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整数，有理数，实数都是有无穷多个。哪个更“多”?这个问题困扰着相当多的一些人。 笔者在以前的文章里说过，整数，有理数，都是无穷多个，从包含的角度看整数集还是有理数集的子集呢，但因为可以建立元素间的一一对应，因此可以说通俗地说：它们一样“多”。而且，尽管都是无穷多个元素，但它们都可以排成一列，并可以一个一个地数出来，因此都是可数的。（要知道不是所有的有无穷多个元素的集合的元素都可以排成一列，并一个一个数出来的，如介于0到1之间所有实数构成的集合，就没有办法将它的元素排成一列，并一个一个数出来。） 但是整数集和有理数集毕竟有差别。我们说整数集是离散的，说有理数集是稠密的。 什么是离散？通俗说就是孤立的，相邻两个整数之间都有1个单位的距离。另外，任意两个整数间可能再也没有整数了（如整数1和整数2之间再没有整数了），也可能有有限个整数（整数2和整数5之间，可以有2个整数：3和4），总之不可能会有无限多个整数的。如果结合今后要引进的有理数来看，整数是跳跃的（从整数1跳到整数2，跳过了许多分数，如1.2； 有理数集则是稠密的，通俗地说，有理数排在数轴上是非常密的，不像整数排在数轴上是稀稀拉拉的。谈不上相邻的两个有理数了，你说有理数1.2和1.3相邻吧，不对，1.2和1.3之间隔着1.21，1.25等有理数呐！最重要的，任意两个有理点之间有无穷多个有理点。 譬如有理数1与有理数2之间的有理数是密密麻麻的，有无穷多个有理数，根本找不到一段空白。为什么这么说？ 有理数1和有理数2之间，先找到一个数，是它们的算术平均数1.5，它当然是有理数。在1和1.5之间再找一个，作它们的算术平均数1.25，它也是有理数，并且在1，1.5之间（当然在1，2之间）。重复这个方法，于是就可以说1，2之间有无穷多个有理数。 不但是有理数1和2之间如此，任意两个有理数a和b之间，也是有无穷多个有理数。只要先求出a,b的算术平均数(a+b)/2 ,它肯定也是有理数，并介于a,b之间。然后求出a,(a+b)/2的算术平均数(3a+b)/4,它肯定也是有理数，并介于a,(a+b)/2之间（当然也在a,b之间）。。。。。。因此a,b之间有无穷多和有理数。 可见，任意两个有理数之间有无穷多个、密密麻麻的有理数，就是说有理数集是稠密的。整数集做不到这一点的。 这一点或许不难懂，但下面一句话，可能就有点费解了。 有理数虽然是稠密的，但有理数之间还有空隙。这么密密麻麻，还有空隙？ 有理数的稠密性是说，任意两个有理数之间有无穷多个有理数，没有说两个有理数之间只有有理数，除了有理数之外再没有别的数了。学了无理数之后，我们就可以知道了。 譬如有理数1.4和1.5之间固然有无穷多个有理数，但是还包含了√2，（√2=1.414.。。）它可不是有理数，是无理数。同样的，有理数3.14和3.15之间包含了π（π=3.1415926.。。）。所以说，密密麻麻的有理数之间存在空隙，这个空隙里上数实际上就是无理数。 而且这些空隙很多很多，比有理数本身还“多”。用无理数把这些空隙填满之后，数轴上就再也没有空隙了。这时候，我们说：有理数集和无理数集合起来的实数集是连续的。 打个比喻，如果数轴上只有有理点，设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两截．这一刀有时候砍在某个有理点上，有时候可能砍在某个有理数的空隙处。如果数轴上的点表示全体实数，这一刀一定会砍在某个点上，即砍中某一个实数（可能是有理数，可能是无理数）．因为表示成实数的数轴是没有缝隙的。 稠密不等于连续，大致明白了吗？ 还要说一句，实数集的元素没有办法排成一列并一个一个数出来，因此实数集不是可数集，通俗说，它的元素比有理数“多”得多。别说整个实数集，就是一小段实数区间，譬如（0，1），它的元素也没有办法排成一列，并一个一个数出来，通俗说，它的元素也比全体有理数“多”得多。 小结一下： 整数集是离散的。两个整数之间只能有有限个整数，或者没有。 有理数是稠密的。两个有理数之间有无穷多个有理数，但它们之间还有空隙。 实数集是连续的。两个实数之间有无穷多个实数，而且再没有空隙，或者说再没有其他任何数。 整数集，有理数集是可数集，即它们的元素都可以排列成一列，并一个一个数出来，因此可以建立一一对应，所以通俗说它们的元素一样“多”。而实数全体没有办法排列成一列，并一个一个数出来，实数和有理数集不能建立一一对应，通俗说，实数集的元素比有理数集的元素“多”得多。 |
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