共点力平衡条件的应用

昵称3826483 2013-08-15

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【本讲教育信息】

一. 教学内容：

共点力平衡条件的应用

二、教学目标：

掌握求解共点力平衡条件的应用问题的一般方法和步骤，对应书4.2 共点力平衡条件的应用。

［教学过程］

1. 共点力平衡条件的应用

现实生活中，物体在力的作用下处于平衡状态的情况随处可见，站着的人在重力和地面支持力的作用下，处于静止平衡状态，这叫静态平衡；跳伞运动员在降落过程中，当其匀速降落时，他所受的重力与降落伞的拉力及空气阻力平衡，这是动态平衡。

有时，物体就整体而言并不处于平衡状态，但它可以在某一方向上处于平衡状态。如在海面上加速行驶的快艇，在水平方向做变速运动，可是它在竖直方向上只受重力和浮力这一对平衡力作用，因此它在竖直方向上处于平衡状态。

2. 依平衡条件列方程可对任一方向也可在某一方向

（1）在共点力作用下物体处于平衡状态，则物体所受合力为零，因此物体在任一方向上的合力都为零。

（2）如果物体只是在某一方向上处于平衡状态，则该方向上合力为零，因此可以在该方向上应用平衡条件列方程求解。

3. 求解共点力作用下物体平衡的方法

（1）解三角形法：这种方法主要用来解决三力平衡问题，是根据平衡条件并结合力的合成或分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，然后通过解这个三角形求解平衡问题，解三角形多数情况是解直角三角形，如果力的三角形并不是直角三角形，能转化为直角三角形的尽量转化为直角三角形，如利用菱形的对角线相互垂直的特点就得到了直角三角形，确实不能转化为直角三角形时，可利用力的三角形与空间几何三角形的相似等规律求解。

（2）正交分解法：正交分解法在处理四力或四力以上的平衡问题时非常方便，将物体所受各个力均在两互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列方程。此时平衡条件可表示为

说明：应用正交分解法解题的优点：

①将矢量运算转变为代数运算，使难度降低；

②将求合力的复杂的解三角形问题，转化为正交分解后的直角三角形问题，使运算简便易行；

③当所求问题有两个未知条件时，这种表达形式可列出两个方程，通过对方程组求解，使得求解更方便。

4. 解共点力平衡问题的一般步骤

（1）选取研究对象。

（2）对所选取的研究对象进行受力分析，并画出受力图。

（3）对研究对象所受的力进行处理。一般情况下需要建立合适的直角坐标系，对各力按坐标轴进行正交分解。

（4）建立平衡方程。若各力作用在同一直线上，可直接用的代数式列出方程；若几个力不在同一直线上，可用与联立列出方程组。

（5）对方程求解，必要时需对解进行讨论。

注意：建立直角坐标系时，一般尽量使更多的力落在坐标轴上，以减少分解力的个数，从而达到简化计算的目的。

5. 整体法与隔离法

整体法的含义：所谓整体法就是对物理问题的整个系统或整个过程进行分析、研究的方法。

整体法的思维特点：整体法是从局部到全局的思维过程；是系统论中的整体原理在物理学中的运用。

整体法的优点：通过整体法分析物理问题，可以弄清系统的整体受力情况和全过程的受力情况，从整体上揭示事物的本质和变化规律，从而避开了中间环节的繁琐推算，能够灵活地解决问题。

隔离法的含义：为了弄清系统（连结体）内某个物体的受力和运动情况用隔离法。

隔离法的基本步骤：（1）明确研究对象或过程、状态；（2）将某个研究对象或某段运动过程、某个状态从全过程中分离出来；（3）画出某状态下的受力图或运动过程示意图；（4）选用适当的物理规律列方程求解。

说明：通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体（或一个物体的各部分）间相互作用时，用隔离法；有时解答一个问题需要多次选取研究对象，整体法和隔离法交替应用。

6. 动态平衡问题的分析方法

在有关物体平衡的问题中，存在着大量的动态平衡问题，所谓动态平衡问题，就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化的平衡问题。即任一时刻物体均处于平衡状态。

（1）解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变参量与自变参量的一般函数式，然后根据自变参量的变化确定应变参量的变化。

（2）图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下的力的矢量图（画在同一图中），然后根据有向线段（表示力）的长度变化判断各个力的变化情况。

