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两千多年来，数学家们一直试图从少数公理出发，根据明确给出的演绎规则推导出其他数学定理，从而把整个数学构造成为一个严密的演绎大厦，然后用某种程序和方法彻底解决数学体系的可靠性问题。19世纪末，集合已成为最基本、应用最广的一个概念，人们曾经相信，全部数学的基础理论可用集合概念统一起来,可是罗素在集合论中发现了一个深刻的悖论，顿时使数学的理论基础发生动摇，集合论中为什么会产生矛盾？这是一个非常根本的问题，涉及数学逻辑推理的可信性和数学命题的真理性问题，属于数学哲学的范畴,希尔伯特写道：“单靠分析还不能使我们最深入地洞察无限的本性，这种洞察只有通过一门和一般的哲学思考方法相近，而又被设计得对有关无限的整套问题从新的方面来加以说明的学科才能得到。数学哲学的基本目标是解释数学，并由此说明数学在整个理智事业中的地位。正是对于无限理论的不同看法，导致了数学家的分裂。从1900到1930年，许多数学家卷入了关于数学哲学基础的争论,由于所持的基本观点不同，最终形成了三个流派，即逻辑主义、直觉主义和形式主义。霍华德·伊夫斯说：“数学哲学本质上就是一种尝试的再构造；对历史积累的无秩序的一堆数学知识，给予一定意义或秩序”。虽然三大学派持续了半个世纪之久的思想交锋，随着哥德尔不完备定理的诞生而日渐沉寂，但这些引领数学潮流的巨人超群绝伦的智慧，殚精竭虑的运思杰作，无论对错都已成为理解现代数学的宝贵遗产，他们深邃的思想方法和执着的探索精神尤其值得后人学习与借鉴。 从逻辑中展开数学 现代逻辑创始于19世纪末叶，其发展动力来自于数学中的公理化运动，导致20世纪逻辑研究的数学化,由此发展出来的逻辑被称为“数理逻辑”，开创了逻辑学史上继古希腊逻辑、欧洲中世纪逻辑之后的第三个高峰，对现代数学、哲学、语言学和计算机科学的发展均产生了极为深远的影响。数学哲学中，逻辑主义学派的核心人物是罗素与怀特海，其奠基者则是德国数学家弗雷格。他认为分析的算术化最后必然建立在自然数理论之上，而对自然数理论的探讨有必要研究数的概念以及正整数命题的性质。他认为“数是什么？”是一个最根本的问题，其数学哲学基于三个主要原则：第一，反对在数学基础上的经验主义，否认数学来源的经验基础，强调数学真理的先天性；第二，数学真理是客观的，这种客观性基于数学的非经验基础,客观性是思想的必要条件；第三，一切数学最终都可以划归为逻辑，数学概念可以定义为逻辑普遍要求的概念，数学公理可以从逻辑原则中得到证明。数学划归为逻辑的观念，还应追溯到莱布尼兹,他关于数理逻辑的基本设想是：一，所有概念可以还原为少数的原始概念，这些原始概念构成“思想的字母表”；二，复合概念可以由原始概念通过逻辑乘法得出；三，原始概念彼此之间是没有矛盾的；四，任何命题都是谓项性的；五，任何真的肯定命题都是分析命题,莱布尼兹认为：“数学真理就是逻辑真理。”他把逻辑学想象成一种普遍的科学，使用精密的符号体系，严格的逻辑推理，就可消除人类自然语言中固有的含糊性。他说，我们要造成这样一个结果，使所有推理的错误都只成为计算的错误，当争论发生的时候，只需坐下来说“让我们来计算一下吧！”这种逻辑先于一切科学的观点，被公认为逻辑主义思想的先河。莱布尼兹企图构造数理逻辑的宏伟抱负，当时并没有取得实质性的进展,直到19世纪英国数学家布尔创立了“布尔代数”，德国数学家弗雷格发展了命题演算和谓词演算，才建立了第一个严格的逻辑演算系统,意大利数学家皮亚诺以命题演算和谓词演算研究数学，部分实现了莱布尼兹的思想，迈出了关键的一步。弗雷格在《算术基础》一书中得出的结论是“算术”仅仅是一种扩展形成的逻辑，每个算术句子就会是一条逻辑定律，然而是一条导出的定律。这一观点后来被罗素作为逻辑主义的基本主张广为传播。罗素认为，应当以一些已被普遍承认了的逻辑的前提出发，再经过演绎而达到那些明显的属于数学的结果。他与怀特海完成于1913年的《数学原理》是逻辑学派的经典巨著,他们宣称全部数学可以从一个逻辑公理系统严格地推导出来，从而使数学建立在逻辑基础之上。卡尔纳普认为数学基础的最重要问题之一是数学与逻辑的关系,他将逻辑主义的基本内容概括为：2. 数学定理能通过纯粹的逻辑演绎从逻辑公理中推导出来。