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善科文库

2013-10-06  蜂360

编者按:柯西对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法;他的《分析教程》、《无穷小计算教程》、《微分计算教程》摆脱了微积分单纯的直观理解和物理解释,引入了严格的叙述和论证,形成了微积分的现代体系。冯?诺伊曼所说:“严密性的统治地位基本上由柯西一手建立起来”。
      柯西第一个把无穷小定义为以零为极限的变量,定义了上下极限,最早使用极限符号;他最早给出收敛性的准则;他最早估计了幂级数的收敛半径;他最早对泰勒展开给出完善证明并确定其余项公式;他以极限概念定义了函数的连续性、无穷级数的收敛性、函数的导数、微分和积分;他定义了广义积分。
      柯西是单复变函数论的创立者,给出了复幂级数收敛圆、复积分及残数理论;最早探讨微分方程解的存在性,并提出强函数等方法;他研究了置换群理论和行列式理论,得到了宾内特(Binet)-柯西公式;对光学、力学和天文学有深入研究;奠定了弹性理论的基础,其中以其姓氏命名的定理就有16个。
      柯西不等式也称为柯西-施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式。此不等式虽然简单,但却非常重要,并有广泛的应用:在证明不等式、求极值、线性代数的内积、数学分析的无穷级数、函数空间内积、概率论的方差和协方差、微分方程解的正则性研究等方面都有应用。
      人无完人。对待两位当时尚未成名的数学新秀阿贝尔、伽罗瓦,柯西表现得过分冷漠和虐待:对阿贝尔关于椭圆函数论的那篇开创性论文,对伽罗瓦关于群论那篇伟大的开创性论文,不仅未及时作出评论和指导,还“可恶”地将他们送审的论文遗失了。柯西拿到阿贝尔的论文后,随便翻翻就扔到纸堆里了。
      柯西的数学渊博而深奥;数量也仅次于欧拉。不同的是他著作质量参差不齐,曾被评为“高产而轻率”。有个故事:法国科学院《会刊》于1835年创刊,因柯西论文太多太快以致印刷费严重超支。因此科学院通过了至今有效的规定:所有论文最长4页。

为了考试--不喜欢考试、就不喜欢数学,为了计算--加减乘除就够了,干嘛还要学那么多?为了赚钱--没看过哪个数学家赚过钱的,训练专心--看漫画时,我也会很专心。培养聪明--非数学不行吗?认识人类精致的思考结晶--唉,还不是一堆自圆其说的东西?苦啊!学数学真是苦啊!

咦,是谁让有些叶子的叶脉是一组组的平行线?是谁用美丽的螺旋线去装饰海螺的壳?是谁在天空画上彩虹抛物线?是谁安排星球照着完全的椭圆线去转动?这个静静的宇宙,好像是一间已经设计好的数学教室,一直在我们周围展览着……

咦,潮水的来去,好像是规则起伏的三角函数,蟋蟀在夜间的歌唱,好像与温度起伏相关,树木的年轮,好像是『同心圆』,连人的鼻子,都像是个『三角形』,上帝是不是一个数学家,用数学衡量过每一个创造物?

因此,数学可以精确地描述大自然,可以重寻起初上帝隐藏在自然界的一把尺,因此再复杂的数学题里,也总有个解,奇妙啊!数学多奇妙!数学多有趣!怎么可以不念数学?

〖滑稽炸弹〗

『哈!哈!哈!这是什么炸弹?!竟会在空中放出五颜六色的光彩?』

在众人的嘻笑声中,贝特莱(Claude-Louis Berthollet,1748-1822)教授铁青着脸。贝特莱是一个多才多艺的科学家,用氯做漂白剂,是他首先提出的,他也是第一个发现氨氮肥料合成法的人。有一天,他把氯化钾放在炸弹中,以取代传统的硝粉,没想到放出了一颗五颜六色的冲天炮。贝特莱觉得任务失败,就搬到巴黎市郊的阿取埃勒(Arcueil)镇隐居。

贝特莱的家有一个美丽的花园,他常坐在花园的绿荫处看书。不久,他发现时常有一个小男孩在花园外探头看他,贝特莱请他进来,问他有什么需要帮忙的。

小男孩说:『先生,是不是可以借你的书来看?』

『你要看什么书呢?』贝特莱好奇地问道。

『任何书都可以,因为我家的书都被我看完了。』

『真的!那你很会看书喽!你叫什么名字?』

『我叫柯西。』

柯西(Augustin-Louis Cauchy)的名字后来可是数学史上响叮当的名字。每一个念过数学的学生,都知道柯西不等式,或是判断无穷极数会收敛或发散的『柯西检验法』。

