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证明不能求诸权威、习俗、或实用性；人们必须研究和揭示数学的基础及其可靠性。通常，在数学产生危机时，数学基础研究尤为兴盛。在当代，公理集合论被普遍接受为经典数学的基础。大部分数学家不再关心基础问题，而将数学基础研究看作数理逻辑的一个分支；而今天的数学哲学的研究则侧重于探讨关于经典数学的本体论、认识论、与语义学等问题。 从分析的严格化运动到二十世纪初的数学基础运动在古希腊的哲学与科学传统中，数学被看作严格科学的典范。无理数、非欧几何的发现等，给人们对于数学的性质的理解都造成过巨大的冲击。但人们自觉的数学基础研究兴盛于20世纪早期。一方面，随着数学的代数化和公理化，这时的数学变得越来越抽象，远离日常的直观和应用。数学家们使用大量没有物理意义的概念，其工作大大超过了探索自然界真理的需要。他们研究和回答与实际无关的问题，造成了纯粹数学和应用数学的区分。数学不再被认为是关于数和量的科学，而是关于任意的抽象结构的科学。这使得人们对于数学的真理性产生了疑虑。 另一方面，19世纪的分析的严格化运动，在数学中复兴了对严密性的追求。微积分诞生于17世纪，18世纪的人们则致力于拓展微积分，使数学分析的基本分支得到了发展。但极限、导数、无穷级数的收敛性等分析中的基本概念，并未得到清楚说明。这导致其在理论上和实际的应用中都出现了问题，其中最知名的，是G.贝克莱等人对于“无穷小量”的批评。19世纪，B.波尔查诺、A.-L.柯西等人开启了分析的严格化运动。他们意识到问题的关键在于极限概念。波尔查诺的工作长期受到忽视，柯西产生了实质性的影响，“为分析注入了严密性”。但柯西仍然使用“无限趋向固定的值”等语言刻画极限，而这依然是直觉性的描述语言。最终，K.魏尔斯特拉斯发明了“ε-δ”语言，严格定义了函数的极限、连续性等概念。无穷小量则被理解为是极限为0的变量。魏尔斯特拉斯的工作，使得微积分的基本概念摆脱了对几何和运动的直观，为分析建立了严格的基础。魏尔施特拉斯对这些概念的定义，仅依赖于实数和函数等概念。他和当时其他的数学家一样，意识到下一步的工作是对实数系进行严格化。实数分为有理数和无理数，有理数能被化归为两个整数的比，但直到19世纪中叶，人们还不清楚如何给出无理数的精确定义。如果能把实数归结为有理数，再归结为整数，那么分析中所有的概念就都可以由整数概念导出：这就是“分析算术化纲领”。在1872年左右，魏尔斯特拉斯、J.W.R.戴德金、G.康托尔等人各自发展出了不同的实数理论，其中戴德金的“分割”理论是现在通行的。实数被归结为自然数（正整数）和集合概念。在此之后，戴德金（1888）、康托尔（1874）等人继续研究自然数理论，把自然数还原为集合。 这样，集合概念就数学成为了数学中最基础的概念，数学中的基本概念都可以被还原为集合概念。康托尔的集合论首次对无穷集合的大小（即基数）进行了探讨。但人们很快就发现集合概念蕴含着悖论。比如，依据康托尔的理论，由所有的集合所构成的集合V的基数，应该小于V的幂集的基数；但后者也是V的子集，它的基数不应大于V的基数（此即“康托尔悖论”）。B.A.W.罗素在1902年提出的著名的罗素悖论更为致命，因为它不依赖于复杂的基数理论。这些悖论的发现，揭示了集合这个初始概念本身是不清楚的，这就导致了20世纪初的数学基础危机。为了回应悖论，数学家们开始自觉地进行基础研究，由此形成了逻辑主义、直觉主义、形式主义等20世纪三大数学基础流派。