虽然在《数学原理》中，罗素与怀特海对怎样从逻辑导出数学作了详尽无遗的推演，但是许多著名的数学家却并不接受“数学就是逻辑”的观点，也不同意“一切数学思维都是逻辑思维”的说法。后来的研究者一致认为，若要利用逻辑推导出全部数学，至少要增加两条非逻辑公理，其一是无穷公理，须承认宇宙间有无穷数目的个体，否则连最简单的自然数也无法构成；其二是选择公理,如果没有这一公理，无穷基数的乘法运算就无法得到定义，数学中许多关键性定理也无法推导。比较公认的看法是罗素并没有将数学化归为逻辑，而是化归为集合论,从逻辑过渡到数学，必须发展集合论，而集合论中存在悖论，缺乏兼容性。为此，罗素提出限制“恶性循环”的原则，建立了分支类型论的方案。他说：“凡是牵涉一集合的全体者，它本身不能是该集合的一分子；反之，如果假定某一集体有一总体，它便将含有一个元素（只能由该总体才能定义的元素），那么该集体必没有总体。”在此基础上提出的“分支类型论”，就是禁止人们自己征引自己或自己涉及自己。这一思想的本质简单明了，用集合论的术语来说，个体元素的层次为0，个体的一个集合层次为1，集合的集合为第2层次，依此类推。层次理论的应用，确实避免了当时已知的数学悖论,但其理论展开却异常繁杂。按照该理论，无理数由有理数定义，而有理数可用正整数定义，无理数比有理数具有更高的层次，它们都比整数的层次高，导致实数系由不同层次的成分构成，因而不能得出关于所有实数的定理，必须对每个层次的数分别陈述。这样，即使是对简单明白的自然数定理的推导，也繁琐得让人望而生畏。更为不幸的是，从分支类型论也不能推出整个数学，对数学归纳原理的推导有问题，对实数论的推导问题更多,为了避免分支类型论带来的复杂性，罗素和怀特海引进了“可化归公理”，即任何较高层次的一个命题与一个层次为0的命题等价,但可化归公理的精神与禁止恶性循环的原则相冲突，对此形成了两种不同的意见和处理方式：或者不用可化归公理而保留分支类型论，其代价是无法推出全部数学；或者保留可化归公理，直接采用简单类型论，虽然可推导出全部数学，但取消禁止恶性循环原则，便等于放弃阻止悖论产生的防火墙。逻辑主义学派不仅承认康托尔理论，而且还坚持无限性研究对象在数学领域中的合理性。因此，既要确认全部数学的有效性，就势必要确认实无限观点下的无限集理论,正如王浩所说'由于要借助严格的逻辑概念来给出“无限”的一个充分根据这一困难，才使得罗素关于数学与逻辑相等价的理论成为可疑。深入的研究表明，逻辑主义自身确实存在着难以克服的理论困境,怀特海在1939年的一次演讲中已表示放弃逻辑主义的观点。罗素也说“我在数学里总是希望得到的那种壮丽的确定性消失在不知所措的困惑之中了。”尽管逻辑主义的主张未能完全实现，但其研究纲领的价值和意义是不容忽视的。他们成功地把古典数学纳入一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上无穷公理就能推出集合论、一般算术和大部分数学来存在就是被构造 直觉主义学派认为逻辑不在数学之先，数学的概念和原则不能归结为逻辑；逻辑是数学活动的结果，逻辑需要数学作为它的基本构造,坚定的数学直觉主义者海丁说'当你们通过公理和演绎进行思维时，我们则借助于可信性进行思维，这就是全部区别”。直觉主义学派构造数学的基础并非集合论，而是自然数论,这就是海丁所说的'数学开始于自然数及自然数相等概念形成之后。”直觉主义认同自然数来源于布劳威尔所说的“原始直觉”或“对象对偶直觉”。所谓对象对偶直觉是人皆有之的一种能力，即某一时刻集中注意于某一对象，紧接着又集中注意于另一对象，这就形成了一个原始对偶，以（1，2）来表示它,“存在即是被构造”是直觉主义数学学派的一个基本观点,他们主张只有建立在这种原始直觉和可构造性之上的数学才是可信的，因为，对于思想来说是如此直接，其结果又是如此清楚，以致不再需要任何别的什么基础。直觉主义关于无限的基本思想可以追溯到亚里士多德，他是历史上第一位反对实无穷，只承认潜无穷的哲学家。直觉主义学派坚持潜无限论的观点，不承认已完成的实无穷体系。他们质疑无限集的可构造性,按照能行性的要求，该学派也否定，自然数全体的概念，因为自然数只能是永远处于不断被构造和生成之中，而非完成了的无穷实体。克罗内克就始终不承认无限集合的合理性，他流传甚广的名言是'上帝创造了自然数，别的都是人造的”。