功能关系的辨析与拓展 功是能量转化的量度,而不同力做的功,对应不同的能量转化。因此,功能关系有好几种类型,并且容易与能量守恒产生混淆。其实,功能关系和能量守恒是两种不同的思路,前者细致入微,具体到各力做功,注重过程量与状态量的联系;而后者属统筹归纳,不谈做功,关心的是能量分布以及初末状态。本文浅析前者,最后,会简单涉及功能关系在多质点系统中的应用。
例1 如图所示,水平向右的匀强电场中,某倾角为θ=的绝缘斜面固定于水平面上,顶端静置一质量为m =2 kg的物块,带正电,电量为q =C。若物块与斜面间的动摩擦因数为μ=0。2,电场强度为E=,且物块能自由下滑到斜面底端。斜面高度为h =1 m,g=10。试问,此过程中:
⑴物块动能的改变量;
⑵重力势能的改变量;
⑶电势能的改变量;
⑷物块与斜面摩擦产生的内能为多少;
⑸物块机械能的改变量。
解:⑴ 由动能定理可知,物块的动能改变量
。
⑵ 研究重力势能的改变,只看重力做功,不管其他力的存在与否,独立处理。
由公式可知,,做正功,即重力势能减少了20J。
⑶ 研究电势能的改变时,只看电场力做功。此过程中,电场力做功为
,负功,电势能增加6.67J。
⑷ 摩擦产生的内能与一对滑动摩擦力做功之和相对应。即
。
⑸物块机械能的改变量,应等于除了重力之外的其他力做功之和,实为机械能守恒定律的推论。即
,机械能减少13J。
常见的功能关系可以简单总结,如下表所示。具体使用时,要注意初末能量的相减顺序不尽相同,对应能量的增减关系也有所区分。
值得一提的是最后一项,一般只针对动生起电,而不适用于感生起电。比如,某一形状固定的矩形闭合线框,其内有匀强磁场穿过。若线框不动,当磁感应强度发生变化时,也会有电能生成,但并没有克服安培力做功的现象发生。下面这个例子,也是克服安培力做功与电能转化不相等的情况。
例题2 如图所示,足够长的光滑导轨水平放置,两导轨相距为d,左端MN用阻值不计的导线相连,金属棒ab可在导轨上滑动,导轨单位长度的电阻为,金属棒ab的电阻不计。整个装置处于竖直向下的均匀磁场中,磁场的磁感应强度随时间均匀增加,B=kt,其中k为常数。金属棒ab在水平外力F的作用下,以速度v沿导轨向右做匀速运动,t=0时金属棒ab与MN相距非常近。
⑴当时,水平外力F为多大?
⑵求当时,闭合回路的电功率。
⑶该过程中共有多少电能生成?
解:⑴当时,回路中电磁感应产生的感应电动势为:
。
其中,且。
此时回路的总电阻,所以。
故。
⑵此问容易产生错解,即认为当时,金属棒做匀速运动,此时安培力的大小等于外力F,故回路的电功率。并且,该错误结论还会影响到第⑶问的求解。其实,变化的磁场也能产生电能,所以回路的电功率不能只考虑克服安培力做功的功率。
正解:从⑴问中的结论可知,当时:,且。
则回路的电功率。
⑶ 由第⑵问结论可知,该过程产生的电能为:。
另外,功能关系还可以应用到多物系统中。这里仅以常见的动能定理为例,对由多个质点组成的质点系统来说,质点系受到的所有外力,对其质心所做功的代数和,对应质心动能的增量。这种功往往只是一种等效功,有时也被叫做赝功。现举例如下:
例题3 如图所示,倾角为θ的斜面上静止放置3个质量均为m的木箱,相邻两木箱的距离均为L。工人用沿斜面的力推最下面的木箱使之上滑,逐一与其他木箱碰撞。每次碰撞后木箱都粘在一起运动。整个过程中工人的推力不变,最后恰好能推着3个木箱匀速上滑。已知木箱与斜面间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,设碰撞时间极短,求3个木箱匀速运动的速度。
分析:此题可应用动能定理和动量守恒,分步求解,但过程较多。若是考虑对质点系应用动能定理,即可避开其间的碰撞过程,省去动量守恒,单从功能关系得解。
解:以题中3个木箱组成的系统为研究对象,讨论从最下面的木箱刚开始运动直至3个木箱刚开始向上匀速运动的过程。由于末状态为匀速,可得工人的推力
①
由于此过程中质心的总位移为L,故恒力F对系统质心做的赝功为:
②
重力对系统质心做的赝功为:
③
同时,系统还受到滑动摩擦力,由于其大小发生改变,则分为前后两段来计算:
前半段,即发生第一次碰撞前,系统受到的滑动摩擦力大小为: ,质心位移为:;
对后半段,系统受到的滑动摩擦力大小为: ,质心位移为: ;
即得: ④
此外,因为研究对象是质心,则上述过程中,还要考虑静摩擦力做的赝功。也分成两段计算:
⑤
由动能定理可知,系统所受外力的赝功和等于系统质心的动能增量,也即:
⑥
将①②③④⑤式代入⑥式,解得:
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