初中阶段“统计与概率”课程内容的几点建议与调查

凌晓牧，章 飞

（江苏第二师范学院 课程与教学研究所，江苏 南京 210013）

摘要：在课程内容审视与一线调研的基础上，建议义务教育数学课程标准中增补下列内容：通过案例感受数据的类型，形成对数据的全面认识；通过案例感受简单随机抽样、分层抽样和系统抽样等抽样方法，切实提高学生数据获取能力；通过案例从直观图形中获取数据，形成数据直觉；结合案例感受期望．

关键词：初中数学；统计与概率；数据分布；数据分析；数学期望

2001年颁布的《义务教育数学课程标准（实验稿）》，在课程内容方面增加了“统计与概率”这一学习领域，这无疑是中国数学课程内容的一个重大变革．显然，这一变革顺应了国际课程发展的趋势，也贴合时代发展的潮流，毕竟人们生活在一个数据的时代．《义务教育数学课程标准（2011版）》，对此内容稍作微调．《课程标准（实验稿）》和《课程标准（2011版）》，都强调让学生经历数据收集、处理的全过程，形成数据分析观念，注重概率统计知识的现实应用．但在教科书编写和教学实施中发现，基于课程标准中现有的学习内容，学生还难能切实从事数据收集、表示与处理的全过程，为此，对课程内容进行了反思，并进行了一线教师的调研．

1 课程内容再审视

1.1 关于数据及其类型

聊到数据，很多人误认为数据就是数．实际上，数据就是信息，现实生活中统计数据类型众多．有的数据没有好差之别，它们是定性的，如学生信息中的男、女这两个关于性别的数据（数据类型如图1所示[1]）；而有些数据可以排出一定的顺序，它们是定序的，如一些调查中调查的满意程度；还有些数据是定量的，它们可以直接比较大小，如学生身高、某次考试的成绩等．通过一些约定，定序的数据和定量的数据可以相互转换．例如，在关于食堂满意度的调查中，可以约定依次用4、3、2、1来代替满意、比较满意、一般、不满意，这时，定序的数据就转化成定量的数据了，可以计算它们的平均数（只有定量的数据才有平均数）．反过来，将定量的数据适当分段，可以转化为定序的数据．例如，如约定90分及以上为优、90分以下80分及以上为良、80分以下70分及以上为中、70分以下60分及以上为及格、60分以下为不及格，这时原先为定量数据的成绩就转换成定序的数据了．另外，定量的数据还可分为可比的数据和不可比的数据，如摄氏温度，就不是可比的数据，20℃并不表示10℃的两倍．

但课程标准中没有提及数据类型，初中数学教科书中呈现的也都是可以计算的数值型数据，这无意中误导了学生，形成对数据的片面认识．其实这样的认识，在教师中间同样存在．

图1 数据的类型

在针对优秀教师关于教科书理解的一次调查中，设计了下面一道题：

为了了解学生对食堂的满意程度，某人随机调查了100名学生，并将结果整理如下：

满意程度不满意一般比较满意满意 人数8245018

那么，对学校食堂满意程度的众数是（ ）．

A. 50 B. 50% C. 比较满意 D. 没有众数

在收集到的有效答卷中，选择A、B、C、D的比例依次是17.77%、3.72%、72.31%、6.2%．应该说，该次调查的教师群体比较优秀，而且教材培训中已经多次介绍过数据的概念，但仍有高达27.69%的老师选择了错误答案．通过进一步访谈，发现教师多认为，众数首先得是一个数．这再次说明了，教师对数据认识的不全面．

在阅读文学作品时，学生要克服语言、文化等方面的重重困难，同时还要发挥想象力把语言词汇想象成场景，但电影是视觉化的，具有形象的直接性，通过观看影视作品，能让学生在短时间掌握文学作品中的主要人物和基本内容，感受作品魅力，如《简·爱》中，既有男女主人公对爱情坚定不渝的追求，也有对当时社会生活和时代背景的描述，如果仅通过课堂上刻板的形式讲授，很难将文学作品生动形象展现给学生。设立影视作品欣赏群，通过观看影视作品，能提高学生的英语听说能力，让学生感受到真善美，提高自身的人文素养，激起学生学习英美文学的热情，而在群里交流对作品的看法，则有助于学生培养的思辨能力。

