高中数学竞赛讲义（五） ──数列

高中数学竞赛讲义（五）

──数列

一、基础知识

定义1  数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a_n}的一般形式通常记作a₁, a₂, a₃,…，a_n或a₁, a₂, a₃,…，a_n…。其中a₁叫做数列的首项，a_n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1  若S_n表示{a_n}的前n项和，则S₁=a₁, 当n>1时，a_n=S_n-S_n-1.

定义2  等差数列，如果对任意的正整数n，都有a_n+1-a_n=d（常数），则{a_n}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.

定理2  等差数列的性质：1）通项公式a_n=a₁+(n-1)d；2）前n项和公式：S_n=；3）a_n-a_m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a_n+a_m=a_p+a-_q；5）对任意正整数p, q，恒有a_p-a_q=(p-q)(a₂-a₁)；6）若A，B至少有一个不为零，则{a_n}是等差数列的充要条件是Sn=An²+Bn.

定义3  等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{a_n}称为等比数列，q叫做公比。

定理3  等比数列的性质：1）a_n=a₁q^n-1；2）前n项和S_n，当q1时，S_n=；当q=1时，S_n=na₁；3）如果a, b, c成等比数列，即b²=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a_ma_n=a_pa_q。

定义4  极限，给定数列{a_n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a_n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a_n}的极限，记作

定义5  无穷递缩等比数列，若等比数列{a_n}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和S_n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。

定理3  第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n₀)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n₀成立。

 

竞赛常用定理

定理4  第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n₀)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n₀）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n₀成立。

定理5  对于齐次二阶线性递归数列x_n=ax_n-1+bx_n-2，设它的特征方程x²=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则x_n=c₁a^n-1+c₂β^n-1，其中c₁, c₂由初始条件x₁, x₂的值确定；(2)若α=β，则x_n=(c₁n+c₂) α^n-1，其中c₁, c₂的值由x₁, x₂的值确定。

二、方法与例题

1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1  试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

【解】1）a_n=n₂-1；2）a_n=3ⁿ-2ⁿ；3）a_n=n²-2n.

例2  已知数列{a_n}满足a₁=,a₁+a_-2+…+a_n=n²a_n, n≥1，求通项a_n.

【解】   因为a₁=,又a₁+a_-2=2²·a₂,

所以a₂=，a₃=,猜想(n≥1).

证明；1）当n=1时，a₁=，猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成立。

当n=k+1时，由归纳假设及题设，a₁+ a₁+…+a₁=[(k+1)²-1] a_k+1,，

所以=k(k+2)a_k+1,

即=k(k+2)a_k+1,

所以=k(k+2)a_k+1,所以a_k+1=

由数学归纳法可得猜想成立，所以

例3  设0<a<1，数列{a_n}满足a_n=1+a, a_n-1=a+，求证：对任意n∈N₊,有a_n>1.

【证明】  证明更强的结论：1<a_n≤1+a.

1)当n=1时，1<a₁=1+a，①式成立；

2)假设n=k时，①式成立，即1<a_n≤1+a，则当n=k+1时，有

由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。

2．迭代法。

数列的通项a_n或前n项和S_n中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4  数列{a_n}满足a_n+pa_n-1+qa_n-2=0, n≥3，q0，求证：存在常数c，使得·a_n+

【证明】·a_n+1+(pa_n+1+a_n+2)+=a_n+2·(-qa_n)+=

+a_n(pq_n+1+qa_n)]=q().

若=0，则对任意n, +=0，取c=0即可.

若0，则{+}是首项为，公式为q的等比数列。

所以+=·qⁿ.

取·即可.

综上，结论成立。

例5  已知a₁=0, a_n+1=5a_n+，求证：a_n都是整数，n∈N₊.

【证明】   因为a₁=0, a₂=1，所以由题设知当n≥1时a_n+1>a_n.

又由a_n+1=5a_n+移项、平方得

       ①

当n≥2时，把①式中的n换成n-1得，即

       ②

因为a_n-1<a_n+1，所以①式和②式说明a_n-1, a_n+1是方程x²-10a_nx+-1=0的两个不等根。由韦达定理得a_n+1+ a_n-1=10a_n(n≥2).

