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之前做了很多期物理基础理论方面的科普，在闲暇之余看到有关数学方面的知识，感到很有趣，主要关于有理数，无理数以及无限的概念。 本人在学生时代对数学非常感兴趣，所以如今虽然毕业多年，又抽空专门了解了一些数学方面的知识，今天跟大家一起分享一下。如果有不对的地方，还望多多指教。 我会尽量以通俗的语言去描述，尽量去掉一些复杂的数学公式推理，毕竟科普的目的是让大家觉得通俗易懂，而不是向大家传授专业知识，专业的东西我也不太会。但是通俗难免会不太严谨，希望大家明白。 
好了，回到今天我要说的正题：在数轴上随机取一个点，有理数的概率为0。 看到这里，肯定有人开始不淡定了：你又在这里胡扯呢？数轴上对应的是实数，包含了有理数和无理数，随机取的点，有理数的概率怎么可能是零呢？ 这里强调点，概率为零，并不意味着一定不能取到有理数，概率和现实并不是完全等价的。你可以通俗理解为取到有理数的概率无穷小。 为什么会这样？ 通俗理解就是，虽然实数等于有理数加上无理数，但有理数在实数面前就是个渣渣，不用管，完全可以忽略不计，所以结果就是： 实数=无理数！ 因此在数轴上随机取一点，这个点是无理数的概率为100%，有理数的概率为0。 
没错，无理数就是这么“霸道”，虽然实数是有理数和无理数之和，但事实上实数和无理数是一样多的，数学家们早就证明了这点，这里就不再证明了，证明过程我也看了，有些繁琐。因为两个集合，也就是实数集合和无理数集合可以一一对应。 只要两个集合能一一对应，这两个集合一定是相等的。 
“无理数和实数一样多”明显违反了我们的直觉：明明实数比无理数多出了个有理数啊，两者怎么可能一样多呢？ 这就牵扯到我们对无限的理解了，我们不能用具体的有限概念去衡量无限的世界，否则很可能陷入到自己挖的陷阱里面走不出来。 再举个例子你就明白了，整数和偶数哪个更多呢？ 整数包括奇数和偶数，看起来整数应该比偶数更多，但实际上两者是一样多的，原因很简单，两个集合可以一一对应，每一个整数都有一个偶数与之对应，整数乘以2就是偶数，两者当然一样多了。 
如果你接受了“整数和偶数一样多”，自然就更容易接受“实数和无理数一样多”！ 好了，到这里只是理论上的分析，下面来详细具体分析一下有理数和无理数的性质和关系。 1.有理数和无理数都是稠密的，但无理数比有理数更稠密。 什么是稠密？简单理解就是紧挨着，就像很多人站成一排，每个人都是紧挨着旁边的人，到底有多紧？非常紧，紧到我们无法想象，紧到变态的程度。 举个例子，1和2在我们印象里挨得很近，但1和2中间还有3/2。1和1/2看起来更近吧？但它们之间还有3/4...... 如此类推下去，我们会发现，无论两个有理数挨得有多近，当把它们扒开之后就会发现，两者之间还有无数个有理数！ 这就是所谓的稠密。 有理数已经这么稠密了，无理数竟然比有理数还要稠密，这让我们更难理解了。不要着急，之后会一点点分析。 
关于稠密，很有必要强调一点，所谓的“稠密”并不意味着是连续的，通俗理解就是，尽管有理数非常稠密，但远不能把数轴都填满，数轴上还有更稠密的无理数。 通俗理解是这样的，不管两个有理数挨得有多近，总能在两者之间找到其他有理数。 也就是说，有理数所谓的稠密，只是建立在“有理数”这个概念上的，是“有理数的稠密”。但稠密的有理数并不是连续的，这意味着，不管两个有理数挨得有多近，中间也会有无数个无理数。 但是无理数的存在并不影响有理数的“稠密性”。打个有些吓人的比喻，有50个人紧挨着站成一排，肯定是稠密的，但每个人中间都存在无数多个“鬼”，但“鬼”的存在并不影响人的稠密性！ 2.无理数是无限不循环小说，其实也可以这么理解：在小数点后面随便乱写，就是无理数。 