评价指标：将随访3个月失败率、1年失败率以及5年失败率加以计算，并将其实时进行记录，将其进行对比分析，失败率越低说明种植体骨结合的效果越明显，反之，越不明显。

因此，建议课程标准中明确要求：通过案例，让学生感受不同类型的数据．具体教学中，可以提供某个班级学生的信息表（包括性别、年龄、身高、体重、体育测试以及有关文化测试成绩等），其中既有男、女这样表示类别的定性数据，也有优、良这样表示等级的定序数据，更有身高、体重等数值型的定量数据，要求学生阅读学生信息表，引导学生思考：表格中有哪些数据，这些数据可以分为哪些不同的类型，各类数据各有什么特点，实际生活中是否可以进行不同类型数据的转化，结合这个例子给出具体转化的办法．

1.2 关于数据收集的方法

关于数据收集，《课程标准（2011版）》明确要求学生“经历数据收集的过程”“体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样”[2]．《普通高中数学课程标准（实验）》则要求：“在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样．”[3]这样的定位，默认了简单随机抽样相对简单，而分层抽样和系统抽样更为复杂．当然，从逻辑上而言，似乎有些道理，系统抽样需要对总体中各个个体进行编号，分层抽样需要进行样本的分层．但从操作层面看，未必如此．当总体中个体不定或者个体数量无限时，无法采用简单随机抽样，个体数量有限但数量较大时，也很难进行简单随机抽样．而实际生活中，有时分层抽样、系统抽样倒十分方便，如从全校10个班级中抽取50名学生开展某项调查，班级、年级就是自然的分层，可以采用分层抽样，具体到某个班级从50名学生中抽取5名学生，采用系统抽样十分方便，可以从0~9十个数字中随机抽取一个数字（如3），则学号尾数是这个数字的学生即被抽中．因此，《课程标准（2011版）》中仅让学生通过实例感受简单随机抽样，反而束缚了学生的手脚，使得很多调查活动无法展开，经历数据收集的过程，流于形式，成为一句空话．

建议课程标准中能增加“通过案例，感受简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等抽样方法”，从而，确保实际调查研究活动中，学生能根据情况选择适合的抽样方法，开展调查活动，切实形成数据收集的能力．具体教学中，可以呈现一个具体的情境，如，为了解全校学生对学校某项管理规定的认可程度，设计了调查问卷，要求学生给出具体的调查方式，并说明各自调查方式的特点，在学生交流的基础上，点出普查、简单随机抽样、系统抽样和分层抽样．教学过程中，学生并不一定都能自主提出这么多种类的方案，可以引导学生思考已有方案的优点与不足，进而引出新的方式．如已经出现了简单随机抽样的情况下，引导学生思考，这样的抽样是将全校学生作为一个整体，但学校有7、8、9三个年级几十个班级，抽样时最好能兼顾到年级、班级，能否将名额分解到班级呢？这就引出了分层抽样；继续引导学生思考，如果每个班级恰抽取5个学生，对这些含有50名学生的班级都要分别随机产生5个学号吗？能否更加快速地得到5个学号？从而引出系统抽样．

1.3 关于图表

《课程标准（2011版）》中对统计图表的要求是“会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据”“能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中的信息”[2]兼之小学阶段的“认识条形统计图、扇形统计图、折线统计图，能用条形统计图、折线统计图直观而有效地表示数据”[2]，义务教育阶段对统计图的总体要求是“能读懂、会制作”，统计图包括条形统计图、折线统计图、扇形统计图、频数直方图等．但，现实生活中的统计图表，往往更为灵活多样，常常会基于这些统计图表做出一些变化，如两组数据直接对比的“复式”的条形统计图、扇形统计图的变异形式——“环形”的统计图，还有根据实际背景问题设计的、更加直观形象的、甚至“变异”了的统计图，如图2．现有教科书，基本上严格按照课程标准的要求，仅仅介绍了相对规范的条形图、扇形图、折线图、直方图等，而很少介绍更为形式多样的统计图，这无疑与现实需要有所脱节．

