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首先，我们要知道，数学有很多东西都是违反直觉的，尤其是“无穷”这个概念，对于一般人而言，就是非常难以理解的。 当然，有的人会奇怪，为什么题目是点有没有面积，我却要从“无穷”这个概念说起？请听我慢慢道来。 有一个很经典的悖论叫做希尔伯特旅馆悖论，这个悖论是这样的： 假设有一个拥有可数无限多个房间的旅馆，且所有的房间均已客满。或许有人会认为此时这一旅馆将无法再接纳新的客人（如同有限个房间的情况），但事实上并非如此。 简单说，就是假如一个整数N是无穷大，那么N+1=N。 这个说法实在是有点儿让人难以理解，但是这也正是数学奇妙的地方，而且根据希尔伯特旅馆悖论，我们可以得出来很多很奇怪的结论，包括： 1）大于零的偶数与整数的数量是一样的。 2）虽然0和1之间，无理数和有理数都是有无穷多个，但是还是可以证明无理数比有理数要多。 3）假如0和1之间有N个有理数，那么1*N=2*N=3*N，只要n不是无穷大，那么n*N=N，而且也容易知道，n*N的数量依然比无理数的数量少。 当然，大部分人可以不用纠结于要向我抗议这种说法是多么荒谬、试图向我解释整数就是比偶数多、无理数和有理数的个数都是一样，因为详细的证明在网上随便可以搜到，我不需要说服你。我要讲的是如果接受了这个设定，可以让我们明白点究竟有没有面积。 所以数学上有了一个很奇怪的概念：可数集。 可数集又称可列集、可数无穷集合，你可以把它想象成希尔伯特旅馆。这个旅馆的房间数量跟整数的数量一样多。而且你可以去数下去，1，2，3，……虽然你数不到尽头，但是你依然可以数。而这个集合里面的每一个对象，都住在希尔伯特旅馆的某一个房间里面。比如说，点0和点1之间的有理数放到一起，就是一个可数集。 这个时候，我们再回到原来的那个问题，但是却稍微退了一步： 点有长度吗？如果点有长度，那么我们把点0和点1之间的有理数剔除出来，然后就会发现，这些点如果有长度，那么0和1之间的长度就是无穷长。但是显然不是这样。 甚至于，我们把无穷个点连在一起（当然，这里我们还是说可数个点），这无穷个点还是没有长度。不要忘了，只有n*N中的n为无穷大的时候，n*N才可以跟无理数的数量相同，所以如果N个点是有长度的，那么0和1之间无理数点的长度依然会让这段区间的长度为无穷大。 所以，点是没有长度的，甚至于无数个点依然没有长度，只有无数个无数点，才是有长度。 这个观点的出现也是数学的一大进步，因为人们终于可以去认识什么叫无穷，点、线、面究竟应该怎么去考虑。也终于可以名正言顺的说，一个点乘以一个长度，这个图形的面积就是0，并且把这个观点应用到了泛函分析、勒贝格积分中去。 比如说著名的狄利克雷函数，在有理数点上时等于1，在无理数点上时等于0，而对这个函数积分，也就是求这个函数的面积，是0。也就是说，这个函数虽然有无数个点位于x轴上方，但是这个函数依然没有面积。 那么，点有没有面积呢？当然没有面积了。 但是同时，点又是可以构成长度、面积、体积的——这难道不是很神奇吗？ |
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