再由a₁=0, a₂=1及③式可知，当n∈N₊时，a_n都是整数。

3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。

例6  已知a_n=(n=1, 2, …)，求S₉₉=a₁+a₂+…+a₉₉.

【解】 因为a_n+a_100-n=+=，

所以S₉₉=

例7  求和：+…+

【解】  一般地，

，

所以S_n=

 

例8  已知数列{a_n}满足a₁=a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n, S_n为数列的前n项和，求证：S_n<2。

【证明】  由递推公式可知，数列{a_n}前几项为1，1，2，3，5，8，13。

因为，       ①

所以。             ②

由①-②得，

所以。

又因为S_n-2<S_n且>0,

所以S_n, 所以，

所以S_n<2，得证。

4．特征方程法。

例9  已知数列{a_n}满足a₁=3, a₂=6, a_n+2=4_n+1-4a_n，求a_n.

【解】  由特征方程x²=4x-4得x₁=x₂=2.

故设a_n=(α+βn)·2^n-1，其中，

所以α=3，β=0，

所以a_n=3·2^n-1.

例10  已知数列{a_n}满足a₁=3, a₂=6, a_n+2=2a_n+1+3a_n，求通项a_n.

【解】  由特征方程x²=2x+3得x₁=3, x₂=-1,

所以a_n=α·3ⁿ+β·(-1)ⁿ，其中，

解得α=，β，

所以·3]。

5．构造等差或等比数列。

例11  正数列a₀,a₁,…,a_n,…满足=2a_n-1(n≥2)且a₀=a₁=1，求通项。

【解】  由得=1，

即

令b_n=+1，则{b_n}是首项为+1=2，公比为2的等比数列，

所以b_n=+1=2ⁿ，所以=（2ⁿ-1）²，

所以a_n=·…··a₀=

注：C₁·C₂·…·C_n.

例12   已知数列{x_n}满足x₁=2, x_n+1=,n∈N₊, 求通项。

【解】  考虑函数f(x)=的不动点，由=x得x=

因为x₁=2, x_n+1=,可知{x_n}的每项均为正数。

又+2≥，所以x_n+1≥(n≥1)。又

X_n+1-==,              ①

X_n+1+==,              ②

由①÷②得。             ③

又>0，

由③可知对任意n∈N₊，>0且,

所以是首项为，公比为2的等比数列。

所以·，所以，

解得·。

注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。

三、基础训练题

1． 数列{x_n}满足x₁=2, x_n+1=S_n+(n+1)，其中S_n为{x_n}前n项和，当n≥2时，x_n=_________.

2. 数列{x_n}满足x₁=，x_n+1=,则{x_n}的通项x_n=_________.

3. 数列{x_n}满足x₁=1，x_n=+2n-1(n≥2)，则{x_n}的通项x_n=_________.

4. 等差数列{a_n}满足3a₈=5a₁₃，且a₁>0, S_n为前n项之和，则当S_n最大时，n=_________.

5. 等比数列{a_n}前n项之和记为S_n,若S₁₀=10，S₃₀=70，则S₄₀=_________.

6. 数列{x_n}满足x_n+1=x_n-x_n-1(n≥2)，x₁=a, x₂=b, S_n=x₁+x₂+…+ x_n，则S₁₀₀=_________.

7. 数列{a_n}中，S_n=a₁+a₂+…+a_n=n²-4n+1则|a₁|+|a₂|+…+|a₁₀|=_________.

8. 若，并且x₁+x₂+…+ x_n=8，则x₁=_________.

9. 等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，若，则=_________.

10. 若n!=n(n-1)…2·1, 则=_________.

11．若{a_n}是无穷等比数列，a_n为正整数，且满足a₅+a₆=48, log₂a₂·log₂a₃+ log₂a₂·log₂a₅+ log₂a₂·log₂a₆+ log₂a₅·log₂a₆=36，求的通项。

12．已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列，且b₁=1, b₂=5, b₃=17, 求：（1）q的值；（2）数列{b_n}的前n项和S_n。

 

四、高考水平训练题

1．已知函数f(x)=，若数列{a_n}满足a₁=，a_n+1=f(a_n)(n∈N⁺)，则a₂₀₀₆=_____________.