从开始侍酒师考试，到摘取侍酒师大师桂冠，这一路，他走了十年，谈起当初父母并不同意他转换专业去学葡萄酒，他觉得父母除了不了解这个行业以外，更多是不希望他轻易放弃，但他却轻描淡写地感慨了一句：“我做的最正确的一个决定，就是去学葡萄酒。”

建议，课程标准中增补适当的语言，鼓励教科书能与时俱进地介绍一些更为多样更为形象的统计图，以引导教师教学．考虑到课程标准是一个全国性的标准文件，不可能对具体素材都给予详细的规定，此外，这些“变异”了的统计图，本质上还是常见的统计图，因此，课程标准仍只关注这些图表的最基本形式及其本质的揭示，但可以引导教科书适度创新．为此，建议课程标准中教科书编写建议中能指出：教科书选材时，能够结合现实需要，呈现一些变异的、更加直观形象的统计图，让学生能读懂现实生活中更为丰富的统计图，同时也能发现这些统计图的本质仍是常见的统计图，一方面更好地认识常见统计图的本质，另一方面，也可以基于实际的需要进行统计图的创新设计．各种变化的统计图如图2所示．

同时采用欧洲中心ECMWF Era-Interim水平分辨率为0.125°×0.125°,时间分辨率为6 h的再分析资料进行系统中尺度特征分析,并采用中国气象局水平分辨率为0.1°×0.1°,时间分辨率为1 h的CMORPH降水资料与中国自动站降水量的融合资料,以及国家卫星中心的FY-2D卫星TBB产品。

图2 各种变化的统计图

1.4 关于数据分布与数据直觉

“数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养．”[4]分析数据，固然可以基于计算，如，计算平均数、中位数、众数等感受数据的平均水平，计算方差、标准差等感受数据的波动水平．但，这些“数”的结果，隐去了“形”的直觉，学生反而未必能从这些“数”的信息中感受到数据分布的整体状况．另外，上述“数”的结果，如“数”的平均数、标准差等，并不能反映分布的全貌，如分布是否具有峰值、单峰还是多峰的、峰值居中还是有偏的、是否具有极端值等，而分布的图形可以最为直观地展现数据分布特征．此外，数字时代，媒体中呈现的有关数据信息，多是基于直观图表的，需要人们从直观图表中感受数据分布特征，因而，基于图表的数据分析成为一个重要的能力，这里的数据分析，固然需要能读取出完整的数据信息并进行精准的计算，还需要根据图表对数据特征做出快速的估算，形成一定的数据直觉．

正是基于此，建议，教学中能以图表的形式呈现数据的分布，并引导学生从图表中初步感受分布的特征，能对数据的平均水平、波动水平基于直觉进行估算或者能对两组数据的平均水平、波动水平基于直觉进行比较．当然，也能从图表中获取数据，通过计算获得有关数据平均水平、波动水平的精确度量．这样，既可以整体感知数据的分布，也很好地发展了学生的数据直觉．这方面，北师大版初中数学教科书做了一定的尝试[5]，单独设计了一节内容，以图表的形式呈现数据，要求学生直接估计这组数据的平均数等统计量，并说明是怎么估计的，然后再通过严格的计算校验自己的估计．应该说，这样的做法得到了一线师生的欢迎．为此，建议课程标准增补：“能从图表中感受数据分布的特点，能估算或计算数据的平均数、标准差等，发展学生的数据直觉．”

较早通过图形感受数据分布，符合国际统计教育的趋势．王建波在中美澳3国初中数学教材统计内容比较研究中指出：“美国教材和澳大利亚教材出现较多的盒式图、异常值、四分位数、变异性等概念，中国教材中均未见涉及……美国Connected教材中的分布，作为重要的内容反复出现，而在中国两个版本的教材中均没有给予必要的重视．”[6]李俊认为：“虽然关于分布的教学，在中国现行课程标准中主要安排在高中，但是在小学和初中学习条形统计图和折线统计图，就可以引导学生观察数据分布……分布是统计知识网络中的重要节点，分布概念建立在中心、变异（离散程度）、形状、密度、偏度、频率、概率、比例关系和解释关系这9个概念之上；提早引导学生观察数据分布有助于学生逐步养成整体上研读数据的习惯，实现从局部到全局的认知飞跃；观察数据分布有利于概率和统计学习的融合．”[7]

