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怎样数到无穷多 (科学童话) 引子
中世纪时欧洲有两个富足和平的小国，叫巴列和里甘。人民安居乐业，两个国王也无所事事，每天凑在一起喝酒论道。一天他们心血来潮，想比比两人谁更聪明。巴列王问：“你能数多少个数”里甘国王想了半天涨红脸说：“七个”。巴列王笑了，说：“啊，那还是你聪明”。
童鞋们不要笑，他们确实是很真诚的人。现代神经生理学认为，人脑子里的记事本最多只能同时记下七个数，脑力差点的则只能同时记４－５个。这个记事本的科学术语叫“操作记忆”（workingmemory）。这个记事本虽然小，但是要记住事实，数字等等抽象概念，一定把内容先存放在操作记忆中。因为这个七的限制，我们记电话号码时一般要分成几组数来记，比如想记住巴列王的手机号13527606368 只要分成135, 276, 06863三个组，就容易多了。
嘿! 很多同学举手了,你怎么知道巴列王的电话呢? 说来话长. 我是学画画的, 别人喜欢在光天化日下画真实的风景,而我却喜欢在漆黑的暗夜里闭着眼睛泯思苦想, 捕捉脑子里的幻想画到纸上. 这样虽然我大部分的画都是垃圾, 但有时候突然一幅画会变得很值钱. 有一天, 在我Berkeley springs 的画廊,一个穿着讲究的老者对着我的一幅画发呆, 说是和他的心理很有共鸣. 那画已经拍卖过, 本来是不值钱的,放在墙角没人理. 但他既然看了那么久, 我也就狮子大开口,开了一个天价. 他说,不贵,不贵. 但他手边现金不够. 希望我到他的古董店里,用一件实物交换. 我看上了一台1970年代的古董手机.虽然已经完全不能用, 但在1970年代还完全是个科幻式的物件. 我喜欢收集这种载有原创想法的东西.
1970年代的手机和他的发明者马丁库柏( Martin Cooper,). 1973年4月, 库柏用这个手机打的第一个电话给了他的商业竞争者, 贝耳实验室的优瑟福伊构(Joel S. Engel ).
我一般白天睡觉晚上工作, 在一个沉静无声的冬夜,那台手机突然响了! 这根本不可能! 我迟疑地接了电话,那边是个老人, 讲着怪里怪气, 带南欧口音的英语.他说他叫侯赛因巴列. 是一个小国的统制者. 他说商人到北非经商带回了一个奇怪的物件,可以和不认识的人讲话, 而且那人根本不住在那个盒子里. 我虽然一直怀疑这是那天买画的老外的恶作剧,但和那老人的谈话内容却深深地吸引了我. 那天不知不觉就说了两小时. 后来我经常收到他的电话, 而且完全相信他是古代欧洲的一个国君,巴列王.
（一） 今天我们幼儿园的小盆友都能轻易数到二百，中学生更能数到无限多，我把这个好消息打电话告诉巴列国王，并让他说说感想。他有点激动, 说“这并不能代表你们未来人更聪明，你们所谓的数数都是一个一个数的，比如数到251的时候，只要记住前面一个数是二百五, 再往上加个一就行了。就象狗熊掰棒子，数了后面忘了前面，并没有在脑子里形成一个真实的数量概念。另外，一个人的寿命是有限的，你数得再快最后也还是个有限的数字，怎么也不能无限多呀，所以所谓数到无限多，不过是一个不能被人驳倒的狡辩”。
真是天才呀！巴列王并不知道若干百年之后，严格的算术学兴起，竟然象上帝创造世界那样，先定义“一”再定义“一加一”的运算。然后用一和一加一运算定义了二，再由一和N次重复的一加一运算定义了大数N. 这样所谓无穷多就是说比任何一个大数都多，因为对任何大数Ｎ都可以使用“N加一”的运算，从而产生一个更大的数。
（二）
这无穷多究竟是怎样一个概念呢？关于这个问题我和巴列王讨论了很久，他说这是个不可想象的魔鬼概念，他还说即使你们有了现代严格的数学，也许这个概念还是不清楚的。比如说，虽然无穷多是比任何大数都多，那么有没有一个比“无穷多”更多的“无穷多”呢？
