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译者 | [遇见数学翻译小组] 核心成员 Atena
编辑 | 公理 我们难免会遇到人生中这样或那样令你错愕的场景，出乎预料的事情扑面砸来，职场、社会压力、生活焦虑……真的很想熬过那个时间，克服或忘记曾发生过什么尴尬。
如果作为一个数学人，当原本以为严谨、精确的数学却发生令你大失所望的事情，又该怎么面对呢？数学一直致力于对客观世界的探求，无论是通过逻辑思考还是通过使用严格定义的数学语言去阐述的这种方式。不过当数学的世界在某一瞬间突然失去了这些意义后，还能够用心去观察数学，那么这就真的很有启发性，富有教育的意义是多方面的。无理数的发现因为数学的严谨源自于古希腊，数学思想最初是紧密围绕宗教信仰，因此，数被赋予了神圣的属性。毕达哥拉斯学派，一个早期数学的神秘团体，它推动了数学知识的发展，像所有的狂热者一样，它建立在原教旨主义之上。他们为比例能够运用到每个实际问题而感到震撼，因此相信比例都是神圣的，这样他们也可以对世界上发生的任何事做出解释。▲ 毕达哥拉斯主义者庆祝日出，Fyodor Bronnikov作(图自维基)那么相应的，引发第一次数学危机的根号2世界上发生的每一件事都应该用比例来表达，对吧？
现在想象一下，当刚问世不久的毕达哥拉斯定理得到应用，就发现了 时候的那种震惊。这个无理数（无理数即不能由两个整数的比值来表示）颠覆了由比值的神圣性所表达的世界秩序，并向其整个哲学体系抛出了质疑！被这个革新式的发现所带来的影响而震撼到的毕达哥拉斯学派学者们决定不要将其告诉任何人。据说，他们还把揭开这个奥秘的人——希帕索斯——给淹死了。
● 推荐视频《引发第一次数学危机的√2》无穷无理数的发现把古希腊人领向了新的一个发现，它更为震慑人心，那就是：无穷！因为无理数的特征就是具有无穷数量的十进制数位，于是古希腊人当时必须构思出一个合理的解释来说明怎样创造无穷数量的数。即使是在现如今无穷的概念都很难去理解，更不用说在当时那个宗教与科学紧密相连的时代，而且数学里的信仰不能挑战对上帝的认知。▲ 无限大的符号是1655年由英国数学家约翰·沃利斯开始使用所以，古希腊人是怎么做的呢？像亚里士多德和柏拉图这样的哲学家，他们反对绝对的无穷这种概念，于是有数学家们就想出了别出心裁的办法来规避无穷在几何里的发展，比如小亚细亚尼多斯的 欧多克索斯，他发明了穷举法来计算面积。
17世纪牛顿和莱布尼茨通过运用无穷小量(Infinitesimals)来鼓励重视无穷这个概念，但因不严格使用引来一些批评者的攻击。直到 19 世纪后半叶，才由维尔特拉斯、康托尔和戴德金等人以极限概念为基础来解决。芝诺悖论当谈及哲学推理的时候，古希腊人当然做出了巨大的贡献。古希腊人的先辈赫拉克利特断言世间万事万物都在不断变化，之后，巴门尼德断言并非如此。因此，运动纯粹只是个幻象，于是即便用古希腊人所认为的描述真理的数学也不太可能。芝诺，巴门尼德的一位学生，构思出了一系列的悖论，目的是为了证明运动的无理性。其中最著名的一个，就是“阿喀琉斯与乌龟”：阿喀琉斯在追一只乌龟，而乌龟则是很缓慢的，但是给定一个条件即这只乌龟在起跑时领先阿喀琉斯100米。简单来讲，如果我们假定：这两个竞赛者的速度各自保持恒定，并且阿喀琉斯的速度是乌龟速度的十倍；于是我们可以说：当阿喀琉斯到达乌龟最开始的那个起点（即100米）时，由于乌龟已经向前爬了10米，于是阿喀琉斯还得再跑10米为了能追上，接着当他到达这一个新起点的时候，乌龟又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向这个1米……这道高中数学题，就这样简单明了，把我们引向了一个如下的悖论：阿喀琉斯永远也追不上乌龟，无论他有多快。芝诺的这个悖论让运动听上去不符合逻辑。芝诺的悖论被相信存在于形而上学的领域，它困扰了哲学家和数学家很久，但是如今可以用微积分来解释。而微积分学，这是古希腊人当时没有掌握的数学工具。有趣的莫比乌斯带，是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·李斯丁在 1858 年独立发现的。它是一个只有面和一条边的曲面，常常被用来迷惑数学新生。
其实你也可以简单地做一个莫比乌斯带：拿一个纸条，扭一下然后把两端连接起来。莫比乌斯带，作为第一个不可定向标准范例，也没有像其他那些发现那样动摇数学的基础，它反而是提供了很多实际应用，譬如一种从莫比乌斯带得到灵感的传送带能使用更长的时间，因为可以更好的利用整个带子，或者用于制造磁带，可以承载双倍的信息量。也启发了数学家们构想出更多不可定向曲面，譬如克莱因瓶。它的命名很可能来自于一个双重巧合：德国数学家菲利克斯·克莱因提出这个概念，起初命名它为 Kleinsche Fläche”(克莱因平面)，但后者发音与Flasche 很相似，而其发育在德语里的意思是“瓶”，后被广为流传，最终也沿用了“克莱因瓶”这种叫法。康托尔的实数集合不可数解决无穷的难题已经够困难了，而康托尔在 1874 年证明了实际上有不同的无穷。尤其是证明了实数集合的不可数性，他证明了这个集合比自然数的现存无穷集要大一些。
