方形或正三角形最常用，如图21． （2）使用透明纸或模板 在研究分析复杂图案的构成时，可以使用透明纸．比如，在研究旋转作图时，用透明或半透明纸覆盖图形并画出这个图形，用一枚图钉在旋转中心穿过，将透明纸绕图钉旋转，从而进行观察和分析．在胶片纸或卡纸上绘制一些“基本图案”，然后镂空，制成模板，可快速绘制平移、旋转或对称后的图案．
图22 （3）使用信息技术 在图案教学中，使用信息技术的好处主要有：①提高绘图效率，节省教学时间．②完成手工绘图难以做到或根本做不到的设计任务．比如，图22中的三个图形都可用迭代绘图．如果用几何画板绘制其中的“海螺图案”，只需以线段AB为直角边作直角△ABC，使∠BAC=30?，顺序选择A、B两点，使用变换菜单中的“迭代…”命令，创建从A、B到A、C的迭代就完成了．如果用手工绘制该图，则会比较麻烦，而象图8中的分形图，用手工则更难完成．③动态展示图案的生成过程，进一步，如图23，图中除旋转中心外每个图的构图方式都是一样的，拖动旋转中心，就可动态展现从一个图案变换为其他图案的过程．④使用技术还可以分析一些复杂的图案．比如，把图17中的“壁虎”图案放置到正三角形的网格中，就很容易找到其“基本图案”和相邻“壁虎”构图时的旋转中心，并分析其形成过程．
图23 5.4 图案设计的教学评价 应该指出，在现实教学中，老师们对图案设计尚普遍重视不够，有的老师甚至干脆把图案设计的教学内容改成了课外阅读，这除了对图案本身研究不够、对图案的教学价值认识不到位、图案设计教学的时间成本较高以及重结论轻过程等原因外，教学评价也是一个重要原因．如现行中考试题中，与图案相关的题目主要集中在识别对称图形等较低层次，虽然也有一些有益的尝试（如例7），但总体来说题型还是比较单一．我们期待着能有更客观、更灵活多样的评价方式，使图案设计真正发挥其应有的教学价值．
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