数学中的集合从何而来？为什么在数学中叫集合？

先说结论，集合从第一次使用数学开始就一直存在。例如，一旦人们学会了计算整数，整数集就在那里，但没有人谈论集合。古希腊的几何中，引入了轨迹的概念，轨迹是一组点。当然，直线和圆都是轨迹。

因此，尽管那时没有使用“集合“一词，但这个概念一直就在那里。数学一直试图对现实世界进行分类和抽象。那些早期的数学家可能没有明确地使用“集合”这个术语，但他们使用的许多概念都是基于“集体”或“组”这种想法的。例如，整数集、实数集等都是按某种方式归类的数字。

这种用而不提的状况，到了19世纪末的乔治·康托尔（Georg Cantor）身上发生了变化。数学家开始对数学的基础进行更深入的思考。这是因为他们遇到了一些令人困惑的悖论和问题，如“罗素悖论”。这迫使数学家重新考虑和明确数学的基础。为了解决上述问题，康托尔在19世纪末发展了集合论，首次明确地定义了集合及其运算，并深入探讨了不同“大小”或“势”的无穷集合。

希尔伯特曾经说过：

没有人会把我们赶出康托尔为我们创造的天堂。

到了现代数学，集合论很大程度上就成为了数学的基础，在集合论这个框架下，我们能够定义和表述大部分的数学概念，我当然可以为了列举一些集合论在现代数学中的作用，都是你耳熟能详的一些名词。

1. 基础概念：许多数学结构（如向量空间、拓扑空间、群、环和域）都是在集合的基础上定义的。例如，一个群可以被认为是一个集合，配上一个满足某些性质的二元运算。

2. 数的定义：在集合论的框架下，我们可以定义自然数、整数、有理数、实数和复数。例如，自然数可以通过对“空集”的逐次“后继”操作来构建，这种构建方法被称为冯·诺伊曼序数。

3. 函数和关系：函数是从一个集合到另一个集合的特定类型的关系，而关系则是集合的子集。

4. 实数和测度论：实数的完备性和测度论是在集合论的基础上开展的。

5. 避免悖论：通过引入一套严格的集合公理（如ZFC公理系统，其中ZFC代表“Zermelo-Fraenkel公理系统，带选择公理”），集合论帮助数学避免了像罗素悖论这样的问题。

6. 数理逻辑和公理化：集合论和数理逻辑紧密相关，这使得数学家可以探讨哪些数学命题在给定的公理系统下是可证的。

不过我想我还是有必要提醒你一点，虽然是最被广泛接受的数学基础，人们还是在尝试寻找其他的数学基础，比方说：类型论（Type Theory） 和 范畴论（Category Theory），我对类型论一无所知，就不多说什么了，了解一点范畴论，它起初是为了研究抽象代数结构（如群、环和域）中的同构问题而发展的。但随着时间的推移，它已经成为数学中许多不同领域的强大和统一的语言。范畴论的核心概念是“范畴”（category）。一个范畴由对象（objects）和态射（morphisms）组成。态射是对象之间的箭头，满足某些性质。它的关键点在于，关心的是对象之间的关系，而不是对象的内部结构。

好了今天这期就到这里，希望你能喜欢。