▲ 康托尔的对角线法论证说明存在不可数集。比如底部的序列不会出现在上述序列的无限列表中的任何位置。(图自维基) 1891年，康托尔给出了对角线法，通过一一对应的方法对无限集合的大小进行比较，并将能够彼此建立一一对应的集合称为等势，即可以被认为是“一样大”的。他引入了可数无穷的概念，用来指与自然数集合等势的集合，并证明了有理数集合是可数无穷，而实数集合不是可数无穷，这表明无穷集合的确存在着不同的大小，他称与实数等势（从而不是可数无穷）的集合为不可数无穷。对角线法是一种如此优雅的证明，后来被用作一种来证明悖论的工具。
罗素悖论伯特兰·罗素是一位数学家、哲学家、逻辑学家、历史学家、作家、社会批评家、政治活动家，以及，在我看来，一位值得学习的人物，能从他身上受到启发！1901年，罗素发现时至当时已是完善建立的康托集合论存在一个有瑕疵的地方，这把他引向了一个矛盾：任给一个性质，满足该性质的所有集合总可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论。罗素悖论的一个更为通俗的例子叫作“理发师悖论”，如下：有一个小城，它有这样一个规矩：凡是不给自己刮脸的人都要去找理发师刮脸。很尴尬的问题便是，那么谁来给理发师刮脸？这个发现让罗素质疑传统集合论并开创了一个新的集合理论，比之后的策梅洛-弗兰克尔集合论还要复杂。哥德尔不完备定理库尔特·哥德尔是奥匈帝国的一位逻辑学家、数学家和哲学家。他震撼了19世纪的数学与逻辑学，其最杰出的贡献是哥德尔不完备定理和连续统假设的相对协调性证明。
▲ Kurt Gödel, 摄于1925(图自维基) 我们正在讨论的二十世纪，人们不仅仅是想知道，而且还想知道有没有可能去了解并证明一个东西。人类想要了解宇宙，哥德尔在1931年发表了两个定理，统称哥德尔不完备定理。
解释技术细节和接受结论一样困难，正如哥德尔所证明的那样，考虑一个相容且完备的系统，比如算术语言，有些命题都是真但无法被证明。哥德尔受到说谎者悖论（“这句话不能被证明”）的启发，用了一个简单的描述展示了他定理的正确性。如果为真，那么这个命题是真且不能被证；如果为假，那么这个命题能被证明，而这又与初始描述“这不能被证”相悖。这些对数学来说都是坏消息，因为剥夺了人们对于阐释绝对真理的原始欲望。同时，希尔伯特式对知识的探求再度席卷而来，用他的话说就是：“我们必须知道，我们将会知道”。塔斯基不可定义定理塔斯基受到了哥德尔的启发，于1936年证明了我们无法在算术系统中定义何谓“算术的真理”。尽管塔斯基的发现也包含在哥德尔的成果之中，但可以说塔斯基所做的有更深远的哲学影响力。他成功得出了这样一个通用的结论，即：世上没有任何直译语言足以表达出它本身的语义。这个定理可被推广成适用于任何足够强的形式系统，以表明：我们无法在系统中定义何谓“系统标准模型的真理”。这对一个数学家来说，再企图寻找”一种元语言去统领一切”是毫无意义的。停机问题艾伦·图灵曾尝试解决“决策问题”。该问题用简单的话描述就是：致力于找到一个算法它能够回答一个命题是真是假。为了解决这个概念上看似简单实际却难以处理的问题，图灵把它重新阐述为：是否能判断任意一个程序是否能在有限的时间之内结束运行。停机在这里的意思是不会永无止境的循环下去。但是，当你对这个机器知之甚少的时候，你怎样证明它的不可行性？于是悖论又来了。艾伦·图灵在1936年用对角论证法证明了，不存在解决停机问题的通用算法。这个证明的关键在于对计算机和程序的数学定义，这被称为图灵机。停机问题在图灵机上是不可判定问题。这是最早提出的决定性问题之一。没有免费的午餐定理当我们这篇文章终于愉快地来到了 21 世纪的数学世界时，我们可以看到，数学，它从纯数学、从哲思式的数学，有序迈向了应用领域，譬如数据科学、统计学以及最优化。如果你认为自己很感兴趣优化，你不觉得这会让你成为一个完美主义者么？而完美主义者不正是追寻最优途径去优化事物么？似乎 David Wolpert 和 William Macready 感觉到了这样的需求并且想出了一个解答。他们1997年发表的“没有免费午餐定理” 指出的 ：任何两个优化算法都是等价的，当算法的性能在面向所有可能问题而趋于平均的时候。这也许会很心伤，但这不代表优化是无谓的。我们只是从来都找不到一个通用的最优方法去实现它。
▌结语 上面这些就是让数学感到尴尬大事件，这里我们说尴尬这个词，是对绝望、混乱的轻量级描述，而实际上这些纷繁问题都是数学家们经历过的内心体验。但无论怎样，每一次撼动数学的问题也都是对科学向前发展的又一级助推。数学领域是靠创造维系发展的，我们有图灵机，有很炫酷的几何曲面。最重要是，我们拥有可以反复检验心中的预期以及相应于此去合理运用手头工具的那种能力。这些曾充满质疑的伟大时刻帮助了人们能够更睿智地繁衍生息与发展。
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