他主张在自然数的基础上构造整个数学，如分数，可以用整数定义出来，这样定义的分数被认为是一种方便的写法,克罗内克也因此被称为构造主义者,可构造的要义是'必须在有限个步骤之内，将结论确定到任何需要的精度,如借助于的一个无穷级数表示式，可将其计算到小数点后的任意位，这是构造主义者可以接受的。克罗内克并非完全否认无理数的存在，而是反对那些不能提供计算程序的证明,他还计划将数学算术化，并从数学中清除一切“非构造”的概念。庞加莱亦持潜无穷的观点，他主张人类对自然数的认识是源于最基本的直觉，并公开申明数学的确定性仅限于有限论证的严格范围之内，而集合论所包含的仅仅是矛盾和无意义的概念,他认为集合论悖论已经证明了康托尔的理论是侵害数学机体的传染性病毒，必除之而后快。荷兰数学家布劳威尔堪称直觉主义学派的集大成者,他认为除自然数外，加法、乘法和数学归纳法在直觉上也是清晰的，坚信数学只能建立在可构造性的基础上，并反对一切以实无限为前提的数学定义，以及非构造性论证。布劳威尔认为无穷是存在的，因为对任一有限集，人们总可以找到一个比它更大的有穷集合。直觉主义者特别强调数学证明中的能行性问题，坚决主张没有能行性便没有存在性,如选择公理断定：给定一个集合的集合，如果它的各分子集是互相排斥的，并且其中没有一个是空集，那么至少存在这样一个集合，它与给定集合的各个分子集都恰好有一个公共元素。对此，波莱尔认为当给定的子集合有无穷多时，如果不能从内涵方面给出选择的标准或办法，要具体地做出无穷多个选择是不可能的。实现选择公理给出的结论，甚至需要进行不可数的无穷个选择，这对于直观来讲是不可理解的。确实，选择公理做出了与无穷有关的断定，只有假定此公理成立，才能肯定选择集合的存在，这对数学的展开是必不可少的。布劳威尔还反对在数学证明中使用排中律,他认为排中律和其他经典逻辑是从有穷集中抽象出来的，如果无条件地承认排中律，就等于承认所有命题总是能构造性地证其为真或不真，但这是没有可靠根据的,对于无限集而言还有第三种情况（不假），即存在这样的命题：既不能证明其为真也不可能证明其为假,因此在他们看来从A推出矛盾，从而肯定非A成立的反证法是可以接受的，但不承认由非A推出并非A，从而断定A成立的双重否定消去的推理,因此，夏皮罗直截了当地说'直觉主义是指那些对排中律提出异议的数学哲学的一般术语”。直觉主义还严格区分了存在性证明与构造性证明。在经典数学中，存在性证明只要求保证使命题成立的对象存在即可，至于能否找到这样的对象则可存而不论。但从构造的角度来看，就要求找到使命题成立的具体对象才算完成证明,如欧几里得关于质数有无穷多的证明，虽然避免了运用排中律和间接证法，但按照直觉主义者对可构造性的要求来看，仍然不够满意,因为它并没有提供确定已知质数之外的质数的方法,但他们认为素数的定义是构造性的，因为可以用有限的步骤确定一个数是否为素数,对于存在性证明的合法性。近代数学史上曾有过激烈的争论,在初等数论中，大多数非构造性的存在证明都可以换为构造性的证明，但在数学分析及其他更高等的部分里，非直觉主义式的定义及证明却随处可见,例如在戴德金的分割表示中，实数是以有理数的无穷集来定义的，这已经涉及无穷整体和排中律了,希尔伯特坚持认为达到思想的简洁和经济，就是存在性证明生存的理由。他说：'纯粹的存在性证明之价值恰恰在于，通过它们就可以不必去考虑个别的构造，而且各种不同的构造包括于同一个基本思想之下，使得对证明来说是最本质的东西清楚地突显出来。直觉主义者所坚持的观点和方法，就其出发点而言，是希望借此排除数学理论中出现的悖论,但是由于限制太多只承认一部分最保险的数学，从而走向了另一极端。20世纪30年代，由于哥德尔的工作，人们开始重视直觉主义,数学家们纷纷尝试用构造法建立实数理论、数学分析以至全部数学，得出不少重要结果,构造性数学已成为与现代计算机科学密切相关的重要学科形式公理与兼容性 从一组公理推导出一系列定理，这样形成的演绎体系叫作公理系统。皮亚诺断言一切数学都可以用符号加以形式地表述,从欧几里得《几何原本》中的实质性公理系统(对象——公理——演绎)，到希尔伯特《几何基础》中的形式化公理系统，再到现代纯形式的ZFC公理系统，数学符号加规则这种奇特的理论形式甚至引发了诸多的哲学反思与争论。