1.5 关于数学期望

关于概率，《课程标准（2011版）》仅仅要求“列出简单随机事件所有可能的结果，了解事件的概率”“知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率”[2]．但，一般而言，仅仅知道概率，并不足以做出行为判断．人们做出判断，除了需要考虑各种状况出现的概率，还需要结合各种状况本身的价值，实际上，这就是数学期望的概念．关于数学期望，美国等国家的初中数学教科书中都在正文中通过数学活动感受[8]．建议将数学期望引进初中数学课程体系，当然，并不是严格给出数学期望的概念，而是基于一些简单的有关离散型随机变量的数学模型，通过实例感受数学期望．此外，具体教学时，注重实验估算和理论计算相结合，并加强其与平均数的联系，从而促进学生的理解[9]．北师大版初中数学教科书在这方面也做出了尝试[10]，设计了下面的活动：（如图3所示）

质子能级反转对Ar-K同位旋相似态库伦移动能的影 响 …………………………………………… 王再军（1）

图3 数学期望的教科书设计

具体教学时，可以先要求学生组成合作小组，用实验的方法分别估计出获得100元、50元、20元奖券以及未能获得奖券的概率，并据此估计每转动一次转盘“平均收益”；然后思考将转盘中相同颜色的部分集中起来形成图4的转盘，结果是否发生变化，并将其与统计图表3进行对比，从而建立数学期望与平均数的联系．

2 一线观点再调研

上述建议是基于实施层面的观察、理性思考以及文献研究得到的．现阶段，一线教师直接影响着课程与教学的实施状况，因此，关于课程内容调整的建议，还需要得到一线教师的认同．为此，在2018年9—10月间，借助北师大版初中教科书使用情况调查的契机，在问卷中除基本信息外，根据上述课程内容的讨论，设计了5道问题（问题序号对应上述讨论问题），希望了解一线老师的观点．

2.1 调查设计

为了保证调查的有效性，问卷初稿设计时，选择了部分教科书编者和专家型教师进行了专家咨询；2018年9月，借助教师研修活动的机会进行了初测，现场发放了60份问卷，收回有效问卷48份，根据现场答卷的情况，对部分试题进行了微调．2018年10月，利用问卷星平台发布调查问卷，借助一些骨干教师研修群的传播，进行了为期半个月的匿名调查，参与调查人数为485人．

精英主义可以说是如影随形地贯穿于苏联解体后俄罗斯的政治发展历程之中。俄罗斯的政治发展伴随着诸多政治转型和社会运动，这是不争的事实，但虽貌似立足于群众抗争，其本质根基却一直是精英集团的内部妥协。而在当代世界，政治体制如仅仅建立于精英妥协的基础之上将是不稳定、不完备的。脱离选民的政党与泛滥的精英主义正是俄罗斯民主政治发展进程受到严重阻碍而滞后的根源。

利用SPSS软件，对上述533份问卷中的第1题至5题进行可靠性分析，其内部一致性系数为0.633．当项数小于6，内部一致性系数大于0.6，表明量表是有效的．

同时对现场测试与网络测试中这5道题的调查结果进行差异检验，结果如表1．由表1可知，其中第1、3、5三道题的P值超过了0.5，第2道题的P值也达到0.41，均大于0.05，说明现场测试与网络测试在这4题中无显著差异．第4题（关于数据分布与数据直觉），P值小于0.05，说明现场测试与网络测试的结果存在差异，该题只有两个选项，也许是一个影响因素，但从后文中具体数据看，两个群体的观点总体还是相近的．考虑到网络测试样本容量较大，故后继取用网络测试的调查结果．

