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本系列文章预计会有10个章节，这套文献将系统的讲述物理学本身，今天是第二季第3篇，本篇为选读。 今天我们继续阐述“芝诺悖论”之二分法悖论“，即运动是不可能的。因为所有运动的物体在到达目标之前，首先要到达其一半的地点，而在到达其一半地点之前，还要到达其一半的一半。如果依此类推，运动就连起点也不会存在。”
“芝诺悖论”引发了一个关于连续性的哲学问题，柏拉图主义认为，数学上的连续性是精神的实在，而经验是对精神实在的认识。 亚里士多德认为，当两个互相接触的物体各自的端点成为两者的共同端点时，就会出现连续的连接，连续统（直线）可以被分割，但不能被分割尽。这就是说，不能把线段无限地分割到最终变成“点集状态下”。 芝诺悖论涉及“点”的语义学表达：一个点有没有体积？如果体积是零，加起来岂不还是零？如果体积不是零，无穷的点加起来体积应该是无限大的？ 亚里士多德可能已经看到这个困难，所以坚决反对直线（或物体）由无穷多个点组成的看法。但是，正如伽利略指出的那样，由有穷的不可分的东西组成的东西，又怎能连续变化呢？ 一般来说，我们的直觉上认为“连续性”的感觉和概念是不言而喻的，但数学上的“连续性”问题却要复杂得多。 芝诺悖论导致了连续性的问题，而连续性与无理数的奥秘相关，与无穷大及无限细分密不可分。如果没有发现毕达哥拉斯定理，就不会发现无理数。无理数的发现在数学史上是极其重要的。 在数学上，无理数就像芝诺的二分悖论一样，是试图表达和解释数轴上连续性的一个结果。 二分悖论就是把一个连续的物理过程分解成一个无穷多步的离散过程。所以，二分悖论可以看成是历史上第一次企图在数学上表示连续性。无理数是有理数轴在技术上不连续的原因。无理数代表有理数轴上的缝隙或洞眼。通过这些缝隙，无穷大没完没了地闯进并搅乱了整洁的古希腊数学。
01 救世主“戴德金”登场 19世纪后期，人们发现，揭示无穷大或无穷小最直观的方法可以使用古希腊的一项数学遗产：数轴。德国数学家戴德金提出了无理数的一个严格理论或定义，而对实数在数轴上地位的最全面充分的处理来自康托尔。 数轴真是太重要了，既直观又具有科学代表性，你可能觉得现在数轴就是一个三岁小孩都直到的概念，但是在人类历史上数轴的发现与使用却经历了一千多年。 人类对数的认识，经历了自然数、整数、分数、有理数、无理数和实数等阶段，这些数在数轴上都可以体现出来。 数轴是规定了唯一的原点、唯一的正方向和唯一的单位长度的直线。所有的实数都可以用数轴上的点来表示，也可以用数轴来比较两个实数的大小。实数（R）包括自然数、整数、分数、有理数、无理数。 通过数轴可以把数和几何形状看成差不多一样的东西。数轴是一个威力无穷的工具。同时，它也是一个连续体，即一个结构或分布是连续的不可分割的实体和物体的理想连续统。通过数轴，可以完美体现芝诺悖论所要表达的内容。数学实体和实际物理空间之间的关系就是离散和连续的关系。 每个数对应一个点。数轴不仅包含所有的点，而且也决定了它们的顺序。所以，数完全可以由它们在数轴上相对其他数的位置来定义。根据定义，数轴是可以无限延伸的，是无穷密的，即任意两个点之间总是存在第三个点，它们都是相继排列或有序的。人们常说：“自然数无穷多，实数轴无限长。” 可以想象，尽管有理数稠密，但它们还是在实数轴上留下了“空隙”。也就是说，有些点不对应于任何有理数！数轴上0到1的有限区间不可想象地拥挤，非常稠密。这里不仅有无穷多个分数的无穷序列，还有无穷多个无理数。每个无理数只有用无限不循环的十进制数序列来表示。
