建立简谐运动模型，探讨物体运动规律

建立简谐运动模型，探讨物体运动规律

湖北省监利县朱河中学　黄尚鹏

　　简谐运动是一种很重要的物理模型，在中学物理竞赛中有极其广泛的应用。建立简谐运动模型，我们不但可以计算振动的周期或频率，而且还可以求解物体的运动规律。纵观历届全国中学生物理竞赛试题，笔者发现“建立简谐运动模型求解物体的运动规律”这一重要方法经常在试卷中以压轴题的形式被考查，可见命题者对这种方法十分青睐，涉及这种方法的题目往往具有很强的综合性和很好的区分度，这类题目成为选拔优秀参赛选手的极好题材。但笔者发现，这类题目并不是我们想象的那么难，是有章可循的，本文通过3个典型例题给出了上述方法在这类问题中的具体做法以及这类问题的一般的求解程序，供相关物理同仁参考，以期能收到“窥斑见豹”之效。

 

　　例题1．如图1所示，有二平行金属导轨，相距l，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直。初始时刻，金属杆ab和cd分别位于x =x₀和x = 0处。假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L。今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速。设导轨足够长，也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的。杆与导轨之间摩擦可不计。求任意时刻两杆的位置x_ab和x_cd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随时间t的变化关系。

 

图1

 

　　解析：当金属杆ab获得沿x轴正方向的初速v₀时，因切割磁感线而产生感应电动势，由两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流。由于回路具有自感系数，感应电流的出现，又会在回路中产生自感电动势，自感电动势将阻碍电流的增大，所以，虽然回路的电阻为零，但回路的电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab的安培力将使ab杆减速，作用于cd杆的安培力使cd杆运动。

 

　　设在任意时刻t，ab杆和cd杆的速度分别为v₁和v₂（相对地面参考系S），当v₁、v₂为正时，表示速度沿x轴正方向。若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁感线的运动而产生的感应电动               （1）

 

　　当回路中的电流i随时间的变化率为时，回路中的自感电动势   （2）

 

　　根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有             （3）

 

　　金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动。设系统质心的速度为V_C，有，得

 

　　现取一新的参考系，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点，取坐标轴与x轴平行。设相对系，金属杆ab的速度为u，cd杆的速度为，则有

 

　　                              （4）

 

　　因相对系，两杆的总动量为零，即有                    （5）

 

　　由以上各式，得                           （6）

 

　　在系中，在t时刻，金属杆ab坐标为，在t＋?t时刻，它的坐标为，则由速度的定义，代入（6）式得，知为常数，所以与i的关系可用一直线方程表示 ，式中b为待定常数。现已知t＝?时刻，i = 0，金属杆ab在系中的坐标＝，故得或         （7）

 

　　是杆ab在t时刻相对初始位置的位移，令，得     （8）

 

　　这时作用于ab杆的安培力，此即简谐运动的动力学方程。因此金属杆ab的运动是简谐运动，振动的角频率            （9）

 

　　现已知在t＝0时刻，ab杆位于初始位置，且速度，方向向右，故在任意时刻t， ab杆离开其初始位置即平衡位置的位移       （10）

 

　　A为简谐振动的振幅，是待定的常量。ab杆的振动速度，故在t＝0时刻，，由此可知                 （11）

 

　　在系中，ab杆的位置                 （12）

 

　　因相对质心，任意时刻ab杆和cd杆都在质心两侧，到质心的距离相等，故在系中，cd杆的位置                （13）

 

　　相对地面参考系S，质心以的速度向右匀速运动，且时刻，质心在地面参考系中的位置坐标为，故任意时刻，质心在地面参考系中的位置坐标

 

　　                    （14）

 

　　由以上各式，相对地面参考系S，ab杆和cd杆在任意时刻的位置坐标分别为

 

　　

 

　　

 

　　回路中的电流

 

　　本题在求解过程中，巧妙选取质心参考系，通过论证杆相对质心系做简谐运动，从而顺利得出杆相对质心系的运动规律，然后通过坐标变换得出杆相对地面参考系的运动规律。注意本题中选取的质心系是一惯性系，倘若质心系是一非惯性系，那该如何求解呢？

 

　　例题2．如图2所示，在光滑水平面上一个劲度系数为、自然长度为的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为的小球和质量为的小球。开始时系统处于静止状态，弹簧处于自然长度。现在球上施加一水平向右的恒力，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、水平向右为正方向的坐标轴，原点与此时球的位置重合，试求任意时刻两球的坐标。

 

图2

 

　　解析：若以质心为参考系（质心系），则质心是固定不动的，连接、的弹簧可以分成两个弹簧和。设弹簧的自然长度为，劲度系数为，一端与小球相连，另一端固定在点；弹簧的自然长度为，劲度系数为，一端与小球相连，另一端亦固定在点。

 

　　当弹簧处于自然长度时，由质心的定义可知弹簧和的自然长度分别为

 

　　，                              （1）

 

　　当弹簧伸长至长度为时，由质心的定义可知弹簧和的长度分别为

 

　　，                          （2）

 

　　设弹簧、作用于、球的弹力也即连接、球的弹簧因拉伸而产生的弹力为，则                       （3）

 

　　由此得，                         （4）

 

