一个平面几何题的证明

一个平面几何题的证明

 

题目：

对于给定的圆O和圆上ABCD四点，任意连接4个点，若这些这些直线交于LMN三点（有可能没有三点）。

求证:O为三角形LMN的垂心（事实上，OLMN中任取3点，则第四个点就是那三点所确定的三角形的垂心）。

 

 

证明：

如图，过L,D,B三点作圆，交LN延长线于E，连接OE，其他辅助线如图连接，

则∠NED=∠NBL=∠NAD，故A,E,N,D四点共圆，

设⊙O半径为r，则由圆幂定理有：

NE·NL=NB·ND=r²-ON²……①

NL·EL=LD·LA=LO²-r²……②

再结合NL=LE-EN，得出LO²-LE²=NO²-NE²

于是由余弦定理即可得出∠OEL=90°，即LN⊥OE。

因此此时有∠OEB=270°-∠BEL=270°-∠BDL

又∠BAO+∠BDA=∠BAO+∠AOF=90°?∠BAO=90°-∠BDA

于是∠OEB+∠BAO=270°-∠BDL+90°-∠BDA=360°-(∠BDL+∠BDA)=180°，

所以B,E,O,A四点共圆，记为⊙S，

同理连接OD,EC，也能得出C,E,O,D四点共圆，记为⊙T，

由于⊙O,S,T三圆两两相交，且AB与DC交于交于点M，

故由等幂线性质知，OE延长线必过点M，即O,E,M三点共线，

于是有LN⊥OM，同理MN⊥OL，于是就有O为△LMN的垂心。