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一、函数概念的发展 从古希腊到十七世纪末这样一个漫长的时期内，并不存在一般函数的定义，就是到了牛顿、莱布尼兹的微积分问世时，函数的一般定义仍没诞生，原因在于：数学家们一直同具体的函数打交道，对具体函数求导、积极分、讨论各种各样的问题，并没有感到定义一般函数概念的需要和动机。 "function"这个词来自于莱布尼兹，他首先用"function"表示"幂"，后来他又用它表示曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的几何量，莱布尼兹的两次定义，正反映出函数的几何的和代数的特性。 1718年，莱布尼兹的学生约翰·贝努利继承了代数的思想，把"function"的含义固定在"解析表达式上"，他说："所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式"。而欧拉则继承了几何的思想，认为"function"思想指任意画出的曲线，并把这种函数叫"随意函数"。 这时出现了争论，欧拉认为函数是指任意的曲线，即任意曲线都是函数。而达朗贝尔则认为不是这样，他从解析式出发认为，只有可以用单一解析式表达的曲线才是函数，而且认为 能用单一解析式表达的曲线只有连续且光滑的曲线。因而，只有连续曲线才是函数。可以看出，两位数学家争论的焦点在于曲线与解析式之间的关系，欧拉认为他的定义更广泛，因为任意描画的曲线比任意解析式具有更广的意义，解析表达式可以描为某曲线，而任意曲线不一定有相应的解析式。达朗贝尔则认为只有连续曲线才能用唯一的解析式表达，才是函数，至于任何唯一解析式的所代表的曲线是否连续，他则没有考虑。 然而，付里叶的研究使数学界大吃一惊，付里叶的结论是："由不连续曲线给出的函数，可以用一个三角函数式表示，"并举例指出下图那样的不连续曲线虽然用 这单一的式子表示出来。 付里叶的研究表明：在解析式与曲线之间并没有不可逾越的鸿沟，通过级数可以把它们相互勾通。那种视函数为解析式的观点终于得以澄清。历史的缩影可以在学生的学习中找到，中学生把函数与解析式等同是及其普遍的。 既然函数不再要求用唯一的解析式来表示，所以，无论y是用一个式子还是用多个式子表示都无关紧要，只要对于x的每一个值，y有完全确定的值与之对应，则y就是x的函数，柯西便给出了函数如下定义：对于x每个值，如果y有完全确定的值与之对应，则y叫做x的函数。 由于认识到了解析式对于x与y的关系并无多大意义，所以黎曼和狄里克需更进一步，他们完全抛弃解析式的限制，定义了我们所常说的结论的函数定义：对于x的每个值，如果y有完全确定的值与之对应，不论x、y所建立的对应方式如何，y都叫做x的函数。 至此，函数y已可以任意取值。然而，自变量的取值却受为约束，这里自变量所能取的值总是一个区间，且自变量总被认为是连续取值的，这显然是一种人为的限制，于是数学家又摆脱了这个限制，指出： "对于函数f(x)中的自变量x，不必取区间［a,b］上的所有值，而只取其中的任意一些就可以了，换言之，作为x，如果允许在取数中的任意集合，那么不管这些数是有限个还是无限个都是允许的。 但函数的定义仍有不足之处。首先，变量x与y的取值范围都是数集；其次，函数是以变量为原始概念的，一开始变量又与物理运动相联系的，其意义狭窄不说，而且离开运动而单独去谈变量显然是无意义且又是模糊的，这些被维布伦和林纳所发现，他们便通过对变量进行定义，相应地定义了变域、常量、变量的值等等，在此基础上重新定义了函数。 所谓变量就是代数某集合中任意一个"元素"的记号，组成这一集合的元素既可以是数，也可以不是数。变量x所代表的"元素的集体"叫做这个变量的变域，常量是特殊的变量，它是上述集合中只包含一个"元素"情况下的变量，由变量x所代表的任意的元素，叫做这个变量的值，于是他们接着定义函数为： "在变量y的集合与另一变量x的集合之间，如果存在着'对于x的每个值，y都有确定值与之对应'这样的关系，那么变量y叫做x的函数"。 数集到数集的映射，就是古典数学的函数定义，"数集"与"集"仅一字之差，但含义却有本质的区别，它把函数的古典概念推进到现代集合论的范畴中来，实现了函数概念的重大解析，在现代数学中，常不区别映射，函数、变换，算子，视它们为同义语，按学科的需要而使用。中学数学中把函数归结为数集到数值的映射，正是为了衔接现代数学的需要。 尽管如此，函数的定义仍然是不严格的：函数概念进入了集合论范畴，就应该纯粹地使用集合论语言。在函数定义中，X，Y是集合，但从X到Y的"对应"是对外来的，不是集合论本身的语言，且在集合论中"集合"是原始概念，不加定义，数学家们希望一切数学概念应从原始概念派生、发展而来。"对应"未经定义而使用，在数学中显然是不允许的，所以数学家们完全运用集合论的语言，在定义"有序"、"有序组"、"笛卡尔积"、"关系"以后，把函数定义为特殊的关系，这样就回避了"对应"这一未加定义的术语。 |
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