2002年全国初中数学联合竞赛

2002年全国初中数学联合竞赛

笫一试

一、选择题(42分)

1.已知a= －1,b=2 － ,c= －2,那么a、b、c的大小关系是(  )

(A)a<b<c.  (B)b<a<c.  (C)c<b<a.  (D)c<a<b.

2.若m²=n+2,n²=m+2(m≠n),则m³－2mn+n³的值为(   )

(A)1.  (B)0.  (C)－1.  (D)－2.

3.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像如图1所示,并设

M=丨a+b+c丨－丨a－b+c丨+丨2a+b丨－丨2a－b丨,则(    )

(A)M>0.(B)M=0.(C)M<0.(D)不能确定M为正、为负或为0.

4.RtΔABC的面积为120,且∠BAC=90⁰,AD是斜边上的中线,

过点D作DE⊥AB于点E,连CE,交AD于点F,则ΔAFE的面积等于(   )

(A)18.  (B)20.  (C)22.  (D)24.

5.如图2,⊙O₁与⊙O₂外切于点A,两圆的一条外公切线与

⊙O₁相切于点B.若AB与两圆的另一条外公切线平行,

则⊙O₁与⊙O₂的半径之比为(   )

(A)2∶5. (B)1∶2. (C)1∶3. (D)2∶3.

6.如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数时,n+1都能表示成k个完全平方数的和,那么k的最小值为(     )

(A)1.   (B)2.    (C)3.   (D)4.

二、填空题(28分)

1.已知a<0,ab<0,化简:  =_________________.                                                                 

2.如图3,7根圆形筷子的横截面圆半径为r,

则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为________.

3.甲,乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相同,

且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费

了172元,则其中单价为9元的商品有_______件.

4.设N=23x++92y为完全平方数,且N不超过2392,则满足上述条件的一切正整数对(x,y)共有_____对.

笫二试(A)

一、(20分)已知a,b,c三数满足方程组: ，试求方程bx²+cx－a=0的根.

 

 

二、(25分)如图4,等腰ΔABC中,P为底边BC上任意一点,过P作两腰的平行线分别与AB,AC相交于Q,R两点,又P^‘是P关于直线RQ的对称点。

求证：（1）ΔP ^/QB∽ΔP ^/RC.(2)点P ^/在ΔABC的外接圆上.

 

 

 

 

 

 

三、(25分)试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx²+(r+2)x+3r－2=0有根且只有整数根.

 

参考答案

一.

1.分子有理化,得a= ,b=  ,c= ,知b<a<c.

2.两式相减,并分解因式,得(m－n)(m+n+1)=0(m≠n),所以m+n=－1.

两式相加,得(m+n)²－2mn=(m+n)+4,代入m+n=－1,可得mn=－1.

所以原式=(m+n)[(m+n)²－3mn]－2mn= －2.

3.由图知,x=1时,y<0,即a+b+c<0;x=－1时,y>0,即a－b+c>0.

又a>0,0<－ <1,所以b<0,2a－b>0,－b<2a,2a+b>0.

所以原式=－2(a－b+c)<0.

4.如图,易证DE是ΔABC的中位线.

所以S_ΔBED= S_ΔABC=30,S_梯形EACD=90,且S_ΔEFD= S_ΔAFC,

S_ΔAFE=S_ΔCFD.设S_ΔAFE=S_ΔCFD=x,S_ΔEFD=y,S_ΔAFC=4y.由S_ΔEDF∶S_ΔEAF=DF∶FA=S_ΔCDF∶S_ΔCAF,得

    ,得S_ΔAFE=x=20.

5.连结CA,CB,CO₁,DO₂,O₁O₂,作O₁E⊥DO₂.

由AB∥CD,易证∠PCB=∠CAB,∠PCB=∠CAB,

AB=AC,ΔABC是正Δ.

从而∠EO₁O₂=30⁰, EO₂∶O₁O₂=1∶2,

即 (R－r)∶(R+r)=1∶2, r∶R=1∶3.

6.设3n+1=a²(a是整数),则3不能整除a.

(假设3整除a,则a=3m,m是整数,3n+1=9m²,n=3m²+ ,与n是整数矛盾).

于是可设a=3t±1(t是整数),

所以3n+1=9t²±6t+1,n=3t²±2t,

所以 n+1=t²+t²+(t±1)².可见k最小为3.

例如:n=8时,3n+1=25,n+1=9=1²+2²+2².

n=23 时,3n+1=64,n+1=24=2²+2²+4².

二.

1.由题设知,b>0,a－b－3 <0,b－a+ >0.易得原式= .

2.如图,设A、B、C为切点,则BC=2r,∠AOB=360⁰－120⁰－90⁰－90⁰=60⁰。

所以 = r。

所以所求长度为 6(BC+ )=12r+2 r.

3.设甲,乙都买了n件,其中8元的共x件,9元的共y件(n,x,y均为整数),则

  ,所以 , 9 ≤n≤10 ,n=10.

所以y=172－16n=12.

4.已知N=23(x+4y)为完全平方数,23为质数.所以可设x+4y=23×m²(m为整数)。

所以N=23²×m²≤2392,m≤5,从而m²=1或4.

若m²=1,则x+4y=23,x=23－4y>0,y<5 ,y=1、2、3、4、5.

若m²=4,则x+4y=92,x=92－4y>0,y<23,y=1、2、3、4、5、6、7、8……22.

其中y的前5个值与m=1时y的相同。

所以合条件的正整数对(x,y)共有22对.

笫二试(A)

一.由题设得錒，a+b=8,ab=48+c²-8 c

所以a、b是方程y²－8y+c²－8 c+48=0的两个实数根.

由Δ≥0可得(c－4 )²≤0,可知c=4

所以a+b=8,ab=16,a=b=4.

于是原方程为4x²+4 x－4=0,x= 。

二.

证明:(1) ΔABC是等腰三角形,QP∥AC,RP∥AB.

  ∠ABC=∠ACB,∠ABC=∠RPC,∠ACB=∠QPB.

   ∠ABC=∠QPB,∠ACB=∠RPC.

   QB=QP,RP=RC.

    P与P ^/关于RQ对称.

   QP=QP ^/,RC=RP ^/.

   QB=QP=QP ^/,RC=RP=RP ^/.

  点B、P、P ^/在以点Q为圆心的圆上,

点C、P、P ^/在以点R为圆心的圆上,

  ∠P ^/QB=2∠P ^/PB=∠P ^/RC.

  等腰ΔP ^/QB∽等腰ΔP ^/RC.

(2)连P ^/A

由等腰ΔP ^/QB∽等腰ΔP ^/RC,得∠ABP ^/=∠ACP ^/.

  点P ^/,B,C,A四点共圆.

点P ^/ 在ΔABC的外接圆上.

 

三、若r=0,则方程为2x－2=0,有正整数根x=1.

若r≠0,设正整数根x₁≤x₂,则     ①，    ②

  ②－ ①,得 x₁x₂－(x₁+x₂)=4,变为(x₁－1)(x₂－1)=5.

   或    ,

   解得x₁=2,x₂=6 或x₁=－4,x₂=0.代入①,得r=－ 或 r= 。

综上:r=0,－ ,  .