〖在针尖上跳舞的天使〗

闲居在家的贝特莱可能有用不完的时间,他正想找些事来伸展囤积已久的知识。他竟为这个七岁的男孩写了一套科学材料。贝特莱把科学揉合在中古世纪的修道神学里。之前从来没有这种科学读物,多年后柯西回忆到:『在别人看来都是没有意义的题目,由天堂唱诗班里的很多天使,去推算站在一块天花板上的天使有几个,进而推估垫着脚尖站在针尖上的天使有几个?贝特莱是在教我无穷级数收敛的演算。』

1803年,柯西13岁时获得法国中学数学竞赛的首奖,隔年他又获古典文学比赛第一名,16岁时,他以连跳四级及联考第二名的成绩,进入竞争最激烈的巴黎高等理工(polytechnique)。柯西念的是土木系,他又连连跳级,21岁就取得博士学位,并且立刻荣获政府器重,担任拿破仑陆军军团工程队督导。

〖风车与鲑鱼〗

柯西在学生时代,有个绰号叫『苦瓜』,因为他平常像一颗苦瓜一样,静静地不说话,如果说了什么,也很简短,令人摸不着头绪,和这种人沟通,是很痛苦的。柯西的身边没有朋友,只有一群妒嫉他聪明的人。当时法国正在流行社会哲学,柯西工作之余常看的书,却是拉格朗日(Joseph Louis Lagrance,1736-1813)的数学书,与灵修书籍《效法基督》,这使他赢得另一个外号『脑筋劈哩啪啦叫的人』,意即神经病。

柯西的母亲听到了传言,就写信问他实情。柯西回信道:『如果基督徒会变成精神病人,那疯人院早就被哲学家充满了。亲爱的母亲,您的孩子像原野上的风车,数学和信仰就是他的双翼一样,当风吹来的时候,风车就会平衡地旋转,产生帮助别人的动力。』

1816年,柯西回到巴黎,担任母校的数学教授,柯西自己写道:『我像是找到自己河道的鲑鱼一般地兴奋,』不久他就结婚,幸福的婚姻生活,有助于他与别人沟通的能力。

〖上帝与数学〗

数学大师伯努利曾说过:『只有数学能够探讨「无穷」,而「无穷」正是上帝的属性之一』。物理、化学、生物都是有限之内的学科,『无穷』才能代表永远测不透的极限。『无穷』的观念令哲学家疯征、让神学家叹息,使许多人深感惧怕。柯西却把『无穷』应用来厘定更精确的数学含义,他把数学的微分看或是『无穷小时的变化』,把积分表示为『无穷多个无穷小之和』。柯西用无穷重新定义微积分,至今仍为每一本微积分课本的开宗明义篇。

一八二一年,柯西的名声远播。远自柏林、马德里、圣彼得堡的学生,都来到他的教室里上课,他又发表非常有名的『特征值』理论,同时写道:『在纯数学的领域里,似乎没有实际的物理现象来印证,也没有自然界的事物可说明,但那是数学家遥遥望见的应许之地。理论数学家不是一个发现者,而是这个应许之地的报导者』。

〖末后的坚持〗

四十岁后的柯西不愿对新政府效忠,他认为学术应有不受政治影响的自由。他放弃工作与祖国,带着妻子到瑞士、意大利旅行教书,各地大学都很欢迎他。但是他写道:『对数学的兴奋,是身体无法长期的负荷,累!』柯西四十岁后,下课后就不再做研究工作了。

他身体逐渐衰弱,一八三八年他再回巴黎大学教书,但为政治效忠问题再度离开。因着他的坚持,一八四八年法国通过大学教授的学术自由,是以个人的良心为底限,不在政治限制之内。从此世界各大学纷纷跟进这个制度,大学成为学术自由的地方。

一八五七年,柯西病故,他死前说:『人会过去,愿他工作的功效永远长存。』

资料来源:
  1. Bell,E.T., 1986, Mathematics and Windmills-Cauchy. Men Of Mathematics, pp.270-293, Simon & Schuster, Inc, USA.
  2. Bell,E.T, 1974. The Magic of Numbers. Dover Publications, Inc. New York.
原文链接: 摘自:《科学大师的求学、恋爱与理念》
作  者: 张文亮
出版社: 校园书房出版社
校  对: 汤涛,香港浸会大学数学讲座教授

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