悖论含义“悖论”（paradox）一词源于希腊文“para + dokein”，原意为“多想一想”，引申为“无路可走，四处碰壁”，现译义为“似是而非的观点，自相矛盾的话”，悖论实际上是一种特殊的逻辑矛盾。一般讲以下情况都成为悖论：
数学上的悖论一般指的是第三种。数学悖论在很多情况下表现为不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以退出它为假；由它的假，又可以推出它为真。 希尔伯特给出的悖论的精确描述：如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但在这个理论中退出了两个互相矛盾的命题，或者证明了一个表现为两个矛盾命题的等价式的复合命题，那么我们说这个理论包含一个悖论。 悖论与数学危机1、希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论 希帕索斯是毕达哥拉斯学派的一个成员。他根据毕达哥拉斯定理提出了如下问题：边长为1的正方形的对角线长度是多少？如果设对角线为x，根据勾股定理，有2=x^2，可以证明，没有任何整数或者分数的平方是2. 希帕索斯悖论就是不可公度线段的出现；“第一次数学危机”就是有理数的不完备性，亦即有理数不可以完全填满整条数轴。现在我们知道在有理数之间还有大量的“孔隙”，这些“孔隙”就是“无理数”。但在当时，却使得数学家经历了极度的思想混乱。 危机解决 古希腊数学家、天文学家欧多克斯建立起了一套改进毕达哥拉斯理论的完整的比例论，欧多克斯用巧妙的方法避开了无理数，但保留住与之相关的一些结论，从而初步解决了由无理数出现而引起的数学危机。 欧多克斯首先引入“量”的概念，将“量”和“数”区分开来。用现代的术语来说，他的“量”指的是“连续量”，如长度、面积、重量等；而“数”是“离散的”，仅限于有理数。 这次数学危机不仅导致了无理数的诞生，使数的体系变得更加丰富和完备，还使得古希腊数学家不得不承认直观和经验并非绝对可靠。因此他们开始对一些凭经验而得到的几何知识要求用严格的推理加以证明。正是这个过程中，促进了伟大的欧式几何的诞生。 问题的最后解决是在19世纪下半叶，这时现代意义上的实数理论已经建立起来，无理数的本质被彻底搞清楚。无理数在数学中的合法地位的确立，不仅拓展了人类对数的认识，同事也彻底、圆满地解决了第一次数学危机。 2、贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论数学史上的第二次危机发生在18世纪，涉及的是微积分理论基础的问题，是由贝克莱悖论引起的。 17世纪下半叶，随着科学和技术的发展，牛顿和莱布尼茨几乎同时各自独立发现了微积分。微积分一问世，立即就显示出它的非凡威力，实际计算中的许多疑难问题运用这一数学工具后马上变得易如反掌。但是当时的微积分理论还是很不严格的，不仅缺乏令人信服的严格的理论基础，在推导过程中还存在着明显的逻辑矛盾。其中最明显的是，牛顿、莱布尼茨的理论都建立在无穷小分析上，但是他们自己对“无穷小量”的理解与运用却是混乱的。 英国大主教贝克莱抓住牛顿对无穷小量概念的不清晰，对微积分理论进行了猛烈攻击。例如他举例了牛顿的流数发计算的导数的过程：先对x取一个不为0的增量,由 （x +
x）
^2 - x^2 ① 得到 2x
x + (
x)^2 ②之后，再被
x除，得到 2x +
x ③ 最后，令
x = 0 ④ 求得导数为 2x ⑤ 贝克莱支出：“无穷小最初不是零，才能在由②到③的过程中作除数；而在④到⑤时，又作为零而舍弃，这违反了矛盾律。无穷小如果是零就不能作除数，如果不是零，就不能舍弃。”贝克莱说牛顿的方法是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。贝克莱的攻击虽说是出自维护神学的目的，但却抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。这就是著名的“贝克莱悖论”。 笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否是0”的问题：就无穷小量在当时的实际应用而言，它必须既是0，又不是0；但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了很大的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。 危机的解决微积分的各种问题和矛盾，最根本的缺失是极限的概念和理论。 法国数学家柯西为分析基础的严密化做出第一份实质性贡献，他给出了分析学中连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等分析学的一系列基本概念的较为严格的定义，让分析学简历在了较为坚实的基础上。 柯西这样定义极限：