我们都知道，无理数是无限不循环小说，不循环通俗来讲就是没有规律，就是随便乱写的。既然有无限不循环，那就有无限循环，无限循环小数是有理数，而只要是循环的小数，就一定能写成分数，因为循环节的出现就意味着余数的重复，这点其实并不难证明，这里也不再证明了，不太明白了可以直接用无限循环的分数做除法竖式，看看余数和循环节什么时候出现，很容易就明白了，比如说1/6，你可以试试。 而无限不循环小数，都不能写成分数。无限不循环让人感觉有点不舒服，好像一个妖孽一样，如此让人捉摸不定。但是我们可以尝试用有限小数来理解无理数。 随便举个例子，你可以在键盘上随便敲击一个无理数，，这个无理数是真随机数，比如说0.6754837263...... 这个数就是我闭着眼睛随便敲键盘敲出来的，你也可以随便敲。 很明显0.6＜0.6754837263......＜0.7 把范围继续缩小，就是0.67＜0.6754837263......＜0.68 继续缩小，就是0.675＜0.6754837263......＜0.676 如此类推，不断缩小范围，精确度越来越高，我们就能逐渐看出来无理数到底是一个什么样的数。 有人可能会质疑：上面那个无理数真的存在吗？难道你随机用键盘敲击出一个小数就是无理数吗？ 
确实是这样，而且只要存在有理数，那么必然会存在无理数。 更不可思议的是，之前说了，有理数是稠密的，但稠密并不代表连续。如果无理数看到有理数如此稠密，肯定会这样想：你们彼此之间确实挨得非常紧，但我还是觉得你们家里好空，所以我想进去。 别说，无理数还真的进去了，尽管有理数是稠密的。不但进去了，而且所有的无理数都进去了。 进去之后，我们就发现，有理数和无理数一起组成了一个新的大家庭，也就是实数，所有的实数与数轴是一一对应的，这又顿时让我们觉得非常舒适，全然没有了刚才无理数的“无理”感。 3.数轴上为何几乎全是无理数？ 
虽然有理数和无理数一起组成了实数，但现实情况是，无理数要比有理数多得多。虽然有理数和无理数都是无穷多，但两个无穷完全不是一个等级的，无穷也是有大小的。打个比方，无理数的无穷是有限的无穷，而无理数的无穷是无限的无穷。 可以这样通俗理解，如果有理数的数量是1，那么无理数的数量就是所有的整数！ 
这就来到了题目中的问题，在数轴上随便砍一刀，砍到有理数的概率为0！而砍到无理数的概率为100%！ 当然，这里还要继续强调，概率为0并不代表不可能事件，概率为100%也不代表必然事件。当然这里的概率只是一个概念，更多的是指数学上的概率分析。关于这点不再过多解释，你只需要选择相信就可以了，不相信的送两个字：民科！（好像有点霸道，呵呵） 这里有一个疑问，无穷多和无穷多到底该怎么比较大小呢？ 其实刚才已经对比过了，简单说就是利用集合的概念，两个无穷的合集只要能一一对应，就是一样大的，反之就不一样大。 
比如偶数和整数两个集合就能一一对应，偶数和整数就是一样多的，刚才也证明了。 这种思想最早出自于康拓尔，他还提出了一个“可列”的概念，比如，上面提到的整数，偶数和奇数都是“可列”的，所以它们的数量一样多。 这里强调一下，“可列”这个概念是翻译过来的，也有翻译成“可数”的，两者是一个意思，不过我感觉“可列”更能表达原意。 整数，偶数和奇数都是“可列”的，那么有理数也是“可列”的吗？ 答案是肯定的，证明方法其实很简单，因为有理数其实就是分数，用p/q来表示，这里只需要把p+q按照从小到大依次排列就可以了，结果就是： 1/1, 1/2, 2/1, 1/3,2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1 很明显，有理数也是“可列”的。那么问题来了，无理数是“可列”的吗？ 答案是否定的，无理数并不是“可列”的。为什么？如何证明？有一个绝妙的方法，还是康拓尔提出来的，“对角线证法”，具体过程可能比较复杂，这里尽量以通俗的语言来讲述，利用的是反证法。 假设无理数是“可列”的。 尝试列出0到1之间的所有无理数，当然我们不可能真的全部列出，只需要闭着眼睛对着10个数字键盘一通盲打就可以了，顺序并不重要。比如说打出了一下无理数： 
仔细观察，我们会发现一个规律，所有的无理数组成了一个矩形阵列，并且列数和行数都是一样的，都是n，这意味着上面所有的无理数组成的是正方形阵列。 如此一来，我们就可以从无理数的左上角到右下角直接划出一个对角线，对角线就会穿过第一个行，也就是第一个无理数的第一列，然后穿过第2行第2列......直到穿过第n行的第n列。方便起见，我们把穿过的数字用红色标记出来，这个数字就是：859032...... 接下来我们把上面的数字每一位都加1，其实加几都无所谓，最终得到的结论都是一样的。 加上1之后，会得到数字960143......，把这个数字与上面所有的无理数对比，你会发现这个数与任何一个无理数都不同，这个应该很容易理解吧？ 这说明了什么呢？说明无论你多么努力，都不可能把0到1之间的无理数全部列出来，总会有你列不出来的无理数存在，比如上面那个数960143......。 也就是说一开始的假设：“无理数是可列的”不成立。所以无理数是“不可列”的。
