高考数学之立体几何考察范围

“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积、空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．

考查一个小题时，本小题一般会出现在第6～7题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第9～11题的位置上，本小题虽然难度稍高，但主要体现在计算量上，实质仍是对基础知识、基本公式的考查．

解答题多出现在第18或19题的位置，其基本模式是“一证明二计算”，即T3第(1)问考查空间平行或垂直关系的证明，第(2)问考查利用空间向量求异面直线所成的角、线面角或二面角，难度中等偏上．

1．(必修2 P78复习参考题A组T7改编)正四棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为(　　)

A．25π　　　　　　　            B．π

C.π                                      D．π

　C　[解析] 由三视图画出直观图与其外接球示意图，且设O₁是底面中心．

由三视图知，O₁A＝，O₁P＝，所以正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O在线段O₁P上．

设球O的半径为R.

由O₁O²＋O₁A²＝OA²得(－R)²＋()²＝R².

所以R＝ .

则外接球的表面积为S＝4πR²＝4π·＝π.

 

2．(必修2 P10习题1.1B组T1改编)如图，若Ω是长方体ABCD­A₁B₁C₁D₁被平面EFGH截去几何体EFGHB₁C₁后得到的几何体，其中E为线段A₁B₁上异于B₁的点，F为线段BB₁上异于B₁的点，且EH∥A₁D₁，则下列结论中不正确的是(　　)

A．EH∥FG

B．四边形EFGH是矩形

C．Ω是棱柱

D．Ω是棱台

　D　[解析] 因为EH∥A₁D₁，A₁D₁∥B₁C₁，EH⊄平面BCC₁B₁，所以EH∥平面BCC₁B₁.又因为平面EFGH∩平面BCC₁B₁＝FG，所以EH∥FG，且EH＝FG，由长方体的特征知四边形EFGH为矩形，此几何体为五棱柱，所以选项A，B，C都正确．故选D．

3.(必修2 P45例2改编)如图所示，四边形EFGH为空间四面体A­BCD的一个截面，若截面为平行四边形．AB＝4，CD＝6，则截面平行四边形的周长的取值范围为(　　)

A．(4，6)　　                           B．(6，10)

C．(8，12)                               D．(10，12)

　C　[解析] 因为四边形EFGH为平行四边形，

所以EF∥HG，

因为HG⊂平面ABD，

所以EF∥平面ABD．

因为EF⊂平面ABC，

平面ABD∩平面ABC＝AB，

所以EF∥AB．

同理EH∥CD，

设EF＝x(0<x<4)，＝＝，

则＝＝＝1－.

从而FG＝6－x.

所以四边形EFGH的周长l＝2(x＋6－x)＝12－x，

又0<x<4，则有8<l<12.

即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)．

4．(选修2­1 P118复习参考题A组T12改编)在平面四边形ACBD(图①)中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′­ABD，且使C′D＝.

(1)求证：平面ABC′⊥平面DAB；

(2)求二面角A­C′D­B的余弦值．

[解] (1)证明：取AB的中点O，连接C′O，DO.

在Rt△AC′B，Rt△ADB中，AB＝2，

则C′O＝DO＝1，

因为C′D＝，

所以C′O²＋DO²＝C′D²，

即C′O⊥OD．

又C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD⊂平面ABD，

所以C′O⊥平面ABD．

因为C′O⊂平面ABC′，

所以平面ABC′⊥平面DAB．

(2)以O为原点，AB，OC′所在的直线分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，D，

所以＝(0，1，1)，＝(0，－1，1)，＝.

设平面AC′D的法向量为n₁＝(x₁，y₁，z₁)，则

，即，即，

令z₁＝1，则y₁＝－1，x₁＝，

所以n₁＝(，－1，1)．

设平面BC′D的法向量为n₂＝(x₂，y₂，z₂)，

则，即，

即，

令z₂＝1，则y₂＝1，x₂＝，

所以n₂＝，

所以cos〈n₁，n₂〉＝

＝＝，

结合图形知，二面角A­C′D­B的余弦值为－.