立体几何中的向量方法

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

    立体几何中的向量方法

 

二. 重点、难点：

直线，m的方向向量为

平面的法向量为

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

 

【典型例题】

[例1] 已知，若且，求x+y的值。

解：由①

又     即②

由①②有：或

∴ 或

 

[例2] 设向量，计算，并确定的关系，使与z轴垂直。

解：

由

即当满足即使与z轴垂直

 

[例3] 如图，在空间四边形ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，且AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD和BE所成的角为，求BD的长度。

解：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意有A（0，2，0），C（2，0，0），则E（1，1，0），设D（0，0，z），（z>0），则

∴

∵       ∴

∴ 即BD=4

 

[例4] 在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为C₁G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。

（1）求证：EF⊥B₁C；

（2）求EF与C₁G所成的角的余弦；

（3）求FH的长。

解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，）

F（）C（0，1，0）B₁（1，1，1）C₁（0，1，1），G（0，，0）

∵     ∴

则即

（2）     ∴

由（1）知

故EF与所成角的余弦值为

（3）∵ H为C₁G₁的中点    ∴ H（0，），又F（）

∴     即

 

[例5] 如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。

（1）写出A、B₁、E、D₁的坐标；

（2）求AB₁与D₁E所成的角的余弦值。

解：（1）A（2，2，0）B₁（2，0，2），E（0，1，0），D₁（0，2，2）

（2）∵

∴ ，

∴ 与所成的角的余弦值为

 

[例6] 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。

（1）求证：EF//平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

（3）若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。

证：如图，建立空间直角坐标系，设，，则：

A（0，0，0），B（），C（），D（），P（）

∵ E为AB的中点，F为PC的中点    ∴ E（），F（）

（1）∵

∴      ∴ 与、共面

又∵ 平面PAD    ∴ EF//平面PAD

（2）∵     ∴

∴ CD⊥EF

（3）若，则有，即     ∴

   ∴      ∴

∵ 平面AC   ∴ 是平面AC的法向量

∴ EF与平面AC所成的角为：

 

[例7] 在正方体中，如图E、F分别是BB₁，CD的中点，

（1）求证：平面ADE；

（2）

解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），

A（1，0，0，），D₁（0，0，1），E（1，1，），F（0，，0）

则，   则

     ∴      ∴ 平面ADE

（2）B₁（1，1，1），C（0，1，0），故

∴ ，

则

 

[例8] 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

（1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=。

（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG

依题意得A（），P（0，0，a），E（）

∵ 底面ABCD是正方形     ∴ G是此正方形的中心

故点G的坐标为（）且，

∴ ，这表明PA//EG，而平面EDB且PA平面EDB

∴ PA//平面EDB

（2）证明：依题意得B（），

又，故

∴ PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD

（3）解：设点F的坐标为（），，则

从而，所以

由条件EF⊥PB知，即

解得   ∴ 点F的坐标为（）

且

，即，故是二面角C—PB—D的平面角

∵

且

∴

∴ ，所以，二面角C—PC—D的大小为

 

[例9] 如图，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是的垂心G。

（1）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求点A₁到平面AED的距离。

解：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即是与平面ABD所成的角，如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=，则A（），B（），D（0，0，1），A₁（，0，2），E（），G（）

∴      ∴ ，解得

∴ ，    

∴

A₁B与平面ABD所成角是

（2）由（1）有A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）

  

∴ 平面AA₁E，又 ED平面AED

∴ 平面AED⊥平面AA₁E，又面AED面AA₁E=AE

∴ 点A在平面AED的射影K在AE上

设，则

由，即，解得

∴ ，即

即点A₁到平面AED的距离为

 

[例10] 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。

解：如图，设，以为坐标向量建立空间直角坐标系C—xyz

由题设C（0，0，0），A（4，4，0），B（0，4，0），D（4，0，0），E（2，4，0），

F（4，2，0），G（0，0，2）

∴

设BM⊥平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数，使得

∴

由BM⊥平面EFG，得BM⊥GE， BM⊥EF，于是

∴

整理得：   解得

∴

∴

故点B到平面EFG的距离为

 

[例11] 已知正方体的棱长为1，求直线与AC的距离。

解：如图，设，以为坐标向量建立空间直角坐标系，则有

∴

设是直线方向上的单位向量，则

∵       ∴

解得或

取，则向量在直线上的投影为

由两个向量的数量积的几何意义知，直线与AC的距离为

 

[例12] 如图，在直四棱柱中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB//DC。

（1）设E是DC的中点，求证：D₁E//平面A₁BD；

（2）求二面角的余弦值。

（1）证明：以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系。

设DA=a，由题意知：D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，2a，0），

C₁（0，2a，2a），A­₁（a，0，2a），D₁（0，0，2a），E（0，a，0）

∴

又    ∴

∵ 平面平面

∴ 平面A₁BD

（2）取DB的中点F，DC₁的中点M，连结A₁F、FM，由（1）及题意得知：

     ∴

∴     ∴ 为所求二面角的平面角

∴

∴ 二面角的余弦值为

 

【模拟试题】

1. 在空间直角坐标系中，已知点P（），那么下列说法正确的是（    ）

A. 点p关于x轴对称的坐标是

B. 点p关于yoz平面对称的坐标是

C. 点p关于y轴对称点的坐标是

D. 点p关于原点对称点的坐标是（）

2. 下列命题是真命题的是（    ）

A. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B. 若，则的长度相等而方向相同或相反

C. 若向量满足，且与同向，则

D. 若两个非零向量与满足，则

3. 已知点，且该点在三个坐标平面yoz平面，zox平面，xoy平面上的射影的坐标依次为和则（    ）

A.                         B.

C.                         D. 以上结论都不对

4. 到定点（1，0，0）的距离小于或等于1的点集合为（    ）

A.

B.

C.

D.

5. 已知和，则的取值范围是（    ）

    A. [0，5]    B. [0，25]    C. [1，5]    D.（1，5）

6. 已知，则向量与的夹角为（    ）

    A. 30°    B. 45°    C. 60°    D. 90°

7. 已知为单位正交基，且，则向量与向量的坐标分别是              。

8. 若，则同方向的单位向量是           。

9. 已知，则的最小值是        。

10. 若向量，夹角的余弦值为，则等于        。

11. 已知，则向量与的夹角是      。

12. 且两两垂直，则       ，  

       ，        。

13. 设，且的夹角为120°，则等于           。

14. 已知长方体，OA=OC=2，OO_1­=4，D为BC­_1­与B₁C交点E为A₁C₁与O₁B₁的交点，则DE的长度为         。

15. 设向量与互相垂直，向量与它们构成的角都是60°，且，那么       ，          。

16. 已知，则向量的关系分别是      ，    ，

         。

 

 

 

【试题答案】

1. D    2. D     3. A     4. A     5. C     6. C     7. ；

8.     9.     10.     11. 90°   12. －64；－26；－17

13. 2    14.    15. －62；373    16.