这个问题近代的算数学家早就想过了，回答的办法就是“一一对应”的运算。这种方法就象在自由市场两个小摊上比较珍珠项链，如果你这串上有一个我这串上也有一个，买主就会认为两串珠子一样多。用这种方法的好处是不用一个一个地数。你这串有N个珠子，我只要有Ｎ加一个，就可以比你多。可是如果两个摊主都会N+1的把戏，买主就糊涂了，只能认为两串珠子是一样多的。我们可以把一串数字比成一条珍珠项链来。项链的里的线是数轴，上面的一个个数字比成一个珍珠。这样，比较两个无穷大的就成了在数轴上“你加一个数字，我也能加一个数字”的游戏。一一对应是个很神奇的手段, 如果你有一个无穷序列是1,2,3…..我的一个是100, 200, 300….这样虽然看起来100比1大, 100,200,300… 的数列比1,2,3…的数列看起来增长快得多,但是因为这两个数列都是无穷大, 而且能够一一对应, 这两个数列就是一样多的. 对这个道理巴列王完全同意, 他说人脑那点记忆能力太有限, 必须要用逻辑学的思辨, 在理论上达到相对的自圆其说, 才能使算术超越形象思维的限制. （三） 一一对应这个游戏虽然好玩，但也要小心。如果你有一串自然数列（就是1,2, 3…..直到无穷）而我有一串有理数列（就是自然数加上分数）这样在你的1和2之间，我就可以加上无穷多个分数（1-1/2, 1-1/3, 1-1/4….）。同样在２和３之间也能加无穷多个分数，而你的１和２之间却不能再加了，这样看起来似乎有理数的无穷数列比自然数的无穷数列可以多了无穷多个无穷多吧?（好绕嘴呀），是否这两个无穷多就不能一一对应了呢？
可是用一一对应的办法一算，自然数和有理数的无穷数列还是能一一对应的.为清楚起见，我给巴列王举了一个简单的有理无穷序列例子, 1,1.5, 2, 2.5, 3, 3.5…. 如果我把这个有理序列乘２，就得到一个无穷的自然数序列2,3,4,5…..， 它当然与自然数无穷序列1,2,3…是能一一对应的。所以自然数和有理数的无穷多是一样的.
（四） 听了我的分析, 巴列国王非常感兴趣，他说已经悬赏国内的数学家, 找到一个比自然无穷序列更大的无穷数列. 解决这个一一对应的魔咒. 他还说赏金是块皇家宝石，一块鸡蛋大的祖母绿。如果我能在率先解决这个问题，这块宝石就赏给我。
他的话大大地激发了我学习数学的兴趣，可是却不知道怎样能够让他的圣旨穿越千年顺利地在我面前执行。两天后我终于有了好办法，就告诉他他王国境内的尼坡林教堂至今还保存完好，在今天西班牙的北部。只要他把宝石和写在羊皮纸上的圣旨放在一个密封的盒子里，埋在地下室第七块大条石下面，我就可以取到。我特别叮嘱他一定要写上我的出生日期，地点和身份证号，免得警察找我麻烦。
现今西班牙北部的一个无名小教堂,是巴列王把皇家宝石赏赐给我的地方.
哇! 这是真的! 我去西班牙北部取回了巴列王的奖赏, 惊得半天和不上嘴.
2860克拉的皇家祖母绿 我必须申明, 现代人穿越的规矩我都懂, 并且自觉地严格遵守. 老天爷对我照应的不错, 经常在我付不起账单的时候突然让我的某张画卖个好价钱. 所以我一定要遵守穿越的规矩. 在和巴列王交谈的时候我只谈数学和绘画艺术.现代的工程技术包括炸药制造,望远镜显微镜, 枪炮,飞机舰船, 甚至蒸汽动力这类的事我都完全不提. 我深知只要任何一项现代技术如果过早传入欧洲,历史都可能会被重写, 对东方文明带来灾难. 比如成吉斯汗被欧洲给灭了,那么中国的明朝就会提早到来, 提早出现明末的高度繁荣和腐败. 也许在清兵入侵之前还会有一次农民起义和改朝换代. 那我们家的祖上也许就不会逃荒到江南, 是不是有我也不知道了,即使有我, 基因组成也会不同,也许就没有画画的天才了….哇, 想都不敢想, 真正的蝴蝶效应啊.
