对复振子的定量研究

对复振子的定量研究

湖北监利柘木中学　王卫明

摘要：本文从牛顿第二定律出发，导出了振子的运动学方程。

关键词：复振子、牛顿第二定律的应用

一、光滑水平面上运动的复振子

如图一所示，在光滑水平面上，理想轻质弹簧的原长为，劲度系数为，在弹簧的两端各固定小球。

建立（惯性参考系）轴，并设A、B球在t时刻的坐标为，则弹簧的伸长量：。

弹簧上产生的弹力的大小：。

根据牛顿第二定律，

对A：　　　（1）

对B：　　　（2）

由（1）（2）两式得：

即：

解得：　　　（3）

（3）式中：A表示弹簧的最大形变量，为常量，它们由初始条件确定。

为了使的表达式的物理含义明确，设质心坐标为，则：

　　　（4）

由于系统所受合外力为0，则　　（5）

（5）式中：表示时刻质心的位置，表示质心做匀速直线运动的速度。

由（3）（4）（5）解得：

或 　　　（6）

　　　　　（7）

（6）（7）式表明：

1．m₁在质心左边处附近相对质心做简谐振动；振幅为；角频率为。

m₂在质心右边处附近相对质心做简谐振动；振幅为；角频率为。

2．m₁、m₂做简谐振动的相位差为180°。

3．m₁、m₂的运动可以分解成匀速直线运动和简谐振动。

二、在重力场作用中的复振子

设轻质弹簧的原长为，劲度系数为，在弹簧的两端各固定小球。系统（如图二所示）分布在竖直方向，在重力作用下自由下落。

对A：

对B：

解得：　　　（8）

而在重力场中：　　（9）

由（8）（9）解得：

　　（10）

　　（11）

（10）（11）式表明：

1．m₁、m₂仍相对于质心做简谐振动。

2．m₁、m₂的运动可以分解成竖直方向的匀变速直线运动和简谐振动。