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第二十一课时 康托尔与第三次数学危机

 荟文苑 2019-04-18

教学目标:了解第三次数学危机及其发生与解决。体会数学的发展不是一帆风顺的,同时,数学的发展也要经历从不完善到完善的过程。

教学过程 

1872年,年仅27岁的康托尔在数学上放了一把火:他用有理数列构造实数R。在数学发展历史上,这是前无古人的创意。

康托尔,何许人也?

一、康托尔其人

                                                      康 托 尔

格奥尔格·康托尔(1845.3.3-1918.1.6),生于俄国彼得堡一丹麦犹太血统的富商家庭,父亲是犹太血统的丹麦商人,母亲出身艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰克福。

他自幼对数学有浓厚兴趣。1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学,受教于当时非常出名的几位数学家如:在函数论、数论和几何三个方面有较大贡献、后成为柏林大学校长的库默尔、被誉为“现代分析之父”的维尔斯特拉斯和努力统一数论、代数学和分析学的研究的克罗内克。

康托尔23岁获博士学位,以后一直从事数学教学与研究。1872年成为该校副教授,1879年任教授。1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长,1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。我国现行人民教育出版社出版的高中数学课本必修一第一章第一课时就是集合(也就是说进入高中的第一节数学课就是学习康托尔的集合)。

第三次数学危机是康托尔的集合论引发的,集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论,集合论里的中心难点是无穷集合这个概念本身。

下面,我们看一些康托尔集合论中关于无穷集合的观点:

1874年,康托尔证明了有理数没有实数多。也就是说,有理数集合与实数集合相比是元素更少的无穷集合。这个好理解。

随后,康托尔又证明了:单位正方形与单位线段上的点可以建立一一对应关系,也就是说,单位正方形的点与单位线段的点一样多。由此可以推出:空间中的点与平面上的点一样多。这个说法似乎和我们的直觉有了冲突了。

康托尔还证明有理数集合与正整数集合的元素一样多。

这同样与我们的直觉相冲突。

康托尔猜想,在自然数集合与实数集合之间是否存在一种集合,其元素一方面比实数集合少一些,另一方面却又比自然数集合多一些?康托尔猜想,这种集合是不可能存在的。这个猜想被人们称为康托尔“连续统”假设。但这个假设到底对不对呢?康托尔没法证明。当时的数学家们也没人能够给以证明。

集合论的出现确实冲击了传统的观念,颠倒了许多前人的想法,很难为当时的一般人所接受,也很难为当时的数学家们所接受,自然就遭到了许多人的反对。

其中反对最激烈的是他的老师、柏林学派的代表人物之一、构造主义者克罗内克。克罗内克认为,数学的对象必须是可构造出来的,不可用有限步骤构造出来的都是可疑的,不应作为数学的对象。克罗内克认为算术与数学分析都必须以整数为基础,他说:“上帝创造了整数,其余都是人做的工作”。就是说,人们只能在正整数的有穷范围内研究数学,至于无穷的世界则完全超乎人的能力之外。

两人的观点相互对立。冲突不可避免!

于是,克罗内克严厉批评和恶毒攻击康托尔的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义。不承认康托尔是他的学生,他断定“康托尔走进了超穷数的地狱。”

1884年,由于“连续统”假设长期得不到证明,再加上与克罗内克的尖锐对立,康托尔精神上屡遭打击,5月底,他出现了第一次精神崩溃。他精神沮丧,不能很好地集中研究,从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔。虽在1887年恢复了健康,继续他的集合论和其它工作,但晚年一直病魔缠身。1918年1月6日在德国哈雷—维滕贝格大学附属精神病院去世。

1897年,在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上,康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞。当时,瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨在他的综合报告中,明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用,向国际数学界昭示康托尔的集合论不是可有可无的哲学,而是真正对数学发展起作用的理论工具。在分组会上,法国数学家阿达玛也报告康托尔对他的工作的重要作用。随着时间的推移,人们逐渐认识到集合论的重要性。大数学家希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”,“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”,“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上,希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性,并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论而又一次受到批判时,希尔伯特对其进行了坚定的维护:“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。

康托尔集合论的创立是人类思维发展史上的一座里程碑,它标志着人类经过几千年的努力,终于基本弄清了无穷的性质。

二、第三次数学危机

越来越多的人开始承认康托尔集合理论,并成功地把它应用到许多别的数学领域中去。大家认为,集合论确实是数学的基础。而且,由于集合论的建立,数学的“绝对严格性已经取得”。

然而,正在数学家们志得意满,数学王国一派光明的时候,晴天打下一个巨大的霹雳:集合论中发现了一系列悖论!这引发了数学大地上空前强烈的地震:数学的基础坍塌了!数学王国陷入有史以来最大的恐慌和混乱中。

1、有关集合论的三大悖论

(1)布拉利-福尔蒂悖论

1897年,布拉利和福尔蒂提出一个悖论:设W为一切序数所组成的集合。因为W按自然大小顺序成一良序集,故W有一序数Ω。由序数性质,Ω必比W中任一序数都大,但由定义,Ω也出现在W中,从而将有Ω>Ω,这是矛盾的。即推出互相矛盾的命题,所以是悖论。后来就称之为“布拉利-福尔蒂悖论”,也叫“最大序数悖论”。

这一悖论没太引起数学家们的注意,反响不大。

(2)康托尔悖论

 两年之后的1899年,康托尔本人也发现自己理论中的矛盾: 