柯西给出了无穷小一个准确的概念，完全摆脱了与几何直观的联系。接着又以极限概念为基础，建立了连续、导数、微分、积分以及无穷级数等较严格的一般理论。不过，由于当时实数的严格理论尚未建立，所以柯西的极限理论还不可能十分完善。 19世纪70年代，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人经过各自独立的深入研究，发现数学分析的无矛盾性可以归结为实数理论的无矛盾性，他们用不同的方法建立了完整的实数理论，最终完成了分析学的逻辑奠基工作，从而使微积分这座人类学史上空前雄伟的大厦建立在了牢固可靠的极限理论与实数理论基础上。这项伟大的工作结束了当时数学中的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决，贝克莱悖论也自然迎刃而解。 3、罗素悖论与第三次数学危机（1）、康托尔的集合论在第二次数学危机的解决过程中我们已经看到，极限理论的最终完善依赖于严格的实数理论的建立。由此康托尔开始探讨前人从未涉足的实数点集，这就是集合论研究的开端。 19世纪70年代，康托尔开始提出一般“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看做一个整体，就称为一个集合，其中各事物成为该集合的元素。 （2）、罗素悖论与第三次数学危机康托尔的集合论是没有使用公理化的，站在今天公理化的角度分析一下，他的论证基本上依赖于下面三个公理： ①外延公理：集合由它的元素决定，即两个集合元素相同则它们相同 ②抽象公理：任给一个性质，都有一个满足该性质的客体组成的集合 ③选择公理：每个集合都有一个选择函数 这三个公理，第一个是没有任何问题的，但其他两个就包含了巨大的隐患。英国数学家、哲学家就是抓住抽象公理的缺陷，提出了著名的罗素悖论。 罗素悖论 罗素构造了一个集合S:S={x|xx},即说，S由一切不是自身元素的集合所组成。然后问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但当你试图回答这个问题时，你马上会发现陷入了两难境地：如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。总之，无论怎么回答，前提与答案都是矛盾的。 （3）、集合论公理化与悖论的排除数学家们针对问题的根源提出了解决问题的思路：既然罗素悖论是由于朴素的集合论思想不严密而造成的，那么就要建构更加严密的集合论，在朴素集合论的概念里加上一些限制，以防止不适当集合的出现，也就是希望通过对集合定义加以限制来排除悖论。这样，公理集合论就逐渐发展起来。 1908年，策梅洛第一个提出用公理化集合论体系来消除罗素悖论。他的公理化集合体系的原则：“这些原则应该足够地狭窄，足以排除掉所有的矛盾。同时，又要足够地宽广，能够保留这个理论所有有价值的东西”。策梅洛用“分离公理”替换了“抽象公理”，不承认自己包含自己的集合，从而就消除了罗素悖论。 后人经过严格处理和补充，形成了严格的公理系统，最具代表性的是ZF或ZFS系统。Z代表策梅洛，F代表弗兰克尔，S代表斯克兰姆。这些公理化集合系统的建立，很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。 第三次数学危机使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究，掀起了“对数学进行一场批判性的检查运动”。这场运动不仅使数理逻辑更加成熟，使数学有个更严实的基础，而且还产生了公理化方法论以及实变函数论、点集拓扑学、抽象代数学等新的数学学科。 4、悖论的意义（1）数学悖论是在数学学科理论体系发展到相当高的阶段才出现的，是对数学学科理论体系可能存在的内在矛盾的揭示，是该理论体系发展陷入某种危机的表现。 （2）数学悖论的出现虽然暂时引起人们的思想混乱，对正常的科学研究可能形成一定的冲击，但它对于揭露原有理论体系中的逻辑矛盾、缺陷或局限性，对于进一步深入理解、认识和评价原有科学理论，对于原有科学概念或理论的进一步充实完善和促进科学理论的产生都有重要的意义。 （3）爱因斯坦曾经说过“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题，也许是数学上或实际上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题都需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步”。数学悖论提出的正是数学家们无法回避的问题，它迫使数学家们投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了，数学由此获得了蓬勃发展，这正体现了数学悖论的重要意义和特殊作用。 |
|
|