表1 现场测试与网络测试在1~5题上答题差异的t检验

组别M±SDtP 第1题现场测试1.63±0.73 0.290.77 网络测试1.59±0.70 第2题现场测试1.67±0.63 0.820.41 网络测试1.58±0.69 第3题现场测试1.50±0.74–0.650.51 网络测试1.57±0.74 第4题现场测试1.27±0.45 2.28 0.03* 网络测试1.11±0.32 第5题现场测试2.04±1.09 0.170.86 网络测试2.01±1.03

注：*P<0.05，**P<0.01，***P<0.001．

2.2 调查结果

（1）调查对象分布．

485个网络调查对象，涵盖了重庆、贵州、山西、江西、山东、辽宁、广东等16省市，具有很好的代表性．有关身份信息如表2所示．

表2 调查对象身份信息

身份学历职称 教师教研员中专大专本科研究生正高副高中级初级 4711423142329411427496

（2）调查结果．

对于数据类型、数据收集方法、“变异”的统计图在教科书中的处理，分别设计了1~3这3道单选题，它们的A、B、C、D四个选择支依次是“教科书正文中，通过具体实例让学生感受”“教科书设计‘读一读’等拓展性栏目介绍，让学有余力的学生自主学习”“教科书中不予介绍，在教师用书等教学辅助资源中，适当介绍，让教师根据班级学生的实际状况，确定是否进行相关内容的教学”“课程标准中没有提出明确的要求，建议教科书和教师用书都不必介绍”．这3题的调查数据如表3．

表面上看，财务会计与管理会计没有任何联系，是彼此孤立的，其实不然，要想达到现代企业各项资源合理的优化配置，就需要财务会计与管理会计做到有机融合、互相渗透，彼此发挥着自己的优势，这样企业才能有新的发展，才能用发展的眼光去面对未来。企业既增强了在激烈市场中的竞争力，又为企业健康、持续发展奠定了坚实的基础。

表3 第1~3题调查数据

ABCD 第1题（数据类型）51.95%37.73%9.28%1.03% 第2题（数据收集方法）52.99%36.49%9.90%0.62% 第3题（变异的统计图）55.46%34.02%8.25%2.27%

不难看出，这3道题目的答卷中，占比最高的选项是A，都超过50%，即超过一半的被调查者赞同在教科书正文中通过实例让学生学习这些知识．

对于数据分布与数据直觉，设计了第4题，介绍了某教材对于此内容的处理：以图表形式呈现数据，要求学生直接估计这组数据的平均数等统计量，并说明是怎么估计的，然后再通过严格的计算校验自己的估算，现场测试中，72.92%的被调查者赞同该教材处理方式，网络调研中，赞同的比例高达88.04%．

②24年中溃坝数量约占小型水库数量的0.37%，平均年溃坝率为1.54E-4。溃坝数量与本省小型水库总数比值最高的省份依次为宁夏、新疆、内蒙古、黑龙江、吉林、海南、青海、云南，均在1%以上，平均年溃坝率在4.17E-4以上。

而对于数学期望，设计了第5题，调查数据如表4．

表4 关于数学期望的教科书处理方式的调查数据

选项比例 A. 教科书正文中，通过具体实例，介绍期望．40.7% B. 教科书中，设计“综合与实践”活动，介绍期望．28.31% C. 教科书的“读一读”等拓展性栏目，介绍期望，供学有余力的学生自主学习．21.07% D. 教科书中不予介绍，在教师用书等教学辅助资源中，适当介绍期望，让教师根据班级学生的实际状况，确定是否进行相关内容教学．8.88% E. 课程标准中没有提出明确的要求，建议教科书和教师用书都不必介绍．1.03%

上述数据表明，一线优秀教师认同这些内容进入教科书．

3 结论

基于上述内容审视与一线调研，建议课程标准中增补这些内容，明确要求：通过案例感受数据的类型，形成对数据的全面认识；通过案例感受简单随机抽样、分层抽样和系统抽样等抽样方法，切实提高学生数据获取能力；通过案例从直观图形中获取数据，形成数据直觉；结合案例感受期望．另外，在课程标准的教科书编写建议中，明确要求教科书编写中能结合现实生活“与时俱进”地介绍更丰富直观的统计图表．

