1874年12月7日，康托尔（Georg Cantor，1845.03.03-1918.01.06）关于“实数集和整数集之间不存在一一对应关系”（实数全体不可数性）这一命题的证明成功，标志着集合论的诞生。
康
托尔是出生于俄国的德国数学家（波罗的海德国人），创立了现代集合论作为实数理论以至整个微积分理论体系的基础。他还提出集合的势和序的概念。由于研究成
果得不到认可，并受到以利奥波德·克罗内克（Leopold
Kronecker，1823.12.07-1891.12.29）为代表的众多数学家的长期质疑，患抑郁症，最后精神失常，在德国哈勒大学附属精神病院
去世。
康托尔早年的研究领域是数论、不定方程和三角级数。当时的三角级数中的核心问题就是“任意函数能否用三角级数来表示”的问题。狄利克
雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805.02.13- 1859.05.05）、黎曼（Bernhard
Riemann，1826.09.17-1866.07.20）、李普希茨（Rudolf
Lipschitz，1832.05.14-1903.10.07）等人在研究间断点问题、不连续函数积分的三角级数展开问题中，已涉及到点集结构的概
念，但他们都没意识到点集结构更深远的意义。1866年康托尔开始研究三角级数展开式的唯一性问题，并于1872年发表了《三角级数理论中的一个定理推
广》一文。在该文中，他清楚地认识到实数理论是以无穷极和为基础的，因此这篇文章是康托尔从特殊问题的研究向一般性推广到无穷集合论的开端。1874年，
康托尔发表了一篇震撼数学界的论文“关于一切代数实数的一个性质”，拉开了集合论创立的序幕。后来显示，康托尔的集合论是“数学思想最惊人的产物”，是
“数学精神最令人惊羡的花朵”，也是19世纪整个思想界“所能夸耀的最伟大的工作”。集合论现在已经成为数学很多分支的基础。
为什么正整数和有理数一样多？为什么实数比整数多？为什么无理数比有理数多？0到1之间和0到10之间，数一样多吗？代数数与超越数哪个多？只要明白集合论中的“一样多”，指的是两集合元素能“一一对应”，就容易明白了。
