fractal 分形维数 盒子维 纹理特征

分形  盒子维纹理特征

在纹理特征的提取中，纹理的分形维数特征（FD）是对纹理的一种重要描述。图像的纹理越复杂、细腻，则分形维数越大。提取分形维数特征的方法有很多种，理论以及计算的复杂度各有差异。

本文中分形维数的计算方法采用的是 DBC(Differential Box-counting)即 差分盒子计数法。该方法是由Sarkar and Chaudhuri 于1994年前后提出的(An Efficient Differential  Box-Counting Approach to Compute Fractal Dimension of  Image)，在前人的分形维数计算方法上做了重要改进，使得FD的计算以及准确度得到了较大的提升。在本文算法的编写过程中还参考了两篇中文综述：[二维灰度图像的分形维数计算.张志],[图像分形维数计算方法的比较.赵海英]。

为节省篇幅，先主要罗列所用到的基本公式，以及Sarkar原著中的论述，其他基本知识点，读者可参阅上述两篇中文综述。

 

D就是要求的纹理分形维数特征。由于D是Nr、1/r对应直线的斜率，所以需要多次改变r，即网格大小，获得多个样本点，最后通过直线拟合求得最终的D。

这种基于DBC的方法计算出的纹理分形维数特征的值应该介于2~3。这是有理论证明的。在Sarkar的原著中，仅有提及，未给证明：

在[二维灰度图像的分形维数计算.张志]中作者则给出了 FD< 3 的证明。FD>2的证明类似。且在[二维灰度图像的分形维数计算.张志]中，作者提及了Sarkar的DBC方法存在的问题，即DBC方法存在多余的空盒子。所以本文在程序设计时，注意了此问题，排除了空盒子的影响，得到了较好的FD计算效果。

现给出本次设计中分形盒子维的代码。代码经验证，FD值符合纹理复杂程度。理论上，FD值本身还应具有“三不变”特性：平移、旋转、缩放。经验证，在某些图像上，本算法具备缩放不变性，平移、旋转不变形未经验证。

代码之中存在的冗余、不适、bug还望各位读者指正。

(最小二乘法拟合基本原理：http://blog.csdn.net/ice_fire3/article/details/6709929)