　　相对地面，质心是运动的，在时刻，位于轴的原点处，即，B的坐标。由质心的定义可知此时质心的坐标           （5）  

 

　　作用于系统的外力是恒力，由质心运动定理，质心的加速度，故质心向右做匀加速直线运动，任意时刻，质心的坐标

 

　　                  （6）

 

　　由于质心作加速运动，质心系是非惯性系。在非惯性参考系中，应用牛顿第二定律研究物体的运动时，物体除受真实力作用外，还受惯性力作用。若在质心系中取一坐标轴，原点与质心固连，取水平向右为轴的正方向，当小球在这参考系中的坐标为时，弹簧作用于球的弹力，当时，方向水平向左。此外，还受到恒力，惯性力 （方向水平向左）。故作用于的合力

 

　　              （7）

 

　　假设弹簧的伸长量时，球处于平衡位置，则

 

　　，故                    （8）

 

　　设球向右偏离平衡位置的位移为，则球受到的合力

 

　　，此即简谐运动的动力学方程。因此球相对质心系在平衡位置两侧做简谐运动，振动的角频率      （9）

 

　　在质心系中，时刻，弹簧处于原长且球速度为零，因此为球离开平衡位置的最大距离即振幅。由于初始时刻球相对于平衡位置在最大负位移处，故任意时刻，球相对于平衡位置的位移                    （10）

 

　　在质心系中，球的位置坐标                   （11）

 

　　在地面参考系中，球的位置坐标                （12）

 

　　由质心的定义可知，在地面参考系中，球、球和质心的位置坐标满足

 

　　                    （13）

 

　　由以上各式可知，在地面参考系中，球和球的位置坐标分别为

 

　　

 

　　

 

　　本题给出的是受恒力作用的复振子模型，此系统振动的周期或角频率与恒力的大小无关，完全由振动系统本身决定，两小球都相对质心系做简谐运动，且振动的振幅都与恒力的大小成正比。本题和上一题的解答程序基本类似，所不同的是本题中选取的质心系是一非惯性系，在非惯性系中，应用牛顿第二定律研究物体的运动时，必须计及惯性力的作用，这一点应特别注意。显然以上两道题都是一维运动问题，笔者不妨再举一道二维运动问题。

 

　　例题3．如图3所示，在相互垂直的匀强电、磁场中，、值已知，现有一质量为、电量为的带正电微粒（重力不计）无初速地释放，并以此时为计时零点，在垂直的平面内建立如图3所示的平面直角坐标系，其中微粒的初始位置为坐标原点，轴正方向与的方向一致。试求任意时刻微粒的坐标。

 

图3

 

　　解析：设微粒沿轴和轴方向的分速度分别为和，微粒受洛仑兹力沿轴和轴方向的分力分别为和，则

 

　　，

 

　　在方向，由动量定理，，对该式两边求和，，即，因为时刻，，，故            （1）

 

　　在方向，微粒受到的合力                   （2）

 

　　由（1）、（2）知                             （3）

 

　　假设当时，微粒在方向处于平衡，则               （4）

 

　　令，即为微粒在方向偏离平衡位置的位移，代入（3）式得

 

　　，此即简谐运动的动力学方程。因此微粒在方向做简谐运动，振动的角频率                  （5）

 

　　时刻，微粒在方向上的坐标和速度都为零，因此为微粒离开平衡位置的最大距离即振幅。考虑到初始时刻微粒相对于平衡位置在最大负位移处，故任意时刻，微粒偏离平衡位置的位移                            （6）

 

　　任意时刻，微粒在方向的坐标                     （7）

 

　　联立（4）、（5）、（6）、（7），得            （8）

 

　　在方向上微粒振动的速度               （9）

 

　　在方向，由动量定理，，对该式两边求和

 

　　，即

 

　　因为时刻，，，故上式可写成           （10）

 

　　联立（9）、（10），得

 

　　本题是二维运动问题，且微粒在轴和轴两个方向上的分运动互相制约，即微粒受洛仑兹力沿轴方向的分力由轴方向的分速度决定，而微粒受洛仑兹力沿轴方向的分力由轴方向的分速度决定，根据问题的这一特点，本解法巧妙运用动量定理的分量式建立两个方向上的相关物理量的桥梁关系，进而论证得出微粒在方向做简谐运动，找到了解题的突破口，从而使问题顺利解决。

 

　　通过以上三道例题解答可知，运用“建立简谐运动模型求解物体的运动规律” 这一重要方法解决问题的关键是论证物体做简谐运动，解决问题的基础是确定物体振动的平衡位置、振幅和角频率并能根据初始条件正确书写振动方程。运用这种方法不仅丰富了处理物理问题的手段，拓展了我们的思维，还为高中阶段的后续学习奠定了思维基础。因此，对于参加物理竞赛的优秀选手，应当深刻领会这一方法并能熟练应用。

 

　　参考文献：

 

　　1．张大同编《高中物理竞赛辅导》 陕西师范大学出版社（2000年6月第2版）

 

　　2．郑永令 贾起民编著普通物理学教程丛书《力学》 复旦大学出版社（1989年10月第1版）

 

　　3．周衍柏编《理论力学教程》 高等教育出版社（1986年3月第2版）

2011-12-13