数学家J·托马于1898年明确提出'形式主义”的名称,他说：'对形式主义者而言，算术是一种称之为空记号的游戏,这意味它们除了为一定的组合规则“游戏规则”产生的行动所指定而外，没有其他内容(在演算的游戏中)……算术的规则系统是这样的一个系统，使得借助于简单公理，数就能与各种各样的感知发生关系，从而就能对我们的自然知识做出重要贡献……形式的立场可以使我们扫除一切形而上学的困难，这就是它提供给我们的一个优点。把数学比喻成诸如象棋之类的游戏，是关于形式主义的一种流行说法,这其中居于主导地位的只是一些需要遵循的规则，数学家仅仅关心数字在'数学游戏”中的角色,冯·诺依曼、鲁宾逊和柯恩等人都是这一论调的支持者,激进的游戏论形式主义者甚至认为数学的公理系统或逻辑的公理系统，基本概念都是没有意义的，公理也只是一行行的符号，无所谓真假，只要能够证明该公理系统是兼容的，不互相矛盾，便代表了某一方面的真理。他们之所以把数学看成没有意义的公式，是想要证明数学理论的兼容性与完备性,游戏论者却因为无法回答数学的广泛用途及其惊人的力量而受到普遍质疑,反对者提出的一个经典难题是、象棋作为一种有趣的游戏，其规则虽然对棋手是有用的，但为什么人类只有利用数学规则而不是象棋规则，才能把一颗卫星发射到月球上去？弗雷格就强调'把算术从游戏提升到科学层次的只是可应用性”，形式主义凸显了数学的一个方面，但可能忽略或低估了其他方面的一些重要内容,历史上被冠以'形式主义，名号的数学哲学观点有好几种不同的流派,正如夏皮罗所言：'尽管这些哲学在一些重要的方向上彼此对立，但形式主义的反对者和维护者都有时候会把它们混在一起”。在数学基础的研究中，希尔伯特通常被看成是形式主义的奠基人,罗素和布劳威尔都称其为形式主义的代表人物。希尔伯特的最终目标是要构造出一个相容的，完备的，可判定的形式化公理系统,就逻辑与数学的关系而言'希尔伯特认为任何企图把数学划归为逻辑的努力都是不可能成功的。他指出：“如果我们深入考察那就会承认，在我们叙述传统的逻辑定理时，即已用到某些基本的算术概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某种程度上用到了数的概念,于是我们发现自己陷入了某种循环。面对直觉主义者对数学基础可靠性的尖锐批评，希尔伯特认为经典数学，以及在集合论基础上发展起来的新数学，都是人类最有价值的精神财富，是不能丢弃的,他说：“禁止数学家使用排中原则，就像禁止天文学家使用望远镜和拳击家使用拳头一样。”希尔伯特认为只要将数学形式化'构成形式系统'然后用一种有限性的方法，就能证明各个形式系统的兼容性，从而导出全部数学的无矛盾性。希尔伯特的雄心勃勃数学基础研究规划最终被哥德尔的不完备性定理所否定，但他为此而创立的证明论却开辟了一个数理逻辑的新领域。智者的棒喝 受希尔伯特规划的影响，1930年哥德尔开始考虑数学分析的一致性问题，1931年发表《PM及有关系统中的形式不可判定命题》一文，论证了两个著名的定理：1. 一个包括初等数论的形式系统P，如果是一致的那么就是不完备的（第一不完备性定理）；2. 如果这样的系统是一致的，那么其一致性在本系统中不可证（第二不完备性定理）。哥德尔的本意是要实现希尔伯特规划。他试图首先证明算术理论的一致性，然后建立分析“实数的”理论的一致性。但最终结果却刚好相反，彻底粉碎了希尔伯特的梦想。哥德尔定理的重要意义在于向世人澄清了“真”与“可证”概念的本质区别,可证的一定是真的，但真的不一定可证。根据哥德尔定理，任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题。用原有的公理组不能判定其真假,如果将这个不可判定命题作为公理加入，又将出现新的不可判定命题。如此看来，可证命题和终极数学真理之间将始终隔着无穷远的距离！哥德尔一生在科学上取得了辉煌的成就，他证明了一阶谓词演算的完全性算术形式系统的不完全性，连续统假设和集合论公理的相对协调性等三大难题，被公认为人类历史上继亚里士多德和莱布尼兹之后最伟大的逻辑学家。他独辟蹊径的研究成果犹如智者的棒喝，断然终结了数学家追求绝对可靠的数学基础的幻想'但也使人们对无穷的认识达到了一个更高的境界。他说：“数学不仅是不完全的，还是不可完全的。”经验主义者认为，大半个世纪的数学基础研究表明，企图沿着形式化道路，借助证明论的方法在形式系统内部解决数学的真理性问题是不可能的。数学基础的问题应该回到经验中去解决。
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