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在过程中感受 在反思中提炼 ----《找次品》教学中数学思想的渗透 柯红梅 “找次品问题”是数学中一类经典的智力问题，对于这一问题，一般性的解决方法是把这n个零件尽可能平均分成3份，该问题过程虽然叙述起来比较繁琐，但如果把结论和方法直接告诉学生，并把零件总数变换不同的数据让学生举一反三，强化训练，掌握起来也非难事。如果是这样的话，仅仅是让学生被动地接受一种被前人证明是最便捷的解法，学生学会解答这类题目，只是掌握了的“死” 的数学知识；而学生的数学素养没有得到很好地提高。 其实，解决任何一个数学问题的过程应该是一次极富挑战、极具魅力的数学探究之旅。在这一过程中，学生的数学知识、数学技能、数学思想、数学活动···都在潜移默化地改变。“找次品”这一教学内容就为落实“基本的数学知识、基本的数学技能、基本的数学思想、基本的数学活动经验”这一多维目标提供了很好的载体。在教学中，我让学生通过观察、猜测、试验等方式感受解决问题策略的多样性，学生在此基础上，通过归纳、推理等方法的体会优化了策略，这样教学, 激发学生学习数学的兴趣，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，培养了学生的化归意识，全方位地提高学生的数学素养。下面就以这节课中的几个片段为例，在教学中 “化归思想”的渗透。 【片段描述】 课前交流 师：同学们，想玩游戏吗？ 生：想！ 师：我们一起来玩猜数的游戏吧。请看：大屏幕上有1、2、3、4、5、6、7、这七个数。现在，老师心中想了一个数，让你来猜。你猜一次，我会告诉你：你猜的数比我想的数是大还是小，然后让你接着猜。比一比，看谁猜的次数最少。 生1：我猜:4。 师：大了。 生1：2。 师：小了。 生（众）:那就是3。 师：第一次为什么猜4，而不猜2呢？ 生2：因为4是正中间的数，不管是大还是小，都能断定要猜的数在1-3或5-7的三个数里。如果猜2，万一比2大，就要在3-7这5个数中，不如三个数好猜。 师：同学们都很聪明！玩游戏时还在动脑筋。刚才大家在猜数游戏时，就用到了一种策略——“缩小范围”。（板书：缩小范围） （通过简单的猜数游戏，学生认识到找中间数缩小范围猜数可以提高效率 ，让学生在无意识的猜数游戏中感悟快速猜数的方法与策略。初步感受优化的数学思想。） 一、情境导入，提出问题 师：有一种产品叫次品，大家知道吗？ 生：知道！ 师：谁来说一说，什么叫次品？ 生1：次品就是假冒产品。 生2：次品就是赝品。 师：在商品生产过程中，也会生产出不合格的产品，不合格的产品就是“次品”。如果不找出来，也会给我们带来不便。因此，在许多企业和工厂里都有专门的质检员，质检员只有练出一双“火眼金睛”，才能把次品从生产线上找出来。今天我们就来做这样的质检员，把一个个次品统统找出来。（板书课题：找次品） 师：在3个零件中有一个次品（稍轻），你能设法把它找出来吗？ 生1：用手掂一掂。 生2：用秤称。 生3：用天平称。 师：天平称？大家见过天平吗？ 师（用身体演示天平状）：天平有两个托盘，如果两边托盘的物体重量相等，天平就会（平衡），如果两边重量不相等，轻的一端就会（上扬）。 师：你能用天平从3个零件里找出这个次品吗？ 生1：天平两端各放一个零件，如果平衡，剩下的就是次品。如果不平衡，上扬的那个就是次品。 师：用这位同学的方法，称了几次？ 生2：2次。 生3：不对！只用了1次。只是通过这一次，说明了有两种情况。 （生2听后，也点了点头。） 师：我们把他的过程作一下记录。（边讲解边板书：1 1 1） 师：3个零件太少了吧。不用老师教，你们都会了！我们来点挑战性的。想挑战吗？ 生：想！ 师：请接题。（课件出示：在2187个零件中有一个次品（稍轻）用天平称，至少称几次一定能保证找到？ 生：哇！这么多！（学生都议论纷纷） 师：到底要多少次呢？这么大的收据我们也不好想，不过数学家华罗庚告诉我们学习数学的妙招——“以退为进”。(课件显示：以退为进就是：遇到复杂的问题，先从简单问题入手，找出规律，再来运用规律解决复杂问题。) 师：那我们就从小的数据开始，看看小数量能否给我们带来大启示。 （在这一环节中让学生重温天平的结构和用法，收集平衡与不平衡所反映的信息，为后续研究储备能量。通过在3个中找次品的演练，引起学生思维方法的先入为主趋势，同时也顺应了学生的学习从模仿开始的习惯。提出从2187中找次品，激起学生优化需求，学生也从中认识到“以退为进”的必要性。） 二、展开问题、感受策略的多样化 组织学生合作探究：从5个、9个零件中找较轻次品的不同方案。（略）
三、对比分析 突出优化
对照板书：