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1. //************************//   
2. //计算分形盒子维   
3. //*** yangxin_szu 2013_03_28 ***//   
4. //valarray与 MFC 有一定冲突    
5. //#undef的使用是为了避免问题出现   
6. #ifdef min    
7. #undef min    
8. #endif    
9. #ifdef max    
10. #undef max    
11. #endif    
12. #include <valarray>    
13. using namespace std;  
14. void My_Texture::Calculate_Fractal_Dim(unsigned char* Img_Data ,int Img_size)  
15. {  
16.     //*************************************************//   
17.     //the width and height of the Image should be the same   
18.     //gray level : 256   
19.     //points for Least Square method: 20   
20.     //*************************************************//   
21.     int i=0 ,j=0;  
22.     //分形盒子维相关参数   
23.     int M = Img_size;//图像尺寸   
24.     int G = 256;//图像灰度级   
25.     int L_point = 20;//最小二乘法样本点数   
26.     valarray<unsigned char> Img_VAL(Img_size*Img_size);  
27.     valarray<int> L_VAL(L_point);  
28.     valarray<int> h_VAL(L_point);  
29.     valarray<double> r_VAL(L_point);  
30.     valarray<double> Nr_VAL((double)0,L_point);  
31.     valarray<int> Grid_Num(L_point);//网格数目   
32.     valarray<double> fractal_D(0.0 ,L_point);  
33.       
34.     //复制数据   
35.     int k = 0;  
36.     for (i=0;i<Img_size;i++)  
37.     {  
38.         for (j=0;j<Img_size;j++)  
39.         {  
40.             Img_VAL[k] = Img_Data[i*Img_size + j];  
41.             k++;  
42.         }  
43.     }  
44.     //网格大小及相关参数   
45.     //改进后的约束范围 M^(1/3)<= L <= M/3   
46.     int L_min = (int)powf(M ,1/3.0);  
47.     //int L_min = M/40;   
48.     int L_max = (int)M/2;  
49.     int L_step = (int)((L_max - L_min)/(float)L_point);  
50.     for(i=0;i<L_point;i++)  
51.     {  
52.         L_VAL[i] = L_min + i*L_step;//各样本点对应的网格大小     L   
53.         h_VAL[i] = (G*L_VAL[i])/M;  //各样本点对应的盒子高度     h   
54.         r_VAL[i] = log10(1/(L_VAL[i]/(float)M));//各样本点对应的 r   
55.         Grid_Num[i] = M/L_VAL[i];//各样本点对应的图像网格数目    Num   
56.     }  
57.   
58.     int m =0,n =0,t=0;  
59.     int grid_lt_x =0,grid_lt_y =0,grid_rd_x =0,grid_rd_y =0;  
60.     unsigned char grid_I_max =0 ,grid_I_min =0;  
61.     int dbc_l =0 ,dbc_k =0 ,nr =0;  
62.     int s=0,p =0,q =0 ,box_non_zero =0,box_zero_count = 0;  
63.     int gray_k =0,gray_l =0;  
64.     //计算 Nr   
65.     for (k=0;k<L_point;k++)  
66.     {  
67.         //临时存储单个网格数据   
68.         valarray<unsigned char> grid_img((unsigned char)0,L_VAL[k]*L_VAL[k]);  
69.         for (m=0;m<Grid_Num[k];m++)  
70.         {  
71.             for (n=0;n<Grid_Num[k];n++)  
72.             {  
73.                 //单个网格的坐标范围   
74.                 grid_lt_x = n*L_VAL[k];  
75.                 grid_lt_y = m*L_VAL[k];  
76.                 grid_rd_x = grid_lt_x + L_VAL[k] - 1;  
77.                 grid_rd_y = grid_lt_y + L_VAL[k] - 1;  
78.                 //复制数据   
79.                 t = 0;  
80.                 for (i=grid_lt_y;i<grid_rd_y;i++)  
81.                 {  
82.                     for (j=grid_lt_x;j<grid_rd_x;j++)  
83.                     {  
84.                         grid_img[t] = Img_Data[i*M + j];  
85.                         t++;  
86.                     }  
87.                 }  
88.                 grid_I_min = grid_img.min();  
89.                 grid_I_max = grid_img.max();  
90.                 //最小、最大灰度所在的网格高度   
91.                 dbc_k = grid_I_min/h_VAL[k];  
92.                 dbc_l = grid_I_max/h_VAL[k];  
93.                 //*******计算空盒子数目********//   
94.                 for(s=dbc_k;s<=dbc_l;s++)  
95.                 {  
96.                     //灰度上下限   
97.                     gray_k = s*h_VAL[k];  
98.                     gray_l = gray_k + h_VAL[k] - 1;  
99.                     //清零   
100.                     box_non_zero = 0;  
101.                     //落在指定盒子内的点数   
102.                     for(p=0;p<t-1;p++)  
103.                     {                         
104.                         if((grid_img[p]>=gray_k)&&(grid_img[p]<=gray_l))  
105.                             box_non_zero++;  
106.                     }  
107.                     //空盒子   
108.                     if(box_non_zero == 0)  
109.                         box_zero_count++;  
110.                 }  
111.                 //Nr累加并剔除空盒子   
112.                 nr = dbc_l - dbc_k + 1 - box_zero_count;                  
113.                 Nr_VAL[k] = Nr_VAL[k] + nr;  
114.                 //清零   
115.                 box_zero_count = 0;  
116.             }  
117.         }  
118.         Nr_VAL[k] = log10(double(Nr_VAL[k]));  
119.         grid_img.free();  
120.     }  
121.     //计算各样本点对应的理论斜率并保存   
122.     fractal_D = Nr_VAL/r_VAL;  
123.     ofstream outfile("F:\\Fractal_D.txt");//打开文件，准备写入   
124.     for (j=0;j<L_point;j++)  
125.     {  
126.         outfile<<fractal_D[j]<<' '<<endl;//距离   
127.     }  
128.     outfile<<endl;  
129.     outfile.close();//关闭文件，完成写入   
130.     //****************************************//   
131.     //最小二乘法拟合直线   
132.     double A = 0.0;  
133.     double B = 0.0;  
134.     double C = 0.0;  
135.     double D = 0.0;  
136.   
137.     A = (r_VAL*r_VAL).sum();  
138.     B = r_VAL.sum();  
139.     C = (r_VAL*Nr_VAL).sum();  
140.     D = Nr_VAL.sum();  
141.   
142.     double fractal_k,fractal_b,tmp =0;  
143.     if(tmp=(A*L_point-B*B))  
144.     {  
145.         fractal_k = (C*L_point-B*D)/tmp;  
146.         fractal_b = (A*D-C*B)/tmp;  
147.     }  
148.     else  
149.     {  
150.         fractal_k = 1;  
151.         fractal_b = 0;  
152.     }  
153.     //拟合得到的分形盒子维   
154.     m_fractal_dim = fractal_k;  
155.     m_fractal_shift = fractal_b;  
156.   
157.     //释放所有 valarray对象   
158.     Img_VAL.free();  
159.     L_VAL.free();  
160.     h_VAL.free();  
161.     r_VAL.free();  
162.     Nr_VAL.free();  
163.     Grid_Num.free();  
164.     fractal_D.free();  
165.   
166. }  

算法效果：

  

FD = 2.73                           FD = 2.85

FD = 2.14                           FD = 2.16                     FD = 2.886

上图中黑色图像可能由于制图时截图所致，边缘像素以及图像品质变化，图像并非纯黑，且FD是由点拟合而来，所以此时的FD没能等于 2.由以上5幅图像可见，FD与纹理分布的细密、复杂程度符合得较好。