流体静力学基本方程式

 

 

 

流体静力学基本方程式  

 

现讨论流体在重力和庄力作用下的平衡规律，这时流体处于相对静止状态。由于重力就是地心吸力，可以看作是不变的，起变化的是压力。所以实质上是讨论静止流体内部压力（压强）变化的规律。描述这一规律的数学表达式，称为流体静力学基本方程式。此方程式可通过下面的方法推导而得。
在具有密度为ρ的静止流体中，取一微元立方体，其边长分别为dx、dy、dz，它们并分别与x、y、z轴平行，如图1-2所示。
图1-2 微元流体的静力平衡
由于流体处于静止状态，因此所有作用于该立方体上的力在坐标轴上的投影之代数和应等于零。
对于z轴，作用于该立方体上的力有：
（1）作用于下底面的压力为pdxdy。
（2）作用于上底面的压力为
（3）作用于整个立方体的重力为-ρgdxdydz。
z轴方向力的平衡式可写成：
即
上式各项除以dxdydz，则z轴方向力的平衡式可简化为：
（1-7a）
对于x、y轴，作用于该立方体的力仅有压力，也可写出其相应的力的平衡式，简化后得：
x轴（1-7b）
y轴（1-7c）
式1-7a、1-7b、1-7c称为流体平衡微分方程式，积分该微分方程组，可得到流体静力学基本方程式。
将式1-7a、1-7b、1-7c分别乘以z、dx、dy，并相加后得：
（1-7d）
上式等号的左侧即为压强的全微分dp，于是：
（1-7e）
对于不可压缩流体，ρ=常数，积分上式，得：
（1-7f）
液体可视为不可压缩的流体，在静止液体中取任意两点，如图1-3所示，则有：
（1-8）
或
（1-8a）
为讨论方便，对式1-8a进行适当的变换，即使点1处于容器的液面上，设液面上方的压强为p0，距液面h处的点2压强为p，式1-8a可改写为： （1-8b）     式1-8、1-8a、及1-8b称为流体静力学基本方程式，说明在重力场作用下，静止液体内部压强的变化规律。由式1-8b可见：    （1）当容器液面沙锅内方的压强p0一定时，静止液体内部任一点压强p的大小与液体本身的密度ρ和该点距离液面的深长h有关。因此，在静止的、连续的同一液面内，处于同一水平面上各点的压强都相等。    （2）当液面上方的压强p0有改变时，液体内部各点的压强p也发生同样大小的改变。    （3）式1-8b可改写为：（p-p0）/ρg=h     上式说明压强差的大小可以用一定高度的液体柱表示，这就是前面所介绍的压强可以用mmHg、mmH2O等单位来计量的依据。当用液柱高度来表示压强或压强差时，必须注明是何种液体，否则就失去了意义。     式1-8、1-8a、及1-8b是以恒密度推导出来的。液体的密度可视为常数，而气体的密度除随温度变化外还随压强而变化，因此也随它在容器内的位置高低而改变但在化工容器里这种变化一般可以忽略。因此，式1-8、1-8a、及1-8b也适用于气体，所以这些式于统称为流体静力学基本方程式。     值得注意的是，上述方程式只能用于静止的连通着的同一种连续的流体。 【例1-2】本题附图所示的开口容器内盛有油和水。油层高度h1=0.7m、密度ρ1=800kg/m3，水层高度h2=0.6m、密度ρ2=1000kg/m3。     （1）判断下列两关系是否成立，即：   pA=pA′    pB=pB′     （2）计算水在玻璃管内的高度h。     解：    （1）判断题给两关系式是否成立     pA=pA′的关系成立。因A及A′两点在径直的连通着的同一种液体内，并在同一水平面上。所以截面A-A′称为等压面。      pB=pB′不能成立。因B及B′两点虽在静止流体的同一水平面上，但不是连通着的同一种液体，即截面B-B′不是等压面。       附图1-2 附图      （2）计算玻璃管内水的高度h     由上面讨论知，pA=pA′，而pA与pA′都可以用流体静力学基本方程计算，即： pA=pa+ρ1gh1+ρ2gh2 pA′=pa+ρ2gh 于是pa+ρ1gh1+ρ2gh2=pa+ρ2gh 简化上式并将已知值代入，得： 800×0.7+1000×0.6=1000h