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第二讲 跨越——从算术到代数 “算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别． 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用． 例题 【例1】观察下列等式 9—l=8， 16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，…… 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： ．(河南省中考题) 思路点拨 在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律． 注：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础。 【例2】 某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )． 九涨价3％ B．涨价1．64％ C涨价1．2％ D．降价1．2％ (“TRUIY信利杯”竞赛题) 思路点拨 设此商品2001年的价格为
例3】 计算 思路点拨 直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算．
【例4】 有—张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问： (1)经5次分割后，共得到多少张纸片? (2)经 (3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么? (江苏省竞赛题) 思路点拨 从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键． 【例5】在右图中有9个方格，要求每个方格填入不同的的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：右图上角的数是多少？
思路点拨 虽然要求的只是右上角的数，但是题目的条件还与其他的数有关，因此，需恰当地引进不同的字母表示数，以便充分运用已知条件． 注：① 用字母表示数，有利于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的相依关系或相等不等关系，具有设元意识，会用代数式表示，是由算术习惯向代数过渡的重要步骤，是突破算术方法的定势的关键． ② 本例的3个小题，反映了我们认识事物、探究问题的基本过程．第(1)小题是研究具体对象，第(2)小题是归纳出一般规律，第(3)小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题． ③ 有些问题涉及的量比较多，关系复杂，我们就需要引入不同的字母，便于把数量关系表示出来，在解题中我们不需(或不能)求出所有字母的值，只需求出关键的字母的值，这种方法我们称之为“设而不求”． 学力训练 1．给出下列算式： l2+1=1×2，22+2=2×3， 32 +3=3×4，…… 观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律： ． (福州市中考题) 2．已知： 3．若（m十n）人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要 天． (假定每个人的工作效率相同) (江苏省竞赛题) 4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车．全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是 ． (河南省竞赛题) 5．一项工程，甲建筑队单独承包需要a天完成，乙建筑队单独承包需要b天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要( )天． A． 6．某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10％，三月份比二月份减少10％，那么三月份比一月份( )． A．增加10％ B．减少10％ C．不增不减 D．减少1％ (河南省中考题) 7．如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是( )． A．bc-ab+ac+c2 B．ab-bc-ac+c 河北省中考题) 8．为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是( )． A．S1＞S2 B．Sl<S 9．从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下： 1＝12， 1+3=4＝22， 1+3+5＝9＝32， 1+3+5+7＝16=42， 1+3+5+7+9＝25＝52， (1)请你推测出，从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和s的公式是什么? (2)计算： ①1+3+5+7+9+ ②11+13+15+17+19+21+23+25． (3)已知1+3+5+…+(2n一1)=225，求整数n的值． 10．从小明的家到学校，是一段长度为 (1)判断 (2)求 (江苏省竞赛题) 11.观察下列各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，每个图案中圆点的总数是S． 按此规律推断出S与n的关系式是 ． (2001年广西中考题) 12．如图，将面积为 (“希望杯”邀请赛试题) 13．已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为 ． 14．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律．拼成若干个图案：
(1)第4个图案中有白色地面砖 块； (2)第n个图案中有白色地面砖 块． (2003年南昌市中考题) 15．下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( )． A．162738,t950 B． (江苏省竞赛题) 16．给出两列数：l，3，5，?，9，…，2001和1，6， A．199 B． (重庆市竞赛题) 17．—种商品每件进价为a元，按进价增加25％定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利( )． A． (山东泰安市中考题) 18．如果用 A． 19．已知 20．在——次数学竞赛中，组委会决定用NS公司的赞助款购头一批奖品，若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品．则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品．则可买80份奖品．问这 笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少? (湖北省黄冈市竞赛题)， 22．阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：
根据上述材料，解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查．从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元，1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已经该年每户家庭消费支出总额平均为8000元． 求：(1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元? (2)设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数为 (3)按这样的发屉，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活?该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标? (桂林市中考题)． 参考答案 |
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