【典型例题】

题型1 平衡问题的基本解法（正交分解法）

例1、如图（1）所示，重40N的物体与竖直墙间的动摩擦因数为0.2。若受到与水平线成45°角的斜向上的推力F作用而沿竖直墙匀速上滑，则F多大？

解析：取物体为研究对象，其受力情况如图（2）所示，取沿墙面方向为y轴，垂直于墙面为x轴，由平衡条件可知

，①

，②

另外考虑到滑动摩擦力与弹力之间有③

由①②③式可解得，

即当推力F大小为71N时，物体沿墙面匀速上滑。

点评：用正交分解法求解时，坐标轴的建立应尽量减少力的分解。

题型2 感受整体与隔离法的精妙

例2. 有一直角支架AOB，杆AO水平放置，表面粗糙，杆BO竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，BO上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细线相连，并在某一位置平衡如图（甲）所示，现将P向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F_N和细绳上的拉力F_T的变化情况是

A. F_N不变，F_T变大 B. F_N不变，F_T变小

C. F_N变大，F_T变大 D. F_N变大，F_T变小

解析：解法一：本题可以分步计算，首先利用整体法计算杆OA对P环的支持力F_N，因P和Q所组成的系统在竖直方向只受到重力及杆OA对P球的支持力F_N，系统又处于平衡状态，因而竖直方向的合力为零，则支持力F_N的大小一直应与P和Q两环的重力相等，即F_N的大小不变，第二步由环Q的受力如图（乙）可知，受的重力不变而P向左移时绳与竖直方向的夹角θ减小，由F_T=mg/cosθ知，绳上的拉力F_T变小，故答案为B。

乙

解法二：把P、Q分开用隔离法，则P、Q的受力如图（乙）所示。由Q的受力可得，减小，拉力F_T变小，则Q对P的拉力，由P的受力知。

解题技巧妙法总结：本题的创新之处在于一题多解，以及思维上的创新——整体法的灵活运用，并且把力的合成与物体平衡结合起来，特别是整体的平衡，又可分成各个方向上的平衡，再由竖直方向合力为零和水平方向合力为零计算。

例3. 如图（1）所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O′的正上方固定一小定滑轮，细线一端拴一小球A，另一端绕过定滑轮，今将小球从图中所示的初位置缓慢地拉至B点，在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力F_N及细线的拉力F₁的大小变化是

A. F_N变大，F₁变小 B. F_N变小，F₁变大

C. F_N不变，F₁变小 D. F_N变大，F₁变大

解析：由于三力F₁、F_N与G首尾相接构成的矢量三角形与几何三角形AOO′相似，如图（2）所示

所以有，

。

所以

，

由题意知当小球缓慢上移时，减小，不变，R不变，故F₁减小、F_N不变。

答案：C

点评：此题画动态中的矢量三角形无法比较大小，利用相似关系列出力的解析关系，从而分析解题。

例4. 如图（1）所示，人重为G₁=500N，平台重为G₂=300N，人用绳子通过滑轮装置拉住平台，滑轮的重量及摩擦均不计，人与平台均处于静止状态，求人对绳子的拉力及人对平台的压力。

解析：求人对绳子的拉力及人对平台的压力，可以把人隔离出来，但仅仅以人为研究对象不可能求出同一直线上的两个力的大小，同时平台也处于平衡状态，所以须同时结合人和平台的平衡条件才能求出这两个力的大小。

分别以人和平台为研究对象进行受力分析，如图（2）所示，人受到重力G₁和平台的支持力F_N及绳子的拉力作用，而平台受到重力G₂，人对它的压力，左边的绳子拉力，右边的绳子拉力。由作用力与反作用力可知，，。

由平衡条件可知：。

题型4 动态平衡问题的图解法

例5. 如图甲所示，重为G的物体系在OA、OB两根等长的轻绳上，轻绳的A端和B端挂在半圆形的支架上，若固定A端的位置，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置缓慢移动到竖直位置C的过程中

A. OB绳子上的拉力先减小后增大

B. OB绳子上的拉力先增大后减小

C. OA绳子上的拉力先减小后增大

D. OA绳子上的拉力先增大后减小

解析：由结点O的受力情况可知，这是一个三力平衡问题，又因为题中出现了“缓慢移动”的字眼，故为动态平衡一类的问题，求解此类问题一般要运用动态图解法。

取结点O为研究对象，它受到重物的拉力为F，其大小等于G，把此拉力F沿OA、OB的方向分解成F_OA和F_OB两个力，如图乙所示，则此三力F、F_OA、F_OB必然构成一个矢量三角形，其中F_OA即为OA绳子上的拉力，F_OB即为OB绳子上拉力。因OA绳子固定不动，故F_OA的方向不变，在缓慢向上移动B点的过程中，任意选取三个点B₁、B₂、B₃，可以看到OA绳上拉力F_OA不断减小，而OB绳上的拉力F_OB却是先减小后增大，当力F_OA垂直于力F_OB时，绳OB上的拉力到达最小值，即绳子OB上的拉力是先减小后增大，故A选项正确。