柏努力方程式的应用

 

 

柏努力方程式的应用  

 

一、确定管道中流体的力量

【例1-10】20℃的空气在直径为80mm的水平管流过。现于管路中接一文丘里管，如本题附图所示。文丘里                                                                                                                       管的上游接一水银U管压差计，在直径为20mm的喉颈处接一细管，其下部插入水槽中。空气流过文丘里管的能量损失可忽略不计。当U管压差计读数R=25mm、h=0.5m时，试求此时空气的流量为若干m3/h。当地大气压强为101.33×103Pa。

文丘里管上游测压口处的压强为:

p1=ρHggR=13600×9.81×0.025=3335Pa（表压）

喉颈处的压强为：

p2=-ρgh=-4905Pa（表压）

空气流经截面1-1′与2-2′的压强变化为：

故可按不可压缩流体来处理。在截面1-1′，与2-2′，之间列柏努力方程式，以管道中心线作基准水平面。由于两截面间无外功加入，即Wc=0；能量损失可忽略,即Σhf=0。据此柏努力方程式可写为

式中 Z1=Z2=0

取空气的平均分子量为29kg/kmol，两截面间的空气平均密度为：

所以

简化得

（a）

式a中有两个未知数，须利用连续性方程式定出u1与u2的另一关系，即：

u2=16u1   （b）

以式b代入式a，解得 u1=7.34m/s

空气的流量为：

二、确定容器间的相对位置

【例1-11】如本题附图所示，密度为850kg／ms的料液从高位槽送入塔中，高位槽内的液面维持恒定。塔内表压强为9．81xlO5Pa，进料量为5m3／h。连接管直径为φ38x2.5mm，料液在连接管内流动时的能量损失为30J/kg（不包括出口的能量损失）。试求高位槽内的液面应出塔的进料口高出多少?

例1-11 附图

解:取高位槽液面为上游截面1-l′连接管出口内侧为下游截面2-2′，并以截面2-2′的中心线为基准水平面。在两截面间列柏努利方程式，即：

式中Z2=0，p1=0（表压），p2≈9.81×103Pa（表压），Σhf=30J/kg

高位槽截面比管道截面要大得多，在体积流量相同情况下，槽内流速比管内流速就小得多，故槽内流速可忽略不计，即u1约等于0。

将上列数值代入柏努利方程式，并整理得：

即高位槽内的液面应比塔的进料口高4．37m。

值得注意的是，本题下游截面2-2′，必定要选在管于出口内侧，这样才能与题给的不包括出口损失的总能量损失相适应。

三、确定输送设备的有效功率

【例1-12】如本题附图所示，用泵2将贮槽1中密度为1200kg/立方的溶液送到蒸发器3内，贮槽内液面维持恒定，其上方压强为101.33×103Pa。蒸发器上部的蒸发室内操作压强为200mmHg(真空度)。蒸发器进料口高于贮槽内的液面15m，输送管道的直径为Φ68×4mm,送料量为20m3／h，溶液流经全部管道的能量损失为120J／kg，求泵的有效功率．

例1-12 附图

1：贮槽；2：泵；3：蒸发器

解：以贮槽的液面为上游截面1-1′，管路出口内侧为下游截面2-2′，并以截面1-1′为基准水平面。在两截面间列柏努利方程式，即：

或

（a）

式中，Z1=0，Z2=15m，p1=0（表压）

因贮槽截面比管道截面大得多，故槽内流速可忽略不计，即u1约等于0。

将以上各项数值代入式a，得：

根据式1-23计算泵的有效功率，Nc=246.9×6.67=1647W≈1.65kW

实际上泵所做的功并不是全部有效的。若考虑泵的效率η，则泵轴消耗的功率N为：

N=Nc/η

四、确定管路中流体的压强

【例1-13】水在本题附图所示的虹吸管内作定态流动，管路直径没有变化，水流经管路的能量损失可以忽略不计，试计算管内截面2-2′、3-3′、4-4′和5-5′处的压强。大气压强为760mmHg。图中所标注的尺寸均以mm计。

