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古希腊悖论与疫情威胁 古希腊哲学家芝诺 （约公元前490～约前430）是出了名的喜欢创制非常难解的谜题的人。他想出了一系列看似很有理、却又明显矛盾的情形，它们被称为“芝诺悖论”。芝诺悖论中有九个悖论流传至今，其中最著名的、也最顽固难破的有三个，分别是“ 阿喀琉斯和乌龟”、“二分法辩论”和“飞行中的箭头”。 在超过两千年的时间里，芝诺的系列悖论困扰、挑战、影响、启发、激怒和逗趣了许许多多的哲学家、数学家和物理学家。一些现代数学家和历史学家相信，芝诺悖论都是简单的数学问题，现代微积分对它们提供了数学解决方法。然而，一些哲学家却坚持认为，芝诺悖论及其变种依然是悬而未决的形而上学问题。而绝大多数自然科学家的观点是，这些哲学家的说法实乃玄论。 不过，也许出人预料，到了今天，这些古老理念竟然在帮助科学家对付一个危险得多的问题。这是怎么一回事？ 芝诺的系列悖论中最有名的一个是“阿喀琉斯和乌龟”。神话中，阿喀琉斯（也称阿基里斯，希腊神话中的勇士，曾参加围攻特洛伊城）出生后被其母倒提着脚在冥河水中浸过，因此除未浸到水的脚踵外，浑身刀枪不入。 “阿喀琉斯和乌龟”悖论说的是，英雄阿喀琉斯参加与一只乌龟的长跑比赛。这不是一只普通乌龟，而是在击败了伊索（古希腊寓言作家）的兔子后洋洋自得的那只乌龟。为了公平起见，阿喀琉斯让乌龟领先一步——比如1千米。比赛开始后，阿喀琉斯很快就到达了乌龟的出发点。然而，此时乌龟已笨拙地前进了一段距离，例如1/10千米。阿喀琉斯又迅速跑完了这100米，但此刻乌龟又往前挪动了一小段距离——1/100千米…… 芝诺悖论指出，由于乌龟总是领先阿喀琉斯一步——每当阿喀琉斯到达乌龟所在的上一个位置，乌龟总是又往前走了一段距离（尽管这段距离可能很短很短），所以阿喀琉斯永远都追不上乌龟。虽然阿喀琉斯每次所跑的距离越来越短，但乌龟有无限段领先距离需要他跨越。这个距离用公式可表述为： 1+1/10+1/100+1/1000+…10的无限次方分之一 根据芝诺所言，阿喀琉斯“不可能在有限时间内跨越无限段的距离”。直到19世纪，数学家才证明了芝诺悖论是错的。随着阿喀琉斯与乌龟之间的距离越来越短，阿喀琉斯追赶得也越来越快。事实上，阿喀琉斯与乌龟之间的距离最终会变得无限短，以至于他瞬间就跑过了乌龟。因此，他完全能赶上乌龟，轻易超越它。 也许读到这里，还是有些读者搞不明白芝诺悖论为什么是错的。其实，不少当代哲学家声称，芝诺悖论在数学逻辑上也许是错的，但在逻辑思维上完全站得住脚。果真如此吗？ 事实上，提出这一悖论的芝诺本人恐怕也知道阿喀琉斯追得上乌龟。不然的话，芝诺悖论就不会被叫作悖论了。芝诺把阿喀琉斯追乌龟的过程无限分割，这一点没有什么错误。但由此得出追赶过程的段落无穷多、因而追赶过程的持续时间也无穷大这个结论就大错特错了。无穷个数字相加之和可以是有限的数值，而不是想当然的无穷大。中国庄周所著《庄子》一书的《天下篇》中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。 一尺的长度可以无限分割，换句话说，无穷个线段相加可以等于一尺。无穷个线段之和可以是有限的，因此走完这样的无穷个线段所需的时间也是有限的。线段上有无穷个点，点没有大小，线段却有确定的长度。这个问题正好和芝诺悖论有些相似，如果理解不了芝诺悖论，那么就解释不清楚为什么没有长度的点能构成线段。事实上，这也正是亚里士多德对芝诺这一悖论的反驳思路。 现在回到前述的悖论。那么，到什么位置时阿喀琉斯能追上乌龟呢？由于19世纪数学家们的工作，我们知道，对于任何介于0和1之间的数值n来说： 1+n+n2 +n3 +…n的无限次方=1/（1-n） 对于芝诺悖论而言，取n=1/10，那么阿喀琉斯会在仅仅跑了1.11米之后就追上乌龟。看上去，这个结果不过是满足人们对一个历史悖论的好奇心。然而，这种观念直到今天依然具有现实意义。当然，数学家们不是用它来研究人龟赛跑，而是利用它来与疾病作斗争。 自从中东呼吸道综合症这种疫病于2012年9月首次被报告以来，全球这方面的病例已超过400例。 有时候，疫情仅包括一名患者，他（她）常常是被一个未知的外部来源感染的。有时候，被感染者呈一个簇群，他们可能是相互交叉感染的。 测量疫情传播的途径之一，是运用增值数，以R代表。增值数是一个数学概念，在这里是指由一个典型感染者引发的次级感染病例的平均数量。如果R大于1，那么每个感染者都会导致至少一个次级病例（次级感染者），而这样的感染可能引发一场主要疫情。如果R小于1，那么疫情最终会逐渐弱化乃至消失。 尽管中东呼吸道综合症迄今为止尚未造成大的疫情，但了解增值数依然很重要。病毒距离一个重要门槛越近，它为了有效传播开来而所需跨越的障碍就越小。运用增值数，科学家就能估计当一场新的感染进入人群后可能会造成什么后果。平均来说，初始病例会产生R个次级病例，这R个病例接着会产生在它基础上的R个病例，即R2 个病例，如此延续。 如果R的数值小于1，形成的模式将正如“阿喀琉斯和乌龟”悖论情形。因此，如果科学家已经知道了增值数的具体数值，就能使用同样的公式来算出平均而言的疫情暴发规模大小： 疫情暴发平均规模=1+R+R2 +R3 +…R的无限次方=1/（1-R） 问题是，科学家并不清楚中东呼吸道综合症的增值数数值。幸运的是，他们很清楚每次疫情暴发过程中被报告的病例数。这意味着，为了估算增值数（假设它的大小低于1），那么只需要把上面的公式反过来： R=1-1/（疫情暴发平均规模） 在中东呼吸道综合症病例被报告的第一年，疾病群的规模从1个到超过20个的都有，平均暴发规模是2.7个。根据上面的公式，增值数可能为0.6左右。与之相反，2013年某国一超大城市发生H7N9禽流感疫情，但被报告的疾病群（病例数）仅为2。平均暴发规模为1.1个，由此估算出平均增值数为0.1，比中东呼吸道综合症的这一数值小得多。 尽管像这样的技术只能提供非常粗略的估计值，但它们却赋予了科学家一种在没有详细数据库的情况下如何估计疾病风险的方法。这类方法在暴发疫情期间尤其重要。从禽流感到中东呼吸道综合症，当我们面对像芝诺悖论那样不轻易暴露自己秘密的感染时，这样的信息真是弥足珍贵。 事实上，上述故事仅仅是数学在医学研究中被大量运用的一个实例而已。类似的和复杂得多的运用还有许多，而且肯定还有数不清的类似应用尚待开发。 |
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