无理数 我给巴列王悬赏的答案看起来很简单: 我模模糊糊地觉得在实数轴上的数是有理数和无理数的总和, 无理数不但是无限多的, 而且比有理数的无限多还要多得多, 这就打破了和有理数轴上数字的一一对应关系.所谓无理数咱们小学都学过, 就是无限不循环小数, 巴列王也知道无理数的存在,他的皇家学院数学家读过地中海商船带来的古代阿拉伯数学手稿, 知道很多个无理数, 如2,3,5,6,7…的开平方,另外还有圆周率等等. 巴列王说我说的好象有道理, 但要拿到皇家宝石必须有严格的证明, 比如怎么知道无理数有无限多,怎么知道无理数集合和有理数集合不能一一对应等等. 为了给他一个圆满的回答, 我仔细地研究了这个问题. 原来在1870年代,一位29岁的年轻人, 俄裔德国数学家康托(Georg Cantor), 发表了一篇文章专门证明了这个问题. 他的证明在一百多年来已经被数学界广泛接受.
康托尔在30岁左右, 在他发表文章证明不可数集存在时的照片.
对角线法 康托尔发明了一个非常简单的方法, 叫做“对角线法”(Cantor’s diagonal argument) , 用此方法可以产生大量无法与自然数一一对应的数字, 这些数字都是无限不循环小数, 即无理数.
可是, 要理解这些m和w对我并不容易, 更何况要通过电话给巴列王讲清. 在数学教科书里对此法的描述对我来讲非常难懂,在讲解之前先讲集合论, 定理引理讲了一大堆. 读着读着就想起了我以前学数学的窘境:人家刚定义了一个啥事, 我一转眼就忘了. 等到用上这定义时还得回头去看.看着看着就困了, 咪了一小觉就到了去食堂吃饭的时间, 吃完饭更困了,睡醒天已经黑了, 又饿了, 必须去食堂买粥和咸菜…. 最后只好认慫, 自己不是学数学的材料. 还是画画吧….我多么希望有一种学习数学的 “Suzuki method” (注) 就是那种不管语言严格不严格, 先把精神领会了再说的学习方法. 在今天的互联网时代啥高深的理论都可以用大白话讲清楚的.我把“Cantor’sdiagonal argument for dummies”输进谷歌,马上得到一大堆网页,很快就看明白了. 于是我把基本意思画在自己能懂的下图里: 首先, 如图左边篮框所示, 随便找一个实数,比如0.135689…..用自然数1与之对应;然后再找一个0.004578, 用2与之对应.如此搞到无限大,假定全体小于1的实数都能找到一个与之一一对应的自然数. 第二对这个假设进行反证, 即找到一个新的实数,不等于右边任何一个数. 为了造这么个数, 康托取每个实数的一位,如第一个数的第一位, 第二个数的第二位…. 如此,用图左边每个实数中用红色标的那一位造成图右的数q. 为了防止q与任何一个实数相同, 康托把每位加一,得到图右边的数r. 这个r肯定不在图左所有的数之中,因为它和每个数至少有一位是不同的. 由此就打破了和自然数一一对应的关系.
巴列王听到这里插话说, “可是自然数有无穷多个啊, 你只要多加用一个自然数就行了”. 对角线法的精髓就在这里,你可以加, 但我用同样方法可以造出更多更多的数, 即把r列进去,再每个数取一位造个新的r. 这样就远远超过自然数的无限大可以一一对应的能力. 巴列王听到这里若有所思, 说 “ 原来所谓无穷多也是有限的,还有比无穷多更大的无穷多啊!”. 正是如此, 我把刚学来的数学词向他卖弄: “所有康托把自然数的无穷大称为“可数”的,而实数的无限大则称为“不可数”(uncountable) 的. 这点巴列王完全同意. 他说我们最基本的运算就是数数. 数数就是用自然数与要数的对象一一对应.他说没想到人类居然可以利用自己的想象, 把数数这个操作扩展到无穷多, 进而证明可以有人类力不所能及的“数也数不清” 现象. 在沉静的暗夜, 电话那边传来他轻轻的叹息, “这简直像圣经里通天塔的故事.人类以为自己只要一砖一石地积累, 就能达到天堂的高度. 可是上帝通过数学家透露了一个小秘密, 从理论上证明人类有根本不可能完成的任务”. 黑暗中, 桌上的皇家宝石闪着幽幽绿光, 我觉得我们的谈话有些沉重.于是我叉开话题, 把中心重新引回到数学. 我问陛下,“如果你在实数轴上随便捡起一个数, 有多少几率捡起一个有理数?” 巴列王想想说,“你刚才说了无理数可能比有理数多得多, 那么我想大概实数轴上大多数字都是无理数吧.”