02 整体 = 部分 历史上，第一个认真思考无穷的科学家是伽利略，伽利略考虑了2个无穷，放在今天来看就是自然数无穷（1，2，3...)和全体偶无穷(2，4，6，8...)。 伽利略问自己一个问题，是自然数多，还是偶数多呢？ 一方面，似乎应该是第一个较大，因为它不仅包含第二个集合中所有的数，而且还包含其他的奇数。但另一方面，对于第一个集合中的每个数，在第二个集合中都有一个确定的数与之对应。
对于第二个集合中的每个数，在第一个集合中也有一个确定的数与之对应。按照两个集合中这种一一对应的关系，第一个集合应该与第二个集合一样大。在证明这个结论时，伽利略表现出了一个显著的重点转变，因为他没有像亚里士多德那样，从量的角度考虑无穷大，而是像柏拉图那样，把注意力集中到作为数或者集合的无穷大上面。 但是，伽利略通过一一对应发现“部分与整体相同”时，他没敢再往下想，得出结论说：“无穷量和无理数在本质上对我们来说是不可理解的。”
03 问题的答案——无穷集 康托尔曾提出这样的问题： 一个线段上的点与一条无穷长的直线上的点一样多吗？ 一个平面上的点能和一条线上的点一一对应吗？ 在直觉上，答案似乎很明显是“不能”，证明它似乎显得多此一举。 但是，康托尔经过几年的思考和探索，利用他著名的“对角线法”解决了这个“无聊”的问题。
他的答案是：“能”。康托尔在1874年发表的论文，证明了一条线段上的点要比自然数多；不同长短的两条线段上的点也是一样多；线段上的点和平面上的点以及立体空间上的点一样多！ （1）线段AB的点与半圆CD的点一一对应，证明这条线段与这个半圆有一样多的点。（2）这个半圆的点现在与整条直线的点一一对应，所以，一条有限的线段与一条无限的直线有正好相同数目的点 康托尔是从建立明确的无穷集的定义入手而获得成功的。一一对应，是人们认识事物间数量关系的最基本的方法。什么是无穷集呢？ 康托尔认为，可以和自己的某一部分之间建立一一对应的集合叫无穷集。无穷集合的最基本特性是它能够与其自身的真子集一一对应。 芝诺悖论从某种意义来说，这不是一个物理问题、或哲学问题，其本质其实是个数学问题，而这个数学问题却让人类困惑了两千多年！ 所以，无穷并不是一个数，实际上是一种趋势，一种不断趋近于零的趋势。阿喀琉斯追赶乌龟的结论，就是无穷小趋近与零的速度，比分割次数趋近于无穷大的速度要快。 龟跑过的点与阿喀琉斯跑过的点一样多。因为在赛跑中这段时间的每一时刻，他们各自要占据一个确切的空间位置。因此，龟所通过的无穷的点的集合，与阿喀琉斯所通过的无穷的点的集合，两者之间有一种一一对应的关系。 但是，如果说阿喀琉斯必须跑过更长的距离才能赢得比赛，所以他必须比龟跑过更多的点，则是错误的！因为康托尔的集合理论明确地告诉我们：任意两条线段，无论它们的长度如何，都具有相同数量的点！ 芝诺悖论的问题并非阿喀琉斯将什么时候或者在什么地方追上乌龟，而是他怎样追上乌龟。芝诺悖论让人的思维认为：无穷个无穷小相加（也即乌龟每次都在阿喀琉斯前边，但这个间距越来越小）=无穷大（无论跑多远）！事实上，上面的等式是错误的！ 学过极限的人肯定知道，在这里无穷个无穷小相加等于一个有限值（阿喀琉斯追上乌龟的距离），数学上称为极限，并非无穷大（无限远），所谓无穷大只是人们思维想象的结果。 但是，极限概念要等到18世纪才开始出现，19世纪才严密化！由于没有“极限”的范式思维，芝诺悖论让人类困惑了两千多年！ 总结，关于芝诺悖论和相关的数学故事本篇就先谈到这里！ |
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