一方面,有n个元素的集合A其子集有 个,n个元素的集合其基数(集合中的元素个数)为n,而其所有子集组成的集合B的基数为 ,显然>n。因此有“康托尔定理”:任意集合(包括无穷集)的幂集的基数大于该任意集合的基数。

另一方面,据康托尔集合理论,所有的集合又可以组成一个集合,即“所有集合的集合”。显然,此集合应该是最大的集合了,因此其基数也应是最大的。       

然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的,那么,“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”,这就是“康托尔悖论”,也叫“最大基数悖论”。 

这一悖论的出现这时也没有引起多大的震动,人们觉得这似乎仅仅牵涉到集合理论的一些技术问题,只要作适当的修正,集合论仍然会成为数学大厦的基础。

(3)罗素悖论

1901年5月,罗素发表的“罗素悖论”则“剥掉了数学技术性的细节”,使其中的矛盾赤裸裸地暴露出来了!

罗素悖论,它除了涉及集合概念本身外不涉及别的。

事情是这样的:

英国数学家罗素把集合分成两种:

第一种集合:集合M本身不是它自己的元素(MM);

第二种集合:集合M本身是它自己的一个元素(MM)。

显然,每一集合,不是第一种就是第二种,两者必居其之。

第一种集合的全体构成一集合Q,那么集合Q属哪一种呢?

假设Q是第一种集合,那么Q应该是Q的一个元素,即QQ,然而满足MM的关系的集应为第二种集,于是矛盾。

假设Q是第二种集,那么应该满足关系式QQ,但是Q的任何元素都是第一种集(由假设),因而Q又是第一种集了,这又矛盾。

这种推理,称为“罗素悖论”,又叫“集合论悖论”。

罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素自己于1919年给出的“理发师悖论”。它涉及到某村理发师的困境。

理发师宣布了这样一条原则:他只给所有不给自己刮脸的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时,就认识到了这种情况的悖论性质:“理发师是否自己给自己刮脸?如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么他就不符合他的原则。

2、悖论引发了数学危机

罗素悖论揭示了一个严酷的事实:集合论是隐含着逻辑矛盾的。

罗素悖论使整个数学大厦动摇了。

由于集合论中存在的逻辑矛盾,以至于使在哲学逻辑论和数理逻辑学方面有重大贡献的数学家弗雷格在收到罗素的信之后,在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道:“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了,即在工作完成之时,它的基础垮掉了,当本书等待印出的时候,罗素先生的一封信把我置于这种境地。”于是终结了近12年的刻苦钻研。

由于建立严格的极限理论是以实数理论为基础的,而要建立严格的实数理论又必须以集合论为基础,所以集合论中出现的悖论使得实数理论成为空中楼阁,以至于在实数和连续性理论方面有突出贡献的现代实数理论奠基人狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版付印,这时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩也认为自己过去做的工作都是“废话”,声称要放弃不动点原理。

数学家们认识到,如果把数学建立在集合论的基础之上,将会使数学大厦从根基上产生深深的裂痕,这种裂痕甚至有可能使整座大厦倾覆。于是,一场关于数学基础问题的论战爆发了,数学出现了空前危机——第三次数学危机。

3、第三次数学危机的解决和影响

第三次数学危机使数学家们意识到,康托尔的集合论产生悖论的原因之一是,康托尔的集合论中有“一切集合的集合”的概念,为了不产生悖论,应当建立某种公理系统来对集合论作出必要的规定,以排除“罗素悖论”和其它悖论。

策梅罗在1908年提出一种公理系统,这种公理系统由弗兰克尔在1921年加以改进,形成了目前公认的彼此无矛盾的公理系统,简称ZF公理系统。但此系统只是避开了某些悖论,而未能说明这些悖论;此外,它不能保证将来不出现别种悖论。

从1900年到1930年左右,危机使许多数学家卷入这场大辩论中。在这场大辩论中,原来不明显的意见分歧扩展成为学派的争论。以罗素为代表的逻缉主义、以布劳威为代表的直觉主义、以希尔伯特为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生。它们都提出了各自的处理一般集合论中的悖论的办法。

1931年,哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点,争论黯淡了下来。此后,各派力量沿着自己的道路发展演化。

在这场危机中集合论得到较快的发展,数学基础的进步更快,为解决集合论的悖论从逻辑上去找问题的症结,这带来了逻辑基础的全面研究,数理逻辑更加成熟。

承认无穷集合、承认无穷基数,就好象一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论中一大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的。所以,第三次数学危机表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续着。

数学中的矛盾既然是固有的,它的激烈冲突——危机就不可避免。危机的解决给数学带来了许多新认识、新内容,同时也带来了革命性的变化。把20世纪的数学同以前全部数学相比,内容要丰富得多,认识要深入得多。在集合论的基础上,诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论,数理逻辑也兴旺发达成为数学有机体的一部分。古代的代数几何、微分几何、复分析现在已经推广到高维。代数数论的面貌也多次改变,变得越来越优美、完整。一系列经典问题完满地得到解决,但同时又产生更多的新问题。特别是二次大战之后,新成果层出不穷,从不间断。数学呈现无比兴旺发达的景象,而这正是人类同数学中的矛盾、危机斗争的产物。

不管数学以后向何处发展,数学的成就永远是人类思想的成就,是人类可以达到何种成就的证据。它给予人类勇气和信心,去解决那些一度看上去不可测知的宇宙秘密,去制服那些人类易于感染的致命疾病,去质疑去改善那些人们生活中的空间。

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