但最终这些基础研究都未成功，同时发展出的公理集合论成为了事实上的数学基础。 数学基础研究三大流派狭义上的数学基础运动特指上述这三大流派的研究。逻辑主义（Logicism）的创始者为G.弗雷格。弗雷格试图把数学还原为逻辑，而逻辑被他认为是分析性真理。他在形式上成功地把皮亚诺算术的基本法则还原为了他新创立的逻辑系统。但是，罗素指出这一系统的第五原理，蕴含着罗素悖论。为了回避悖论，罗素和A.N.怀特海试图通过类型论来继续逻辑主义研究纲领。但是，类型论限制下的逻辑系统并不足以推导出所有的算术基本法则。在当代，C.赖特（Crispin Wright）等人提出了新逻辑主义纲领，认为弗雷格式的还原皮亚诺算术的计划，并不需要有问题的第五原理，而只需要更弱的休谟原则，而休谟原则是一致的。 直觉主义又称构造主义，创始人L.E.J.布劳威尔，受康德式的唯心论影响，他认为数学活动本质上是心灵的自由创造活动，而自然数、实数、证明等数学对象都是心灵的构造物。由此，直觉主义者并不承认实无穷，而只承认潜无穷，以此回避了承认无穷集合所带来的悖论。在逻辑中，他们拒绝排中律，也不接受双重否定，因此他们也不承认非构造性的证明。直觉主义数学对于经典数学的理论和实践作了诸多限制，在高等数学中其不方便之处更为凸显，由此难以为实际工作中的数学家所接受。 面对直觉主义者对数学的冲击，为了保存经典数学，D.希尔伯特的策略是把经典数学中的一部分，即有穷主义数学，作为有特权的部分，用它们来证明经典数学的可靠性。有穷主义数学不能使用实无穷，也不能使用潜无穷，所以其中并不能使用全称量词和存在量词；此外，这一部分数学只能使用原始递归函数。通过有穷主义数学，希尔伯特希望能够严格地证明经典数学的保守性，即借助经典数学证明的有穷主义数学的命题是真的。他发现要证明保守性，只需要证明经典数学的一致性，由此，用有穷主义数学去给出经典数学的一致性证明就成为希尔伯特方案的核心。他证明的思路是把经典数学的一致性、保守性等语句，编码翻译为有穷主义数学中的句子，它们就等同于是关于自然数的函数、关系等。至于有穷主义数学本身，希尔伯特认为它们可以只是对于有穷的具体的东西的描述。所以数学实际说来，只是关于有穷的事物的知识。经典数学中超出这一部分的内容，数学家可以正常使用，但是，它们表面上所说的那些无穷集合等并不真正存在，只是某种工具，或者说符号游戏。以此，希尔伯特的数学哲学和数学基础研究被称为形式主义。希尔伯特的学生P.贝尔纳斯（Paul Bernays）、W.F.阿克曼等人为实施这一纲领做了很多具体的工作，但随着K.哥德尔（第二）不完全性定理的发现，一般认为，希尔伯特方案破产了。 20世纪初数学基础研究的结果，是数学家们在实践中接受了公理化的集合论作为经典数学的基础。集合论悖论的产生，看似是由于对于集合概念未加以限制，人们希望通过引入集合论公理，既排除引发悖论的集合的存在性，又保障这一理论强到足以作为分析的基础。E.F.F.策梅洛、A.A.弗伦克尔（Adolf Abraham Fraenkel）等人发展出的ZFC（策梅洛-弗伦克尔-选择公理）公理集合论，是今天通行的公理集合论。ZFC公理集合论是万有理论，能够推导出经典数学的所有理论。但是，公理集合论无法被证明是一致的，人们只是在事实上迄今为止未在其中发现悖论（矛盾）；并且，其中的选择公理的地位一直为人所质疑。虽然数学仍未建立在严格的基础之上，但20世纪30、40年代后，大部分数学家已不再关心数学基础的问题 扩展阅读
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