2．已知数列{a_n}满足a₁=1, a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+(n-1)a_n-1(n≥2)，则{a_n}的通项a_n=.

3. 若a_n=n²+, 且{a_n}是递增数列，则实数的取值范围是__________.

4. 设正项等比数列{a_n}的首项a₁=, 前n项和为S_n, 且2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0，则a_n=_____________.

5. 已知，则a的取值范围是______________.

6．数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+n(n ∈N⁺) ，存在_________个a₁值，使{a_n}成等差数列；存在________个a₁值，使{a_n}成等比数列。

7．已知(n ∈N⁺)，则在数列{a_n}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.

8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.

9. 设{a_n}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项，则a_n=____________.

10. 在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.

11．已知数列{a_n}中，a_n0，求证：数列{a_n}成等差数列的充要条件是

（n≥2）①恒成立。

12．已知数列{a_n}和{b_n}中有a_n=a_n-1b_n, b_n=(n≥2), 当a₁=p, b₁=q(p>0, q>0)且p+q=1时，（1）求证：a_n>0, b_n>0且a_n+b_n=1（n∈N）；（2）求证：a_n+1=；（3）求数列

13．是否存在常数a, b, c，使题设等式

1·2²+2·3²+…+n·(n+1)²=(an²+bn+c)

对于一切自然数n都成立？证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为97²，这样的数列共有_________个。

2．设数列{x_n}满足x₁=1, x_n=，则通项x_n=__________.

3. 设数列{a_n}满足a₁=3, a_n>0，且，则通项a_n=__________.

4. 已知数列a₀, a₁, a₂, …, a_n, …满足关系式(3-a_n+1)·(6+a_n)=18，且a₀=3，则=__________.

5. 等比数列a+log₂3, a+log₄3, a+log₈3的公比为=__________.

6. 各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.

7. 数列{a_n}满足a₁=2, a₂=6, 且=2，则

________.

8. 数列{a_n} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a₀=0, {a_n+1-qa_n}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.

9．设h∈N₊，数列{a_n}定义为：a₀=1, a_n+1=。问：对于怎样的h，存在大于0的整数n，使得a_n=1？

10．设{a_k}_k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足a_k≥a_2k+a_2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。

11．求证：存在唯一的正整数数列a₁,a₂,…,使得

a₁=1, a₂>1, a_n+1(a_n+1-1)=

 

六、联赛二试水平训练题

1．设a_n为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a_2n是完全平方数，这里n=1, 2,….

2．设a₁, a₂,…, a_n表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a₁=1; ②|a_i-a_i+1|≤2, i=1,2,…,n-1。

试问f(2007)能否被3整除？

3．设数列{a_n}和{b_n}满足a₀=1,b₀=0，且

求证：a_n (n=0,1,2,…)是完全平方数。

4．无穷正实数数列{x_n}具有以下性质：x₀=1，x_i+1<x_i (i=0,1,2,…),

（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n≥1，使≥3.999均成立；

（2）寻求这样的一个数列使不等式<4对任一n均成立。

5．设x₁,x₂,…,x_n是各项都不大于M的正整数序列且满足x_k=|x_k-1-x_k-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项？

6．设a₁=a₂=，且当n=3,4,5,…时，a_n=,

(ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；(ⅱ)求证：是整数的平方。

7．整数列u₀,u₁,u₂,u₃,…满足u₀=1，且对每个正整数n, u_n+1u_n-1=ku_u，这里k是某个固定的正整数。如果u₂₀₀₀=2000，求k的所有可能的值。

8．求证：存在无穷有界数列{x_n}，使得对任何不同的m, k，有|x_m-x_k|≥

9.已知n个正整数a₀,a₁,…，a_n和实数q，其中0<q<1，求证：n个实数b₀,b₁,…，b_n和满足：（1）a_k<b_k(k=1,2,…,n)；

（2）q<<(k=1,2,…,n)；

（3）b₁+b₂+…+b_n<(a₀+a₁+…+a_n).

 

本系列讲座由在人教中数论坛网友“0.1”整理提供，感谢他（她）的分享。