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形态匀称的二叉树称为平衡二叉树 (Balanced
binary tree) ，其严格定义是：
一棵空树是平衡二叉树；若 T 是一棵非空二叉树，其左、右子树为 TL 和 TR ，令 hl 和 hr 分别为左、右子树的深度。当且仅当 ①TL 、 TR 都是平衡二叉树； ② ｜ hl － hr ｜≤ 1； 时，则 T 是平衡二叉树。 【例】如图所示。  （a）平衡二叉树 （b）非平衡二叉树 图 平衡二叉树与非平衡二叉树 相应地定义 hl － hr 为二叉平衡树的平衡因子 (balance factor) 。因此，平衡二叉树上所有结点的平衡因子可能是 -1 ， 0 ， 1 。换言之，若一棵二叉树上任一结点的平衡因子的绝对值都不大于 1 ，则该树是就平衡二叉树。 1.动态平衡技术 Adelson-Velskii 和 Landis 提出了一个动态地保持二叉排序树平衡的方法，其基本思想是： 在构造二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，首先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，如果是因插入结点而破坏了树的平衡性，则找出其中最小不平衡子树，在保持排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的连接关系，以达到新的平衡。通常将这样得到的平衡二叉排序树简称为 AVL 树。 2.最小不平衡子树 以离插入结点最近、且平衡因子绝对值大于 1 的结点作根结点的子树。为了简化讨论，不妨假设二叉排序树的最小不平衡子树的根结点为 A ，则调整该子树的规律可归纳为下列四种情况： （1） LL 型： 新结点 X 插在 A 的左孩子的左子树里。调整方法见图 8.5(a) 。图中以 B 为轴心，将 A 结点从 B 的右上方转到 B 的右下侧，使 A 成为 B 的右孩子。  图8.5 平衡调整的4种基本类型（结点旁的数字是平衡因子） （2）RR 型： 新结点 X 插在 A 的右孩子的右子树里。调整方法见图 8.5(b) 。图中以 B 为轴心，将 A 结点从 B 的左上方转到 B 的左下侧，使 A 成为 B 的左孩子。 （3）LR 型： 新结点 X 插在 A 的左孩子的右子树里。调整方法见图 8.5(c) 。分为两步进行：第一步以 X 为轴心，将 B 从 X 的左上方转到 X 的左下侧，使 B 成为 X 的左孩子， X 成为 A 的左孩子。第二步跟 LL 型一样处理 ( 应以 X 为轴心 ) 。 （4）RL 型： 新结点 X 插在 A 的右孩子的左子树里。调整方法见图 8.5(d) 。分为两步进行：第一步以 X 为轴心，将 B 从 X 的右上方转到 X 的右下侧，使 B 成为 X 的右孩子， X 成为 A 的右孩子。第二步跟 RR 型一样处理 ( 应以 X 为轴心 ) 。 【例】 实际的插入情况，可能比图 8.5 要复杂。因为 A 、 B 结点可能还会有子树。现举一例说明: 设一组记录的关键字按以下次序进行插入： 4 、 5 、 7 ， 2 、 1 、 3 、 6 . 其生成及调整成二叉平衡树的过程示于图 8.6 。 在图 8.6 中，当插入关键字为3的结点后，由于离结点3最近的平衡因子为2的祖先是根结点5。所以，第一次旋转应以结点4为轴心，把结点2从结点4的左上方转到左下侧，从而结点5的左孩子是结点4，结点4的左孩子是结点2，原结点4的左孩子变成了结点2的右孩子。第二步再以结点4为轴心，按LL类型进行转换。这种插入与调整平衡的方法可以编成算法和程序，这里就不再讨论了。  图 8.6 二叉平衡树插入结点 ( 结点旁的数字为其平衡因子 ) AVL树及JAVA实现 public class AvlTree< T extends Comparable< ? super T>>
{
private static class AvlNode< T>{//avl树节点
AvlNode( T theElement )
{
this( theElement, null, null );
}
AvlNode( T theElement, AvlNode< T> lt, AvlNode< T> rt )
{
element = theElement;
left = lt;
right = rt;
height = 0;
}
T element; // 节点中的数据
AvlNode< T> left; // 左儿子
AvlNode< T> right; // 右儿子
int height; // 节点的高度
}
private AvlNode< T> root;//avl树根
public AvlTree( )
{
root = null;
}
//在avl树中插入数据，重复数据复略
public void insert( T x )
{
root = insert( x, root );
}
//在avl中删除数据,没有实现
public void remove( T x )
{
System.out.println( "Sorry, remove unimplemented" );
}
//在avl树中找最小的数据
public T findMin( )
{
if( isEmpty( ) )
throw new UnderflowException( );
return findMin( root ).element;
}
//在avl树中找最大的数据
public T findMax( )
{
if( isEmpty( ) )
throw new UnderflowException( );
return findMax( root ).element;
}
//搜索
public boolean contains( T x )
{
return contains( x, root );
}
public void makeEmpty( )
{
root = null;
}
public boolean isEmpty( )
{
return root == null;
}
//排序输出avl树
public void printTree( )
{
if( isEmpty( ) )
System.out.println( "Empty tree" );
else
printTree( root );
}
private AvlNode< T> insert( T x, AvlNode< T> t )
{
if( t == null )
return new AvlNode< T>( x, null, null );
int compareResult = x.compareTo( t.element );
if( compareResult < 0 )
{
t.left = insert( x, t.left );//将x插入左子树中
if( height( t.left ) - height( t.right ) == 2 )//打破平衡
if( x.compareTo( t.left.element ) < 0 )//LL型（左左型）
t = rotateWithLeftChild( t );
else //LR型（左右型）
t = doubleWithLeftChild( t );
}
else if( compareResult > 0 )
{
t.right = insert( x, t.right );//将x插入右子树中
if( height( t.right ) - height( t.left ) == 2 )//打破平衡
if( x.compareTo( t.right.element ) > 0 )//RR型（右右型）
t = rotateWithRightChild( t );
else //RL型
t = doubleWithRightChild( t );
}
else
; // 重复数据，什么也不做
t.height = Math.max( height( t.left ), height( t.right ) ) + 1;//更新高度
return t;
}
//找最小
private AvlNode< T> findMin( AvlNode< T> t )
{
if( t == null )
return t;
while( t.left != null )
t = t.left;
return t;
}
//找最大
private AvlNode< T> findMax( AvlNode< T> t )
{
if( t == null )
return t;
while( t.right != null )
t = t.right;
return t;
}
//搜索（查找）
private boolean contains( T x, AvlNode |
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