师：看来解决问题的方法有多种。比较一下，哪种方法最好？好在哪里？ 生1：第三种方法最好。只用了两次。其他的都要3次。 生2：第三种方法最好。称一次后，下次只需从3个零件里找，而第一种方法却要从4个零件里找，第二种方法从5个里去找。 生3：第三种方法好在:称一次后，确定的范围比其他两种方法都要小。 （通过对比，让学生在体会解决问题策略多样性的同时感受优化的思想——“范围越小”找次品就越容易。） 四 整理分析，确定最优策略 师：下面有五堆零件，各有一个次品（轻），你认为从哪堆里找次品用的次数最少？从哪堆里找次品用的次数最多？（课件显示：五堆零件分别为：3个、9个、54个、81个、100个） 生：从3个里面找用的次数最少，从100个里找用的次数最多。 师：大家的感觉都很好。次品所在的范围越小，找的次数也可能会越少。接下来，我们从100个里面去找，看最少要几次。（学生开始行动…） 师：当遇到一个问题时，我们迈出第一步至关重要。结合课前游戏，借鉴“缩小范围”的策略。想一想：第一步怎么办？ 生1：我把100个零件平均分成2份，这样称一次就把范围缩小到50。 生2：对，就像课前猜数游戏一样，找中间数去猜。 师：一次就把范围从100缩小到50，很好。看能不能把范围缩得更小些？比如缩小到49。 生1：我可以把范围缩小到49。从天平的两端各拿出一个，如果平衡，次品范围就在拿出的2个里；如果不平衡，次品就在上扬的49个里。 生2：如果从天平的两端各拿出2个，那就可以把范围缩小到48。 生3：:从天平的两端各拿出10个，那就可以把范围缩小到40了。 学生激烈地讨论开了…… 生4：从天平的两端拿出的越多，范围就缩得越小。 生5：不对！当拿出的数量大于天平两端的个数时，范围就会变大。 生6：我同意xx（生5）的意见！如果从天平的两端各拿出30个，天平平衡，那么下次的范围就是在60个里面找。 生5：拿出的数量要尽量和天平两端的个数相等，这样范围才是最小的。 师：大家都非常会分析！要想把范围缩得最小，就得使天平外面的个数与天平两端的个数尽量相等。那就是把零件的总数… 生1：平均分成三份。天平两端各一份，天平外面一份。 生2：可是100不是3的倍数。100除以3余1，怎么办？ 生3：多余的一个就放到天平的外面。 师：那就是把零件的总数平均分成3份，天平两端各放一份，天平外面也放一份。如果有余数，余1…… 生：这1个就放在外面一份。 师：如果余2…… 生：这2个就在天平两端各放一个。 师：现在你至少需要多少次，可以从100个零件里把次品找出来？ 2187呢？ （学生都迫不及待地拿起笔算了起来……） （受课前游戏的启发，学生都觉得分2份是最优的方法。老师“看能不能把范围缩得更小些？比如缩小到49。”的提醒，引发学生认知上的矛盾、冲突，激起学生探求知识经验和事理的欲望，继而调用前面称天平时的经验，提出解决问题的猜想和策略，并通过分析、讨论、思索等多种活动进行研究检验。在研究性数学学习中，逐步寻找到最优策略。最优策略是学生自身积极地、主动地去探求获取的。） 五 总结反思，提炼思想 师：哇！2187个零件中的一个次品，我们都能想办法找到，真不简单！ 生：我们找到了规律。 师：怎样找到规律的？ 生：“以退为进”。 （通过反思总结，学生深刻地体会到“以退为进”的数学思想的伟大，这以远远超过了知识本身。）
【反思】 这一教学活动真正体现了：“通过数学学习，领悟数学思想和方法，提升学生的思维品质”的全新理念。 1、巧：游戏互动做铺垫—--巧妙渗透优化思想。 在学生的猜数过程中，老师总让学生处于“最不利”的处境，除非他选择了最佳策略，否则猜的次数总是最多。老师“心中想的数”不是固定的，是根据学生的“猜”在不断的变化，也就是说，一开始老师心中并没有想好一个具体的数。让“最不利”发挥到极致时，学生就会最大限度地理解策略的重要性。通过找中间数，学生认识到运用缩小范围猜数可以提高效率 ，让学生在无意识的猜数游戏中感悟快速猜数的方法与策略。 2、趣：交流策略多样化---合理引出优化方法。 有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。在这一环节中，让学生动手动脑，亲身经历分、称、想的全过程，从不同的方法中体验解决问题策略的多样性。让学生用肢体模拟天平来进行实践探究，学生非常感兴趣。放手让学生探究3个、5个测品中找一个次品，体现策略多样化，引出优化的方法，分三原则。图示法较为抽象，对学生来说不容易理解，教学时根据学生的回答同步板书，即外显了学生的思维痕迹，又便于学生理解每项数据的含义，为后续的学习打下一定的基础。 3、实：打破常规设悬念---适时激起优化需求。 “如果说数学思想方法是可以传授的话，那教师肯定是把其中富有思考意义的东西机械化了，这样就失去了它应有的价值。”所以渗透“优化思想”一定要让学生经历了自主体验和反思顿悟的过程。本节课老师打破常规，让学生大胆猜测：如果有2187个测品中找一个次品，你认为至少称几次保证找到这个次品？要想解决这个问题，你觉得有什么办法？（把数据变小些，并举例研究。）激起学生优化需求，学生也从中认识到以退为进是一种很好的学习策略，为渗透化繁为简的数学思想走好了坚实的一步。 4、准：找准盲区巧点拨---自然形成化归思想。 学生挑战在100个中找次品时，老师及时点拨引导---------当遇到一个问题时，我们迈出第一步至关重要。结合课前游戏，借鉴“缩小范围”的策略。小组合作拟订“第一步怎么办？”的计划。当出现分2份时，老师又适时提问导引：看能不能把范围缩得更小些？比如缩小到49。让学生在逐步缩小范围的探讨中归纳出“将待测物品尽量等分成三份”的规律来。用准时点拨为学生扫清思维盲区，为优化策略的形成搭桥铺路。 本节课老师带领学生经历了从策略的多样化到最优化的全过程；而且在探究的过程中学生掌握了“缩小范围”的策略，锻炼了思维能力，领会了“以退为进，化繁为简”的化归数学思想。古希腊数学家毕达哥拉斯说过,在数学的天地里，重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么。 |
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