【原】32立体几何解法第五招：开宗立派-建系求角

立体几何解法第五招：开宗立派-建系求角

   

(2020年全国统一考试数学理科)如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,为底面直径,.是底面的内接正三角形,为上一点,.

(1)证明:平面;

(2)求二面角的余弦值.

【答案】见解析

【解析】

(1)证明:设的边长为,则可知,.

∵,∴,得.

∴,则.

∴,得.

同理,得.

又∵平面,平面,,

∴平面.

(2)如图,以为坐标原点平行于方向为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系.

由(1)可设,则有,,,

.∴,,,

设平面的一个法向量为,

则得,得.

设平面的一个法向量为,

则得,设,

则.

∴二面角的余弦值为.

   

(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)

(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)

(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形)

   

一、异面直线所成的角

设两异面直线所成的角为,分别是的方向向量,注意到异面直线所成角的范围是,则有

二、直线和平面所成的角

如图,点在平面外,为内一点,斜线和平面所成的角为,为的一个法向量,注意到斜线和平面所成角的范围是,则有,结合向量的夹角公式便可求

三、二面角

如图,分别在二面角的两个面内且垂直于棱,分别是的一个法向量,则可利用向量的夹角公式结合以下角度关系之一求二面角的大小:

(1)等于二面角的平面角;

(2)与二面角的平面角相等或互补。

评议:利用向量法求空间角的大小,经常用到平面的法向量。求法向量的方法主要有两种:

1、求平面的垂线方向向量；

2、利用法向量与平面内两个不共线向量数量积为零列出方程组求。

1.如图三棱柱中,底面是边长为的等边三角形,,分别为,的中点,,.

(1)证明:平面.

(2)求二面角的平面角大小.

2.如图,四面体中,是正三角形,是直角三角形,,.

(1)证明:平面平面.

(2)若,求二面角的余弦值.

3.在棱长为的正方体中,为的中点,过,,的平面交于点.

(1)求证:;

(2)求二面角的余弦值.