2007年高考数学试题汇编——立体几何（五）

2007年高考数学试题汇编——立体几何（五）

　　34．（湖南?理?18题）如图1，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，，且．连结，如图2． 

 

　　（I）证明：平面平面；

 

　　（II）当，，时，求直线和平面所成的角；

 

　　　　　　

 

　　【解答】解法一：（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．

 

　　（II）过点作于点，连结．

 

　　由（I）的结论可知，平面，

 

　　所以是和平面所成的角．

 

　　因为平面平面，平面平面，，

 

　　平面，所以平面，故．

 

　　　　因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形．

 

　　由题设，，，则．所以，，

 

　　，．

 

　　因为平面，，所以平面，从而．

 

　　故，．

 

　　又，由得．

 

　　故．

 

　　即直线与平面所成的角是．

 

　　　　解法二：（I）因为平面平面，平面平面，，

 

　　　　平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．

 

　　（II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），

 

　　　　　　

 

　　由题设，，，则，

 

　　，，相关各点的坐标分别是，

 

　　，，．

 

　　所以，．

 

　　设是平面的一个法向量，

 

　　由得故可取．

 

　　过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上．

 

　　因为，所以，．

 

　　设（），由，解得，

 

　　所以．

 

　　设和平面所成的角是，则

 

　　．

 

　　故直线与平面所成的角是．

 

　　35．（江苏?理?18题）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且。

 

　　（I）求证：四点共面；（4分）

 

　　（II）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：面；

 

　　（Ⅲ）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。

 

　　　　　　　

 

　　【解答】（1）证明：在DD上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFDN是平行四边形，所以DF//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以

 

　　CN//BE，所以DF//BE，所以四点共面。

 

　　（2）因为所以∽MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB，且EM在平面ABBA内，所以面

 

　　（3）面，所以BF，MH，，所以∠MHE就是截面和面所成锐二面角的平面角，∠EMH=，所以，ME=AB=3，∽MHB，所以3：MH=BF：1，BF=，所以MH=，所以=

 

　　36．（江西?理?20题）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3。

 

　　（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；

 

　　（II）求二面角B—AC—A1的大小；

 

　　（Ⅲ）求此几何体的体积；

 

　　　　　　　　　　

 

　　【解答】解法一：

 

　　（1）证明：作交于，连．

                      

　　　　　

 

　　则．

 

　　因为是的中点，

 

　　所以．

 

　　则是平行四边形，因此有．

 

　　平面且平面，

 

　　则面．

 

　　（2）如图，过作截面面，分别交，于，．

 

　　作于，连．

 

　　因为面，所以，则平面．

 

　　又因为，，．

 

　　所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．

 

　　因为，所以，故，

 

　　即：所求二面角的大小为．

 

　　（3）因为，所以

 

　　．

 

　　．

 

　　所求几何体体积为

 

　　．

 

　　解法二：

 

　　（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，

                      

　　　　　　　　

 

　　则，，，因为是的中点，所以，

 

　　．

 

　　易知，是平面的一个法向量．

 

　　因为，平面，所以平面．

 

　　（2），，

 

　　设是平面的一个法向量，则

 

　　则，得：

 

　　取，．

 

　　显然，为平面的一个法向量．

 

　　则，结合图形可知所求二面角为锐角．

 

　　所以二面角的大小是．

 

　　（3）同解法一．