提到增补课程内容，可能有人会提出反对意见，“这不又增加了学生负担了嘛”实际上，增补上述内容，并不会给学生增加多少负担．首先，增补这些内容，大致只需增加4个课时的学习时间，对于整个初中学习而言，是微不足道的；其次，增补的内容更为贴近学生的生活实际，总体难度不大，而且学习过程也更为关注学生的参与性学习，因此，增补这样的内容会得到学生的喜爱的；再次，增补概率统计的内容，是国际通识．王建波对比中美澳3国初中数学中统计内容，发现，中国统计内容的广度最小，深度也较低[6]．实际上，课程改革不能仅仅有增无减，应综合评估学科发展、时代变迁、学生认知等各个方面的因素，在有关内容之间寻求一个平衡．既要顺应时代发展增补一些更贴合学生生活实际、更顺应时代需求的内容，同时，也应重新审视学科内容的现时价值，做出适当的删减．实际上，中国初中数学的学习内容，还有一定的删减空间，如马迎秋、曹一鸣比较了多个国家的初中几何内容发现，中国内陆初中几何课程在新课改之后删减了一定的内容，但是与其他国家和地区的教科书相比却仍是最注重呈现几何内容容量的[11]．相信，这可以给课程内容调整一些启示．

目前武汉市常规公交高峰期满载率过高、部分线路区间方向不均衡系数大，公交客流水平呈逐年下降趋势，2015年客运量约为14.31亿人次，较2014年减少0.52亿人次，2016年由于换乘优惠政策实施，换乘系数有了一定程度的提升，由1.07提升至1.30，客流量较之前有所回升，客流量增加为404万人次，但仍比2014年少0.09亿人次[2-3].

［参考文献］

[1] 章飞，凌晓牧．初中数学研究与教学指引[M]．北京：北京师范大学出版社，2012：174．

[2] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012：40，25．

[3] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出版社，2003：25．

[4] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：7．

[5] 马复．义务教育课程标准实验教科书·数学8（上）[M]．北京：北京师范大学出版社，2014：145-148．

[6] 王建波．中美澳三国初中数学教材统计内容的比较研究[M]．上海：上海教育出版社，2016：72-73，77，93．

[7] 李俊．中小学概率统计教学研究[M]．上海：华东师范大学出版社，2018：129-131．

[8] LAPPAN，PLIHHIPS．What do you expect: Probability and expected value [M]．波士顿：培生出版集团（Pearson），2014：1-126．

[9] 章飞．义务教育阶段概率有关知识的内容定位与教材实施[J]．数学教育学报，2004，13（1）：48-51．

[10] 马复．义务教育课程标准实验教科书·数学9（下）[M]．北京：北京师范大学出版社，2014：114-116．

[11] 马迎秋，曹一鸣．初中数学教科书几何内容分布的国际比较研究[J]．数学教育学报，2018，27（4）：12-17．

Suggestions and Investigations on the Content of the “Statistics and Probability” Course in the Junior High School

LING Xiao-mu, ZHANG Fei

(Jiangsu Second Normal University, Jiangsu Nanjing 210013, China)

Abstract:Based on the course content review and the first-line survey, it was suggested that the compulsory education mathematics curriculum standard should be supplemented by the following: To feel the type of data by the cases, and to form a comprehensive understanding of the data; To feel the sampling method such as simple random sampling, stratified sampling and systematic sampling by the cases, and to improve the students’ data acquisition ability; To obtain data from the intuitive graphics by the cases, and to form the data intuition; To feel the expectation by combining the cases.

Key words: junior high school mathematics; statistics and probability; data distribution; data analysis; mathematical expectation

中图分类号：G632

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2019）04–0077–04

引用格式：凌晓牧，章飞．初中阶段“统计与概率”课程内容的几点建议与调查[J]．数学教育学报，2019，28（4）：77-80．

收稿日期：2019–03–07

作者简介：凌晓牧（1978—），女，江苏南京人，讲师，主要从事数学课程与教学论研究．章飞为本文通讯作者．

[责任编校：周学智、陈汉君]