对称性应用（一） ──含绝对值函数的图象

对称性应用（一）

──含绝对值函数的图象

内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中　熊明军

在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。

 

图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。

 

一、含绝对值的函数常见情况的分类：

 

已知函数，叫做函数的自变量；叫做函数的应变量（函数值）。

①对自变量取绝对值：；②对应变量取绝对值：；

③对全都取绝对值：；④对整个函数取绝对值：；

⑤对都取绝对值：；⑥部分自变量取绝对值：。

 

二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：

 

①对自变量取绝对值：

【特征分析：】

已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。

【作图步骤：】

（1）作出函数的图象；

（2）保留时函数的图象；

（3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。

【作图展示：】作函数的图象

②对应变量取绝对值：；

【特征分析：】

已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。

【作图步骤：】

（1）作出函数的图象；

（2）保留时函数的图象；

（3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。

【作图展示：】作函数的图象

③对全都取绝对值：；

【特征分析：】

已知函数，设是函数图象上任意一点，它与点关于轴对称、与点关于轴对称且与点关于原点对称。因为点、、与都在函数上，所以函数图象关于轴、轴及原点对称。

【作图步骤：】

（1）作出函数的图象；

（2）保留（第一象限）时函数的图象；

（3）利用对称性作出（2）中图象关于轴、轴及原点对称后的图象。

【作图展示：】作函数的图象

④对整个函数取绝对值：；

【特征分析：】

已知函数，当时；当时。函数的图象在时不变，在时图象关于轴对称。

【作图步骤：】

（1）做出的图象；

（2）保留的函数图象（轴上方图象）不变；

（3）当时，利用对称性作出轴下方图象关于轴对称后的图象。

【作图展示：】作函数的图象

⑤对都取绝对值：

【特征分析：】

已知函数，由于该函数既对自变量取了绝对值，又对应变量取了绝对值，因此可看做是前两种情况的逐步复合，若令（偶函数），则。

【作图步骤：】

（1）利用的方法步骤作出函数的图象；

（2）利用的方法步骤作出函数的图象。

【作图展示：】作函数的图象

⑥部分自变量取绝对值：。

【特征分析：】已知函数，这种类型的函数没有统一的特点，必须先利用绝对值的意义去掉绝对值，然后再利用相应的方法作出函数的图象。