2007年高考数学试题汇编——立体几何（三）

2007年高考数学试题汇编——立体几何（三）

　　28．（全国Ⅱ?理?19题）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。

 

　　(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小；

 

　　　　　　　

 

　　【解答】解法一：

 

　　（1）作交于点，则为的中点．

 

　　连结，又，

 

　　故为平行四边形．

 

　　，又平面平面．

 

　　所以平面．

 

　　（2）不妨设，则为等腰直角三角形．

 

　　取中点，连结，则．

 

　　又平面，所以，而，

 

　　所以面．

 

　　取中点，连结，则．

 

　　连结，则．

 

　　故为二面角的平面角

 

　　．

 

　　所以二面角的大小为．

 

　　解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．

 

　　　　　　　　

 

　　设，则

 

　　，

 

　　．

 

　　取的中点，则．

 

　　平面平面，

 

　　所以平面．

 

　　（2）不妨设，则．

 

　　中点

 

　　又，，

 

　　所以向量和的夹角等于二面角的平面角．

 

　　       ．

 

　　所以二面角的大小为．

 

　　29．（北京?理?16题）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．

 

　　　　　　　　　　　

 

　　（I）求证：平面平面；

 

　　（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；

 

　　（III）求与平面所成角的最大值．

 

　　【解答】解法一：

 

　　（I）由题意，，，

 

　　是二面角是直二面角，

 

　　又二面角是直二面角，

 

　　，又，

 

　　平面，

 

　　又平面．

 

　　平面平面．

 

　　（II）作，垂足为，连结（如图），则，

 

　　是异面直线与所成的角．

 

　　在中，，，

 

　　．

 

　　又．

 

　　在中，．

 

　　异面直线与所成角的大小为．

 

　　（III）由（I）知，平面，

 

　　是与平面所成的角，且．

 

　　当最小时，最大，

 

　　这时，，垂足为，，，

 

　　与平面所成角的最大值为．

 

　　解法二：

 

　　（I）同解法一．

 

　　（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，

 

　　　　　　　　　　　　

 

　　，，

 

　　

 

　　．

 

　　异面直线与所成角的大小为．

 

　　（III）同解法一

 

　　30．（安徽?理?17题）如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2。

 

　　（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；

 

　　（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；

 

　　（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值圾示）；

 

　　　　　　　　　

 

　　【解答】本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．

 

　　解法1（向量法）：

 

　　以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，

 

　　　　　　　　　　　　　

 

　　则有．

 

　　（Ⅰ）证明：

 

　　．

 

　　．

 

　　与平行，与平行，

 

　　于是与共面，与共面．

 

　　（Ⅱ）证明：，

 

　　，

 

　　，．

 

　　与是平面内的两条相交直线．

 

　　平面．

 

　　又平面过．

 

　　平面平面．

 

　　（Ⅲ）解：．

 

　　设为平面的法向量，

 

　　，．

 

　　于是，取，则，．

 

　　设为平面的法向量，

 

　　，．

 

　　于是，取，则，．

 

　　．

 

　　二面角的大小为．

 

　　解法2（综合法）：

 

　　（Ⅰ）证明：平面，平面．

 

　　，，平面平面．

 

　　　　　　　　　　　　　

 

　　于是，．

 

　　设分别为的中点，连结，

 

　　有．

 

　　，

 

　　于是．

 

　　由，得，

 

　　故，与共面．

 

　　过点作平面于点，

 

　　则，连结，

 

　　于是，，．

 

　　，．

 

　　，．

 

　　所以点在上，故与共面．

 

　　（Ⅱ）证明：平面，，

 

　　又（正方形的对角线互相垂直），

 

　　与是平面内的两条相交直线，

 

　　平面．

 

　　又平面过，平面平面．

 

　　（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，

 

　　根据三垂线定理，有．

 

　　过点在平面内作于，连结，

 

　　则平面，

 

　　于是，

 

　　所以，是二面角的一个平面角．

 

　　根据勾股定理，有．

 

　　，有，，，．

 

　　，，

 

　　二面角的大小为．