从他的回答里, 我知道他并没有完全理解我们讨论的意义. 于是我告诉他, 有理数在实数轴上实在太稀少了,如果你花一辈子时间在实数轴上的0到1 之间撒网, 每网捞起一万个数字,每天捞一万网, 这样一辈子找到一个有理数的可能性都几乎是0. 巴列王听了确实有点吃惊, 说我怎么也想不到与无理数比起来有理数会这么稀疏. 他急切地要求我他证明一下. 我说,在实数轴上的0到1 之间应该有无穷多个数字, 一网只捞起一万个, 可以说是完全随机的. 就象扔骰子得到的一样.我们可以用扔一把十面骰子来模拟打上来的数字.
十面骰子 如图, 扔了5个十面骰子, 可以用红, 白,绿,黄,蓝分别代表小数点后的一到五位数, 图上的数即是一个五位小数,0.00488. 当然一个实数可以有无限位, 所以我们要用无限多个骰子来模拟.好了, 如果我们想得到一个有理数1, 或者无限循环小数0.9999999…..,就需要在这一把无穷多个骰子里面, 所有骰子都出现9. 这有多大可能呢? 巴列王国是有皇家赌场的, 他知道扔骰子出现清一色情况的几率. “啊”,巴列王顿了一下, 可以感到他受到的震撼. 可是,他马上又说“但是1 只有一个, 而有理数却有无数个呀!从无数多里捞一个, 机会总是有的吧?”. 我说你能感觉到骰子清一色的稀少, 问题就好办多了. 在英文里, 有理数叫做“rational numbers” 是“可比”的意思, 就是可以写成分数的型式.而把分数化成小数, 就会出现循环小数的现象, 比如1/21,就可以写成0.047619 047619 047619……. 即使写到无穷数位, 也是循环的. 那么有多大可能在扔一把骰子的时候出现这种循环现象呢? “这我就全明白了”,巴列王说, “如果想捞到0.1, 0.01, 0.0001… 就需要只有一个骰子是1, 其他无穷多个都是0,确实是不可能的啊”. 这个关于在实数轴上撒网捞到有理数几率很低的道理,是法国数学家和政治家Emile Borel 1909年证明的. 说得更精确点, 在实数轴上随机找到有理数的几率是0.
Emile Borel 我每次和巴列王通话的时候都卑谦地请陛下原谅, 因为所有我说的并非是我的原创, 而是转述世间天才的思想. 巴列王非常理解, 但他说即使是这种转述,对他也是绝对珍贵的. 他说他很怕我哪一天不理他了.为了保持和我经常通话,他愿意倾其国力给我补偿. 他说我们每一次谈话, 我就给你一个罗马凯撒时代的金币.我听了眼睛直冒绿光, 一个那时候的金币,今天值5000美元. 而我的成本只有一搓茶叶, 两只胖大海.完全可以告别穷画家的生涯了! 要知我泄露给巴列王何等惊天动地的秘密, 还听我下回分解.
附录1 我作为一个流浪天涯混口饭吃的人, 是没有办法重回大学系统地学一遍数学的. 但我生在互联网时代, 我把 “对角线法”“无穷集”两个词放到谷歌上搜索, 马上找到一位台湾TitusPeng先生的讲课视频. 9分钟时间,没有一句废话, 就完全让我听懂了康托的对角线正法. Peng 博士据说是一位神经科医生, 完全用业余时间拍了很多视频,专门讲解数学物理方面的重大问题, 为众生指点迷津. 他创造了一个叫shareyoucan的网站,旨在分享知识, 减少学习的碳足迹. 他的这种用科普回报社会的精神让我肃然起敬. 附录2 网友“ 小犀利哥”的评论: 这个科普系列主要对象是讲华语, 大陆出生的中老年人.作者巧妙地利用了这群人贪心无知且教育水平低的特征, 把发大财的意淫心理揉进数学,使读者可以一气读完不觉枯燥. 可以看出作者并没有受过系统教育,知识是现学现卖. 但这反而能适应读者群基础差的特点.这种以自学带人学习的精神值得提倡.
两天之后我就有答案了，是从数学书里找的！这个宝石今天值七千万欧元，我怎么也不愿意骗一个诚实的老人啦，只能如实告知,并恳请陛下出悬赏一个更难的问题。巴列王也欣赏我的诚实, 并如约把宝石赐给我.要知我给他的答案, 且听下回分解.
(待续)
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