例1-13 附图

解：为计算管内各截面的压强，应首先计算管内水的流速。先在贮槽水面1-1′及管子出口内侧截面6-6′间列柏努利方程式。并以截面6-6′为基准水平面。由于管路的能量损失忽略不计，故柏努力方程式可写为：

式中

将上列数值代入上式，并简化得：

9.81×1=u62/2

解得 u6=4.43m/s。

由于管路直径无变化，则管路个截面积相等。根据连续性方程式知Vs=Au=常数，故管内各截面的流速不变，即：

则

因流动系统的能量损失可忽略不计，故水可视为理想流体，则系统内各截面上流体的总机械能E相等，即：

总机械能可以用系统内任何截面去计算，但根据本题条件，以贮槽水面1-1′处的总机械能计算较为简便。现取截面2-2′为基准水平面，则上式中Z=3m；p=101330Pa，所以总机械能为：

E=9.81×3+101330/1000=130.8J/kg

计算各截面的压强时，也应以截面2-2′为基准水平面，则Z2=0；Z3=3m；Z4=3.5m；Z5=3m。

（1）截面2-2′的压强

（2）截面3-3′的压强

（3）截面4-4′的压强

（4）截面5-5′的压强

从以上结果可以看出：p2>p3>p4,而p4<p5<p6，这是由于流体在管内流动时位能与静压能反复转换的结果。

五、应用柏努利方程式解题要点

(1)作图与确定衡算范围 根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方向。定出上、下游截面，以明确流动系统的衡算范围。

(2)截面的选取 两截面均应与流动方向相垂直，并且在两截面间的流体必须是连续的。所求的未知量应在截面上或在两截面之间，且截面上的Z、u、p等有关物理量，除所需求取的未知量外，都应该是已知的或能通过其它关系计算出来。

两截面上的u、p、Z与两截面间的Σhf都应相互对应一致。

(3)基准水平面的选取 选取基准水平面的目的是为了确定流体位能的大小，实际上在柏努利方程式中所反映的是位能差(ΔZ=Z2-Z1)的数值。所以，基准水平面可以任意选取，但必须与地面平行。Z值是指截面中心点与基准水平面间的垂直距离。为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个截面中的任一个截面。如该截面与地面平行，则基准水平面与该截面重合，Z=0，如衡算系统为水平管道，则基准水平面通过管道的中心线，ΔZ=0。

(4)单位必须一致 在用柏努利方程式之前，应把有关物理量换算成一致的单位，然后进行计算。两截面的压强除要求一致外，还要求表示方法一致。从柏努利方程式的推导过程得知，式中两截面的压强应为绝对压强，但由于式中所反映的是压强差(Δp=p2-p1)的数值，且绝对压强=大气压强+表压强，因此两截面的压强也可以同时用表压强来表示。

六、非定态流动系统的计算

【例1-14】 本题附图所示的开口贮槽内液面与排液管出口间的垂直距离h1为9m，贮槽的内径D为3m，排液管的内径d0为0.04m，液体流过该系统的能量损失可按Σhf=40u2公式计算，式中u为流体在管内的流速。试求经4小时后贮槽内液面下降的高度。

例1-14 附图

解：本题属于非定态流动。经四小时后贮槽内液面下降的高度可通过微分时间内的物料衡算式和瞬间的柏努利方程式求解。

在dθ时间内对系统作物料衡算。设F′为瞬时进料率，D′为瞬时出料率，dA′为在dθ时间内的积累量，则在dθ时间内物料衡式为：

又设在dθ时间内，槽内液面下降dh，液体在管内瞬间流速为u，故由题意知：

则上式变为：

（a）

式a中瞬时液面高度h(以排液管出口为基准)与瞬时速度u的关系，可由瞬时柏努利方程式获得。

在瞬间液面1-1′与管于出口内侧截面2-2′间列柏努利方程式，并以截面2-2′为基准水平面，得：

故上式可简化为：9.81h=40.5u2

即：

（b）

以式b代入式a，得：

在下列边界条件下积分上式，即：

解得 h5.62m

所以经4小时后贮槽内液面下降高度为9-5.62=3.38m。