其实按照康拓尔的数学理论体系，我们根据一个集合是否“可列”，可以这样更通俗地理解有理数和无理数：由于有理数是“可列”的，所以有理数的无穷是“可数无穷”，而无理数是“不可列”的，所以无理数是“不可数无穷”。 一个可数，一个不可数，两者差别太大了，完全不是一个量级的。 也就是说，无理数的“无穷”，要比有理数的“无穷”更高一级，而这种级别也被康拓尔称之为“势”！ 关于“势”这种定义，其实是很复杂的，水也很深，这里就不展开了，说实话我也没有了解得更深，能力有限，也不敢继续深入研究下去，以免路走歪了最终走上民科的道路。 最后一个问题：如何具体证明无理数比有理数多得多呢？毕竟上面只是讲述了“可列”与“不可列”的区别，并没有完全证明。 要想证明无理数比有理数多得多，当然不可能一个一个去数，也数不过来。但我们可以换一种思维，用“概率”的方式去证明。 说白了，我们可以在实数的数轴上任意取一个数，然后计算这个数正好是有理数的概率，如果这个概率是0，那么就足以证明无理数远远多于有理数。 但难题又来了，计算某个事件的概率，通常都是以有限的样本为基础的，而这次我们面对的是无穷多的有理数和无理数，该怎么计算有理数的概率呢？ 这时候我们还要跳出固有的思维，不要忘了，有理数和无理数不仅仅是某个数字，还是“一条直线”，一条数轴这样的直线就可以表达出全部实数。
那么，我们完全可以用几何去表达数学，其实这就是所谓的“测度”。何为“测度”？通俗理解就是“长度”，测量的是几何区域的长度。 这里有一个诀窍，我们只需要计算出有理数在数轴上的点的测度就可以了，也就是有理数在数轴上的点粘结起来的总长度。如果最终的测度，也就是总长度为零，那么在数轴上得到有理数的概率就是0。 如果把数轴上有理数上的点粘结起来呢？可以假设第一个有理数点的长度为x，第二个有理数点的长度为1/2x......第n个有理数点的长度就是x除以2的n次方。 为何一定要这样设定呢？因为好计算更容易理解，非要设定成其他的数，也不是不可以，只是会非常复杂，但都不影响最终的结果。 这样设定好之后，利用等比数列求和公式，我们很容易计算出全部有理数点的总长度为2x，证明过程就不需要详述了吧？毕竟这仅仅需要初中数学水平就可以做到。 这就意味着，全部有理数点的总长度是第一个有理数点长度的两倍。 到这里问题就很简单了，只需要求出第一个有理数点的长度就可以了。而一个有理数上的点的大小是多少呢？显然就是0。于是乎，全部有理数的总长度，也就是测度就是0的两倍，结果还是0。 所以有理数的测度是0，无理数的测度是1，那么在数轴上随机砍一刀，砍到有理数的概率就是0。 到这里，肯定会有人提出：你这个证明过程就是诡辩，既然点的大小是0，何必如此麻烦，不管多少个零，最终相加起来肯定还是0啊。而且用这种方式来证明无理数的长度，结果不也是0吗？ 其实这就涉及刚才所说的无穷中“势”的概念，测度论还有“可列”与“不可列”的区别。通俗来讲就是，无理数的“无穷”，和有理数的“无穷”并不一样。前者不可列，也就是不可数，而后者是可列的，是可数的。可数在不可数面前其实与0没啥区别。 你并不能用上面同样的方法计算出无理数的测度多多少，因为无理数是不可列的，并不存在“第n个无理数”，但是存在“第n个有理数”，因为有理数与整数是一样多的，两者可以一一对应。 其实还有其他方法可以通俗理解为何“在数轴上随机取一点，取到有理数的概率为零”，比如说，数轴的精度是无穷的，而有理数其实相当于一个有限精度的点，而无理数相当于无限精度的点。而刚才说了，数轴的精度是无穷的，所以在数轴上随机取的点，100%会是无理数。 最后说一点，“在数轴上随机取一个点”这种行为其实是没有意义的，因为我们根本无法定义“在数轴上随机取一个点”这种事件，这种事件并不符合概率论中随机事件的测度相关要求。
虽然无法定义，但这并不妨碍我们对有理数，无理数之间关系的理解，还有对无穷大小的理解。关于无穷的概念，您有什么看法呢？留言区讨论吧！ 完！ |
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